Transcript Praesentation_Middelfart_16_september

Kognitions rolle i matematik
Kognition og uendelighed
Bjørn Felsager
Midtsjællands Gymnasieskoler
DASG, Middelfart den 16. september 2013
Embodiment: Vores bevidsthed struktureres
af vores sansemotoriske erfaringer
Jeppe Hein: Distance på Aros kunstmuseum
http://www.youtube.com/watch?v=1Vfcx2CtmRA
Hvordan tænker vi? Hvordan virker hjernen?
”Fordi vi ikke forstår hjernen særlig godt,
fristes vi hele tiden til at bruge den nyeste
teknologi som en model for at prøve at forstå
hjernen. I min barndom blev vi altid forsikret
om, at hjernen var et omstillingsbord for
telefonsamtaler. (’Hvad skulle det ellers
være?’). Det morede mig at se, at Sherrington,
den store engelske neuro-videnskabsmand,
forestillede sig at hjernen virkede som et
telegraf-system. Freud sammenlignede ofte
hjernen med hydrauliske og elektromagnetiske
systemer: Leibniz sammenlignede den med en
mølle; Og jeg er blevet fortalt, at de gamle
grækere forestillede sig at hjernen virkede som
en katapult. For tiden er metaforen
selvfølgelig den digitale computer.”
John Searle, Minds, Brains and Science (1984)
Aksel Tofte, Seksuel hygiejne (1957)
Den første kognitive revolution: 60’erne
Turing’s revolution:
Allan Turing 16 år gammel da
Hans første ven
han begynder i gymnasiet
Christopher Morcom
Vennen dør 2 år efter!
Turing beslutter sig for at forstå den menneskelige bevidsthed og specielt
finde ud af, om den kan eksistere uden en krop!
Turingmaskinen og Turing testen
Turingmaskinen (1928)
Al meningsfyldt tænkning er algoritmisk
og kan simuleres af en Turingmaskine
Turing testen (1950): Kan maskiner tænke?
(Turing selv regnede med at testen ville
lykkes i 2000!)
Wiener (1964): Mennesker og maskiner
– en fælles struktur (det er softwaren –
ikke hardwaren, der er afgørende!
Den universelle Turingmaskine
Status for Artificial Intelligence
1997 : IBM’s computer Deep Blue vinder
over verdensmesteren i skak på turneringsvilkår.
2011: IBM’s computer Watson
vinder over to af verdens
førende Jeopardy eksperter på
basis af 4 TeraByte information
herunder adgang til Wikipedia.
Status for Artificial Intelligence
Wolfram Alpha (2009) Vidensmaskine
http://www.wolframalpha.com/
•
Metaforen er den grundlæggende
mekanisme, der gør abstrakt
tænkning mulig.
•
Al matematik er menneskeskabt.
1. Kropslig forankring (embodiment) af
bevidstheden. Det gælder også for
vore matematiske begreber og
ræsonnementer.
2. Det kognitive ubevidste. Størstedelen af
vores tankevirksomhed er ubevidst –
Det gælder også hovedparten af den
matematiske tankevirksomhed.
2000
3. Metaforisk tænkning. Ved matematisk
tænkning benyttes også begrebsmæssige metaforer, som når vi fx tænker på
tal som punkter på en linje.
Metaforer om matematik
I keep the subject of my inquiry constantly before me,
and wait till the first dawning opens gradually, by little
and little, into a full clear light.
Newton
Wiles: Fermat’s last theorem
http://www.youtube.com/watch?v=7FnXgprKgSE
Billedskemaer
Dansk:
Container-skemaet
Dansk:
Kilde-vej-mål-skemaet
Introduktion til blending og metaforer i matematik
Blending: To forskellige inputrum
afbildes på et fælles outputrum
(blendingen) som dels arver egenskaber fra
begge inputrummene, dels udvikler sine
egne særegne karakteristiske egenskaber
som konsekvens af blendingen:
2002
Gåden om den buddhistiske munk.tns
Historien bag gåden om den buddhistiske munk:
Fauconnier har den fra Koestler: The act
of creation (1964).
