Transcript Probabilidad Condiconal y Bayes

Probabilidad Condicional y Bayes
Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC
Población
Sean A y B dos eventos y P(B)≠ 0
Entonces
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑃(𝐵)
Donde la 𝑃(𝐴/𝐵) se denota como la
probabilidad condicional de A, dado B.
Ejemplo 1: Probabilidad Condicional
Si la probabilidad de que un sistema de
comunicación tendrá alta fidelidad es 0.81, así
como la probabilidad de que tendrá alta
fidelidad y alta selectividad es 0.18. ¿cuál es la
probabilidad de que un sistema con alta
fidelidad también tendrá alta selectividad?
Ejemplo 1: Probabilidad Condicional
Solución
A=El sistema tiene alta fidelidad
B= El sistema tiene alta selectividad
P(A)=0.81
P(𝐴 ∩ 𝐵)=0.18
𝑃(𝐵/𝐴)=?
𝑃 𝐴∩𝐵
0.18
𝑃 𝐵/𝐴 =
=
= 0.22
𝑃 𝐴
0.81
TEOREMA
Dos eventos son independientes, si y sólo si
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)
Ejemplo: Eventos Independientes
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras en
dos lanzamientos de una moneda equilibrada?
Ejemplo: Eventos Independientes
Solución
A=cara en el primer lanzamiento
B=cara en el segundo lanzamiento
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)
1 1
𝑃 𝐴∩𝐵 =
= 0.25
2 2
TEOREMA
Si B1, B2,…Bn son eventos mutuamente
excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir,
entonces
𝑛
𝑃 𝐴 =
𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐴/𝐵𝑖 )
𝑖=1
TEOREMA DE BAYES
Si B1, B2,…Bn son eventos mutuamente
excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir,
entonces
𝑃(𝐵𝑟 )𝑃(𝐴/𝐵𝑟 )
𝑃 𝐵𝑅 /𝐴 = 𝑛
𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐴/𝐵𝑖 )
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Una empresa produce por medio de sus
maquinas A, B, C, en porcentaje de producción
correspondiente a 50%, 40% y 10%
respectivamente. Los productos en mal estado
de las máquinas A, b y C, son 3%, 2% y 1%
respectivamente.
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
1) Realice el respectivo diagrama de árbol
PRODUCCIÓN
PRODUCTOS
0.97
EN
BUEN ESTADO
A = 0.50
Empresa
0. 03
EN MAL ESTADO
0.98
EN BUEN ESTADO
0.02
EN MAL ESTADO
0.99
EN BUEN ESTADO
B=0.40
C =0.10
0.01
EN MAL ESTADO
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
2)¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un
producto al azar, este se encuentre en mal
estado?
Solución1 :
Se separan los eventos condicionales de las
hojas y se multiplican por sus ramificaciones
considerando los espacios muestrales
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
PRODUCCIÓN
PRODUCTOS
0.97
EN
BUEN ESTADO
A = 0.50
Emp
0. 03
EN MAL ESTADO
0.98
EN BUEN ESTADO
0.02
EN MAL ESTADO
0.99
EN BUEN ESTADO
B=0.40
C =0.10
0.01
EN MAL ESTADO
P(M)=(0.50)(0.03)+
(0.40)(0.02)+
(0.10)(0.01)
P(M)=0.024
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Solución 2:
Utilizando el teorema
𝑛
𝑃 𝑀 =
𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝑀/𝐵𝑖 )
𝑖=1
Donde
M= Producto en mal estado
𝐵1 = 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐴
𝐵2 = 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐵
𝐵3 = 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐶
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
𝑃 𝑀
= 𝑃 𝐵1 𝑃 𝑀/𝐵1 + 𝑃 𝐵2 𝑃 𝑀/𝐵2
+ 𝑃 𝐵1 𝑃 𝑀/𝐵3
𝑃 𝑀 =(0.50)(0.03)+ (0.40)(0.02)+ (0.10)(0.01)
𝑃 𝑀 =0.024
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
2)¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un
producto al azar, este se encuentre en buen
estado?
