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Cela signifie encore que n divise toute expression de la
forme ka + k’b où k et k’ sont des entiers.
Exemple:
7 divise 14 et 21 donc il divise ,par exemple , 3 × 14 +
6 × 21 =168.
Exercices
1. Quel est le nombre de diviseurs positifs de 2880 ?
2. Ecrire l’ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6.
3. Déterminer les entiers relatifs n tels que n-4 divise
6.
4. Déterminer les entiers relatifs n tels que n-4 divise
n+2.
5. Déterminer les entiers relatifs n tels que n+1 divise
3n-4.
Exercice
Dans une division euclidienne entre entiers
naturels quels peuvent être le diviseur et le
quotient lorsque le dividende est 320 et le reste
39 ?
Réponse: On a 320 = 𝑞 × 𝑏 + 39 c’est-à-dire
𝑞 × 𝑏 = 320 − 39 = 281.
Cherchons les diviseurs de 281: 1 et 281. Ce sont
les seules valeurs possibles de q et b.
Exercices
Exercice 1: Les nombres suivants sont ils
premiers ?
714 ; 1021 ; 753 ; 1 ; 10 729
Exercice 2 :VRAI ou FAUX – Justifier la
réponse.
a)
119 est un nombre premier.
b)
Le produit de deux nombres premiers est
un nombre premier.
La somme de deux nombres premiers est
un nombre premier.
c)
a) 119 est un nombre premier.
FAUX
Justifications
• 119 = 17 × 7.
• L’ensemble des diviseurs dans IN de
119 est donc { 1 , 7 , 17 , 119} donc
119 n’est pas premier.
b) Le produit de deux nombres
premiers est un nombre premier.
FAUX
Justifications
• Soient n et m deux nombres premiers.
• L’ensemble des diviseurs dans IN
de m × n est donc { 1 , n , m , m × n }
donc m × n n’est pas premier.
c) La somme de deux nombres
premiers est un nombre premier.
FAUX
Justifications
• 3 et 7 sont premiers cependant leur
somme 10 ne l’est pas.
VRAI ou FAUX
1.
2.
3.
4.
4347 est divisible par 3 et par 9.
7422 est divisible par 2 et par 3.
789100 est divisible par 100 et par 9.
Si un nombre est divisible par 3 et par 9, alors
il est divisible par 27.
1) 4347 est divisible par 3 et par 9.
VRAI
Justifications
Critère de divisibilité par 3 (par 9):
un nombre est divisible par 3 (par 9) si la
somme des chiffres qui le compose est
divisible par 3 (par 9).
2) 7422 est divisible par 2 et par 3.
VRAI
Justifications
7422 est un nombre pair donc divisible par 2 de
plus 7 + 4 + 2 + 2 = 15, la somme des chiffres est
divisible par 3 donc 7422 est divisible par 3.
Conclusion 7422 est divisible par 2 et par 3.
3) 789100 est divisible par 100
et par 9.
FAUX
Justifications
789100 = 7891 × 100 donc il est
divisible par 100 mais pas par 9 car la
somme des chiffres vaut 25 et n’est
pas divisible par 9.
4) Si un nombre est divisible par 3 et
par 9, alors il est divisible par 27.
FAUX
Justifications
Un contre exemple:
18 est divisible par 3 et par 9 mais
n’est pas divisible par 27.
Exercice
Décomposer en produit de facteurs premiers les
nombres suivants:
37 ; 46 ; 1258 ; 8451 ; 14765
d. Nombre des diviseurs d’un entier naturel
Si N a pour décomposition en produit de
facteurs premiers:
𝑛
𝑚
𝑝
𝑁 =𝑎 ×𝑏 ×𝑐
Alors N possède 𝑛 + 1 𝑚 + 1 𝑝 + 1
diviseurs.
Exemples
• 26 = 2 × 13 = 21 × 131
donc 26 admet 1 + 1 1 + 1 = 4 diviseurs
positifs.
• 60 = 22 × 3 × 5 = 22 × 31 × 51
donc 60 admet 2 + 1 1 + 1 1 + 1 = 12
diviseurs positifs.
Exercice
Combien les nombres suivants admettent-ils de
diviseurs ?
57 ; 158 ; 1024
a) En cherchant les listes de diviseurs.
Pour 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60.
Pour 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Donc, le pgcd de 60 et 32 est 4.
b) Avec la décomposition en produit de facteurs
Formule:
premiers.
ppmc(a,b)×pgdc(a,b)
=a×b
1500 = 22 × 3 × 53
8750 = 2 × 54 × 7
On prend tous les facteurs communs avec leur plus
petit exposant:
Le pgdc de 1500 et 8750 est donc 2 × 53 = 250
ppmc(a,b)× 250 = 1500 × 8750 donc
ppmc(a,b) = 52500
c) Avec l’algorithme d’Euclide
On effectue une suite de divisions euclidiennes.
Par exemple pour 120 et 35:
120 = 35 × 3 + 15
35 = 15 × 2 + 5
15 = 5 × 3 + 0
Le dernier reste non nul, ici 5, fournit le pgdc.
Cette méthode se programme bien et est souvent
la plus rapide.
Exercices
Calculer le pgdc et le ppmc en utilisant la
décomposition en produits de facteurs premiers
d’une part et l’algorithme d’Euclide d’autre part.
• 1800 et 580
• 57 et 94
• 15821 et 1587