Koestler kalder den bare for ‘a famous
brain-teaser’.
Gardner har den med i sine samlinger af
matematiske gåder, hvor han tilskriver
den den tyske gestaltpsykolog Karl
Dunckner, der skrev en skelsættende
bog om problemløsning (1945):
Duncker writes of being unable to solve it and
of observing with satisfaction that others to
whom he put the problem had the same
difficulty. There are several ways to go about it,
he continues, "but probably none is ... more
drastically evident than the following. Let
ascent and descent be divided between two
persons on the same day. They must meet.
Ergo.... With this, from an unclear dim
condition not easily surveyable, the situation
has suddenly been brought into full daylight."
Kognition og didaktisk
matematik:
De tre måder at tænke på
i matematik (David Tall)
Procept: Proces-Concept Duality
Matematikkens Janushoved:
Intuition versus logik
Kreativitet versus stringens
Eksperiment versus bevis
Matematik skal ikke bare bevises, men også
konstrueres/opdages: Før man kan bevise en
sætning må man via eksperimenter, undersøgelser, gætteværk osv. finde frem til den.
Matematik skal ikke bare udføres, men også
forstås: Her kommer den moderne
kognitionsforskning afgørende ind i billedet:
Hvad vil det sige at forstå?
Katz and Tall:
THE TENSION BETWEEN INTUITIVE INFINITESIMALS AND
FORMAL MATHEMATICAL ANALYSIS
Luzin (Moskva) som prototypen på den intuitive matematiker:
Kan man lave en savtak-funktion med uendeligt mange takker?
Luzin: Intuitivt ja! Takkerne bliver så blot uendeligt små!
Luzins sav.tns
Kognition og didaktisk matematik:
Reification as the birth of metaphor
(Anna Sfard)
When I have a new concept, I need a human
metaphor. Personification of the concept. Or a
spatial metaphor. A new metaphor of structure.
Only when I have it can I answer questions, solve
problems, perform manipulations. I can do this only
after I have the metaphor.
…
When do you feel that you have really understood something? It is only when you
are perfectly certain, without having to check, that things must be exactly the way
they are. It’s like in the case of an intimate familiarity with a person. With such a
person you often know what he is going to do without having to ask … Like a person
whom you really know and understand , (the mathematical construct) will perform
certain operations or will react in a certain way to your action. This intimacy is
exactly what I had in mind: you know what is going to happen without making any
formal steps. Of course, as in the case of human relationships, you may sometimes
be wrong!
(Interview with a Set Theoretician without formal knowledge of cognitive science)
Professionelle matematikere tænker intuitivt i metaforer!
Mikkel Willum Johansen:
Naturalism in the philosophy of mathematics
Modeller som metaforer
Aksiomatisk-deduktiv tænkning
Abraham Lincoln (1809-1865)
http://www.youtube.com/watch?v=SPiw7bKwL2M
"In the course of my law reading I constantly came upon
the word demonstrate. I thought, at first, that I understood
its meaning, but soon became satisfied that I did not. I
said to myself, What do I do when I demonstrate more
than when I reason or prove? How does demonstration
differ from any other proof?
At last I said,—Lincoln, you never can make a lawyer if you
do not understand what demonstrate means; and I left my
situation in Springfield, went home to my father's house,
and stayed there till I could give any proposition in the six
books of Euclid at sight. I then found out what
demonstrate means, and went back to my law studies."
Transformationsgeometri: Flytninger som bevægelser
Pythagoras sætning
Pythagoras sætning som flisedækning.tns
De fire rodmetaforer for tal
1. Samlings-metaforen for tælletal
(naturlige tal)
2. Byggeklods-metaforen for deletal
(rationale tal)
3. Målestoks-metaforen for måletal
(irrationale tal)
B
A
4. Bevægelses-metaforen for vilkårlige tal
(negative tal)
Start
Position
Slut
Den sidste metafor bygger altså på en opfattelse af tal som punkter på en linje.