Solución1 :
Se separan los eventos condicionales de las
hojas y se multiplican por sus ramificaciones
considerando los espacios muestrales
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
PRODUCCIÓN
PRODUCTOS
0.97
EN
BUEN ESTADO
A = 0.50
Emp
0. 03
EN MAL ESTADO
0.98
EN BUEN ESTADO
0.02
EN MAL ESTADO
0.99
EN BUEN ESTADO
B=0.40
C =0.10
0.01
EN MAL ESTADO
P(B)=(0.50)(0.97)
+(0.40)(0.98)+
(0.10)(0.99)
P(B)=0.976
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Solución 2:
Utilizando el teorema
𝑛
𝑃 𝐵 =
𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐵/𝐵𝑖 )
𝑖=1
Donde
B= Producto en buen estado
𝐵1 = 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐴
𝐵2 = 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐵
𝐵3 = 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐶
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
𝑃 𝐵
= 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐵/𝐵1 + 𝑃 𝐵2 𝑃 𝐵/𝐵2
+ 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐵/𝐵3
𝑃 𝐵 =(0.50)(0.97)+(0.40)(0.98)+(0.10)(0.99)
𝑃 𝐵 =0.976
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
3) Se escoge un producto al azar, y se nota que
se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la
probabilidad de que es producto haya sido
producido por la máquina A?
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
3) Se escoge un producto al azar, y se nota que
se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la
probabilidad de que es producto haya sido
producido por la máquina A?
Solución 1:
Se separan los eventos condicionales de las
hojas y se multiplican por sus ramificaciones
considerando los espacios muestrales
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
PRODUCCIÓN
PRODUCTO
0.97
EN
BUEN ESTADO
A = 0.50
Emp
0. 03
EN MAL ESTADO
0.98
EN BUEN ESTADO
0.02
EN MAL ESTADO
0.99
EN BUEN ESTADO
B=0.40
C =0.10
0.01
EN MAL ESTADO
P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)
P(A/B)=0.485
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Solución 2:
Utilizando el teorema De BAYES
𝑃(𝐵𝑟 )𝑃(𝐵/𝐵𝑟 )
𝑃 𝐵𝑅 /𝐵 = 𝑛
𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐵/𝐵𝑖 )
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
𝑃(𝐵1 )𝑃(𝐵/𝐵1 )
𝑃 𝐵1 /𝐵 = 𝑛
𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐵/𝐵𝑖 )
𝑃(𝐵1 )𝑃(𝐵/𝐵1 )
𝑃 𝐵1 /𝐵 =
𝑃(𝐵)
P(𝐵1 /𝐵)=(0.50)(0.97)/P(B)
𝑃(𝐵1 /𝐵)=0.485
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
4) Se escoge un producto al azar, y se nota que
se encuentra en mal estado. ¿Cuál es la
probabilidad de que es producto haya sido
producido por la máquina B?
Solución 1:
Se separan los eventos condicionales de las
hojas y se multiplican por sus ramificaciones
considerando los espacios muestrales
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
PRODUCCIÓN
PRODUCTO
0.97
EN
BUEN ESTADO
A = 0.50
Emp
0. 03
EN MAL ESTADO
0.98
EN BUEN ESTADO
0.02
EN MAL ESTADO
0.99
EN BUEN ESTADO
B=0.40
C =0.10
0.01
EN MAL ESTADO
P(B/M)=
(0.40)(0.02)/P(M)
P(B/M)= 0.33
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Solución 2:
Utilizando el teorema De BAYES
𝑃(𝐵𝑟 )𝑃(𝐵/𝐵𝑟 )
𝑃 𝐵𝑅 /𝐵 = 𝑛
𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐵/𝐵𝑖 )
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
𝑃(𝐵2 )𝑃(𝐵/𝐵2 )
𝑃 𝐵2 /𝐵 = 𝑛
𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐵/𝐵𝑖 )
𝑃(𝐵2 )𝑃(𝐵/𝐵2 )
𝑃 𝐵2 /𝐵 =
𝑃(𝐵)
P(𝐵2 /𝐵)=(0.40)(0.02)/P(B)
𝑃(𝐵2 /𝐵)=0.33
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
5) Se escoge un producto al azar, y se nota que
se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la
probabilidad de que es producto haya sido
producido por la máquina A?