Om negative kvadrattal og deres imaginære rødder (Wallis, 1685)
Men det er også umuligt, at en størrelse … kan være negativ. For det er ikke muligt for en
størrelse at være mindre end ingenting, eller for et antal at være færre end ingen.
Ikke desto mindre er forestillingen (om de negative tal) hverken unyttig eller absurd når
den forstås rigtigt. Og det skønt den i forhold den algebraiske skrivemåde henviser til en
størrelse, som er mindre end ingenting. For når det kommer til en fysisk anvendelse,
betegner det en størrelse, der er lige så virkelig, som hvis fortegnet var +. Men den skal
fortolkes på modsat vis.
Lad os tage et eksempel: Antag, at en person er rykket fem meter frem fra A til B. Og at han
så trækker sig to meter tilbage (fra B til C). Jeg spørger nu: Hvor langt er han rykket frem (i
løbet af hele turen), når han er kommet til C? Eller: Hvor mange meter er han rykket frem i
forhold til udgangspunktet A? Så finder jeg (ved at trække 2 fra 5) at han er rykket 3 meter
frem (eftersom +5 – 2 = +3).
D
A
C
B
Men hvis han, når han rykker 5 meter frem til B, derefter trækker sig 8 meter tilbage til D,
og vi spørger: Hvor langt er han rykket frem, når han er kommet til D, eller hvor meget er
han gået frem i forhold til A? Så siger jeg –3 meter (eftersom +5 – 8 = –3). Det vil sige han
er rykket 3 meter mindre frem end ingenting.
Dette er ikke en meningsfyldt talemåde … Men i normal tale burde vi sige følgende: Han
er rykket 3 meter bagud eller han mangler 3 meter i at være lige så langt fremme, som da
han var i A. … Så +3 betyder 3 meter fremad; og –3 betyder 3 meter bagud: Men
stadigvæk langs den samme rette linje.
Leibniz: Nova Methodus 1684 (den nye metode til at finde
maksima og minima – differentialregningens fødsel!)
Newton 1760:
Enumeration of
lines of the third
order.
Blending og metaforer i matematik
Tallinjen bygger på metaforen: Tal er punkter på en linje.
Blending: To forskellige inputrum afbildes på et fælles outputrum
(blendingen) som dels arver egenskaber fra begge inputrummene,
dels udvikler sine egne særegne karakteristiske egenskaber som
konsekvens af blendingen.
Tallinjen er en blending af den rette linje fra geometri og tallene
fra aritmetik.
Den tillader os at se på tal på en helt ny måde og ikke mindst finde
en plads til de negative tal! Vi kan fx tale om at 'to tal ligger tæt på
hinanden' eller at 'en serie af tal ligger ækvidistant' ...
Multiple repræsentationer i matematik:
Kognitive værktøjer I
Inskriptioner: De mest fundamentale repræsentationer er tekster
baseret på alfanumeriske tegn: bogstaver og tal.
Bemærkning: Der findes højkulturer, der kun kendte til repræsentationer af tal, fx Inkariget.
Løbende embedsmand
fra Inkariget med sin
karakteristiske konkylie,
sin quipu (talsnore) og
sin rygsæk.
Quipu: Inkaernes regnemaskine (abakus)
Inkarigets vejnet med de to hovedveje ved havet og inde i
landet, bundet sammen af utallige forbindelses- og
sideveje, I alt over 40.000 km veje.
Multiple repræsentationer i matematik:
Tekster, tabeller, grafer og formler
Propositiones ad acuendos juvenes
XXVI. PROPOSITIO DE CVRSV CANIS AC FVGA LEPORIS.
Est campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite
stabat canis, et in alio stabat lepus. Promouit namque canis
ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis
faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII.
Dicat, qui uelit, quot pedes, quotque saltus canis
persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehensus
est, fecerunt].
26. Problemet med den jagende hund og den flygtende hare
“En mark er 150 fod lang. I den ene ende er der en hund, i den
anden en hare. Hunden jager haren, da denne løber væk.
Hunden flytter sig 9 fod i et spring, mens haren flytter sig 7 fod.
Hvor mange fod skal den forfølgende hund og den flygtende
hare tilbagelægge før haren er nedlagt?”
26. Problemet med den jagende hund og den flygtende hare
“En mark er 150 fod lang. I den ene ende er der en hund, i den anden en
hare. Hunden jager haren, da denne løber væk. Hunden tilbagelægger 9 fod
i et spring, mens haren tilbagelægger 7 fod. Hvor mange fod skal den
forfølgende hund og den flygtende hare tilbagelægge før haren er nedlagt?”
Metaforisk analyse (den skjulte forståelse I):
”En mark er 150 fod lang”
Rum er tal: antal fod
Vi gør rummet konkret ved at skridte det af: Så og så mange fod!
Målestokken for rummet er én fod.
”Hunden tilbagelægger 9 fod i et spring, mens haren tilbagelægger 7 fod”
Tid er tal: antal spring
Vi gør tiden konkret ved at tælle antal spring (der fungerer som en
metronom: Springene tager lige lang tid!).
Målestokken for tiden er ét spring.
Løsning: Længden af marken er 150 fod. Tag halvdelen af 150, som giver
75. Hunden tilbagelægger 9 fod i et spring. 75 gange 9 er 675; dette er
antallet af fod, som den forfølgende hund tilbagelægger før han får fat i
haren med sin gribende mund. Eftersom haren tilbagelægger 7 fod, skal
vi gange 75 med 7, hvorved vi får 525. Dette er antallet af fod som den
flygtende hare tilbagelægger før den er fanget.
I den klassiske løsning analyserer man bevægelsesmønstret
(den skjulte forståelse II):
I hvert spring mindskes forspringet med 9 fod – 7 fod = 2 fod.
”Længden af marken er 150 fod”.
Til at begynde med er forspringet 150 fod.
”Tag halvdelen af 150, som giver 75.”
Forspringet forsvinder derfor efter 150/2 spring = 75 spring.
…
Kognitive værktøjer II
Tabelrepræsentation
Kognitive værktøjer III
Grafrepræsentation
Tal kan organiseres i lodrette lister.
Lister kan samles på langs i tabeller.
En tabel strukturerer tallene i
sammenhørende lister og kan derfor
bruges til at gennemskue
sammenhænge mellem de variable, der
indgår i problemet.
Grundlæggende metafor: Tal er punkter på en
linje = tallinjen
Den tilbagelagte afstand kan afbildes som
punkter på en tallinje (rum er tal).
Den tilbagelagte tid kan afbildes på en tallinje
(tid er tal).
Tallinjerne kan blendes i et koordinatsystem.
Katja Wagner: Tabeller og grafer som
metaforiske repræsentationsrum!
Kognitive variable III: Fra statiske til dynamiske variable
Numeriske variable som bevægelse: Skyderen
Skyderen som variabel.tns
I tabeller repræsenteres variable som lister – det er en statisk
repræsentation. Hele variablen fremlægges på en gang. Vi kan løbe
listen igennem, men alle værdierne er der fra start.
I grafer repræsenteres variable som tallinjer/akser i et
koordinatsystem - det er igen en statisk repræsentation. Hele
variablen fremlægges på en gang: Vi kan løbe aksen igennem, men
alle værdierne er der fra start.
I regneark er en variabel repræsenteres variablen ved en celle, der viser
hvilken aktuel værdi den lagrede variabel har. Der findes et specielt
lighedstegn := der tildeler variablen en værdi.