Solución 1:
Se separan los eventos condicionales de las
hojas y se multiplican por sus ramificaciones
considerando los espacios muestrales
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
PRODUCCIÓN
PRODUCTOS
0.97
EN
BUEN ESTADO
A = 0.50
Emp
0. 03
EN MAL ESTADO
0.98
EN BUEN ESTADO
0.02
EN MAL ESTADO
0.99
EN BUEN ESTADO
B=0.40
C =0.10
0.01
EN MAL ESTADO
P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)
P(A/B)=0.485
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
6) ¿Qué máquina produce con mayor eficiencia?
PRODUCTOS
PRODUCCIÓN
0.97
EN
BUEN ESTADO
A = 0.50
Emp
0. 03
EN MAL ESTADO
0.98
EN BUEN ESTADO
0.02
EN MAL ESTADO
0.99
EN BUEN ESTADO
B=0.40
C =0.10
0.01
EN MAL ESTADO
P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)
P(A/B)=0.485
P(B/B)=(0.40)(0.98)/P(B)
P(B/B)=0.392
P(C/B)=(0.10)(0.99)/P(B)
P(C/B)=0.099
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Una firma de consultoría renta automóviles de
tres agencias, 20% de la agencia D, 20% de la
agencia E y 60% de agencia F. Si 105 de los autos
de D, 12% de los autos de E y 4% de los autos de
F tienen neumáticos en mal estado, 1) ¿cuál es
la probabilidad de que la firma tendrá un
vehículo con neumáticos en mal estado?
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Renta Autos
Llantas
0.90
EN
BUEN ESTADO
D = 0.20
Emp
0. 10
EN MAL ESTADO
0.88
EN BUEN ESTADO
0.12
EN MAL ESTADO
0.96
EN BUEN ESTADO
P(D)=(0.20)(0.10)+
(0.20)(0.12)+
(0.60)(0.04)
E=0.20
F =0.60
0.04
EN MAL ESTADO
P(D)=0.068
Ejemplo2 : Probabilidades
condicionales
Método 2
Br = Las agencias
A= llantas en mal estado
𝑃 𝐴 =?
𝑛
𝑃 𝐴 =
𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐴/𝐵𝑖 )
𝑖=1
Ejemplo2 : Probabilidades
condicionales
𝑃 𝐴
= 𝑃 𝐵1 𝑃(𝐴/𝐵1 ) + 𝑃 𝐵2 𝑃(𝐴/𝐵2 )
+ 𝑃 𝐵3 𝑃(𝐴/𝐵3 )
𝑃 𝐴
= 0.20 0.10 + 0.20 𝑃 0.12
+ 0.60 0.04 = 0.068
Ejemplo2 : Probabilidades
condicionales
Si se alquila un vehículo con neumáticos en mal
estado, ¿cuál es la probabilidad de que haya
sido alquilado de E?
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Renta Autos
Llantas
0.90
B1=
Emp
EN BUEN ESTADO
P(E/D)=(0.20)(0.12)
/0.068
D = 0.20
0. 10
EN MAL ESTADO
0.88
EN BUEN ESTADO
0.12
EN MAL ESTADO
0.96
EN BUEN ESTADO
B2= E=0.20
B3= F =0.60
0.04
EN MAL ESTADO
P(E/D)=( 0.35
Ejemplo1 : Probabilidades
condicionales
Método 2
𝑃(𝐵2 )𝑃(𝐴/𝐵2 )
𝑃 𝐵2 /𝐴 = 𝑛
𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐴/𝐵𝑖 )
(0.20)𝑃(0.12)
𝑃 𝐵2 /𝐴 =
= 0.35
0.068