I formler er variablen repræsenteret ved et symbol, et bogstav eller et
navn. Metaforisk kan man tænke på den symbolske variabel som et
“kort med en skjult værdi”. På forsiden af kortet står bogstavet for
variablen – på bagsiden står den aktuelle tilfældige værdi. Først når
man vender kortet kan man få den skjulte værdi at se – hver gang man
vender kortet vises en ny tilfældig værdi.
Mødet med uendelighed: Zenos paradokser
Zenons paradokser I: Tvedelingen
“Den, der er i bevægelse, må først tilbagelægge
halvvejen, før målet kan nås.”
—Aristoteles, Fysikken VI:9, 239b10
Zenons paradokser II:
Akilleus og skildpadden
“I et væddeløb kan den hurtigste aldrig indhente
den langsomste, for først skal forfølgende nå
frem til det sted, hvorfra den forfulgte startede;
derfor vil den forfulgte altid have et forspring.”
—Aristoteles, Fysikken VI:9, 239b15
http://www.youtube.com/watch?v=VI6UdOUg0kg
Akiresu to Kame
1981
1. abrikostræerne
2. bregnerne
3. cikaderne
4. duerne
5. efteråret
6. fiskehejren
7. grænserne
8. hviskningerne
9. istiderne
10. juninatten
atombomben
11. kærligheden
et sted
fragment
brintbomben
12. livet
midt i november
sneen
nu ingen panik
fra et tog
cobaltbomben
13. malmen
det lagdelte lys
som hvis brinten
det er temmelig nyt
følger nu søvngængerruten
defolianterne
alfabeterne
14. nætterne
her står jeg så
kanalen i Gävle
der er noget særligt
nu går drømmerne
1981
1
abrikostræerne findes, abrikostræerne findes
2
bregnerne findes; og brombær, brombær
og brom findes; og brinten, brinten
3
cikaderne findes; cikorie, chrom
og citrontræer findes; cikaderne findes;
cikaderne, ceder, cypres, cerebellum
4
duerne findes; drømmerne, dukkerne
dræberne findes; duerne, duerne;
dis, dioxin og dagene; dagene
findes; dagene døden; og digtene
findes; digtene, dagene, døden
5
efteråret findes; eftersmagen og eftertanken
findes; og enrummet findes; englene,
enkerne og elsdyret findes; enkelthederne
findes, erindringen, erindringens lys;
og efterlyset findes, egetræet og elmetræet
findes, og enebærbusken, ensheden, ensomheden
findes, og edderfuglen og edderkoppen findes,
og eddiken findes, og eftertiden, eftertiden
defolianterne findes
for eksempel dioxin
der afløver træer og
buske og ødelægger
mennesker og dyr
ved besprøjtning
af afgrøder, skove
opnår man løvfald
og død midt i den
frodigste sommer;
…
Katrine Ærtebjerg, The Purple Sky, 2007
se den dejlige sommer
de dueblå blommer
forstøves og fnugger som fjer
se den gråhvide bynke
forvitre og synke
til bunds i det uskabte ler
i uendelighed
der skrives de ind i det planløse spil
hvor ingen kan vide om noget bliver til
om det der er krage og lærke og stær
for altid fortabt vil befinde sig der
i uendelighed
uendelighed
mens et elmetræs blade
fejes hen ad en gade
og sommeren gråner af sod
går jeg tur i alleen
det er mørkt som når sneen
en aften er frosset til blod
i uendelighed
her drejer jeg ind bag en kirkegårds mure
hvor kun de forstenede duer går ture
her lister de rundt til de finder et sted
hvor stenhjertet siger dem freden slår ned
i uendelighed
uendelighed
Inger Christensen: Alfabet!
En verden skabes ved hjælp
af Fibonaccistrukturen
Tallene har altså mindst to meget synlige liv. Et liv som
tegnsystem i naturvidenskabens tjeneste, især for materier
uden for mennesket, hvor en sprogligt stum selvforståelse
synes nødvendig, og et liv som symbolsystem i samfundet, i
vores handel og vandel med verden og hinanden, vores absolut
ufilosofiske skalten og valten, udlagt i handelstal, statistikker,
budgetter m.m.
Men i mellemrummene mellem tallenes mange liv i samfundslivet har de et liv i sig selv, et liv vi er så indlejret i, at vi næsten
ikke kan se det. På samme måde som øjet ikke kan se sin egen
nethinde. Vi har indimellem en anelse om denne talverdens
eksistens, men for det meste lader vi den være, som noget vi
ikke har brug for.
Denne oplevelse af talrækken som proces, og ikke bare mekanisk
rækkefølge, har altid været tiltrækkende for mig, som forestillingen
om en billedverden, en metafor for den usynlige verden, som ville
svare til, men frem for alt sammenstille og strukturere forholdet
mellem sproget og den synlige verden, den vi til daglig kalder ved
navn.
Sådan mener jeg, at både tale og tal er billedsprog, som griber ind i
hinanden og er afhængige af hinanden, eftersom fænomenerne
ikke kan træde frem uden om en fælles opretholdende struktur,
mens en struktur omvendt ikke kan erkendes uden om fænomenerne. Her er vi selvfølgelig tæt ved poesien.
Det er her matematikken kommer ind. Og kom ind i situationen. For nok er besværgelsen
af sproglig karakter - som når stenalderfolkene må have messet deres ord rundt om bålet for at
holde mørket på afstand - men den er samtidig af rytmisk, musikalsk karakter og dermed i
grunden af talkarakter.
Det er åbenlyst, at et digt der vil beskrive verden som helhed (af naturlige grunde i forkortet form!)
ikke bare kan opremse alverdens fænomener tilfældigt (og alfabetet er jo tilfældigt). Fænomenerne
optræder ikke af sig selv i nogen hel sammenhæng, bare fordi de benævnes. Deres sammenhæng
ligger skjult i det, der må have betinget deres tilsynekomst. For os ligger den skjult i bestandigt
reviderede teorier om universets opståen.
Alle går rundt med forestillinger om, hvordan verden er indrettet og forløber. På den tid, da alfabet
blev skrevet, var Big-Bang-teorien den førende. Da universet blev født, skete der følgende: Alt, som
i begyndelsen var presset sammen til næsten intet, eksploderede og spredte sig til alle sider, en
bevægelse der vil fortsætte, indtil spredningen er så stor, at alting vil synes at forsvinde og blive til
intet igen, eller næsten intet. Et billede altså. Som jeg selv kom til at opleve, nærmest som et syn,
da jeg I min søgen efter ord tilfældigvis faldt over tal (i et leksikon under f) nemlig Fibonaccis
talrække …
Man kan måske betragte Fibonaccis række som en kuriositet (dens tal nærmer sig Det Gyldne
Snit), men man kan åbenbart også, som jeg, opleve, at hvis man i poesien skal gøre rede for
forholdet `mig plus verden', så åbenbarer dette plus sig som tallenes liv i sig selv.
Hvis tallene, her Fibonaccis række, danner grundstrukturen i et sprogligt værk, optræder de uden
videre som en spejling af den sammenhæng, sproget ikke selv kan nå.
Det siger jeg, fordi jeg har oplevet Fibonaccis række som et digt, der befandt sig ude i
ulæseligheden, men hvis formelle struktur jeg kunne presse ned over de indsamlede ord og deres
fænomener. Derved har jeg skrevet et digt, som er forholdsvis læseligt, men som måske mest er det
ved at pege på vores fælles ulæselighed.
Det gyldne snit og fibonaccitallene
som uendelighedsmetaforer
Fibonaccitallene.tns
Superaktiviteter: Matematikkens tvetydighed
Zenos paradokser kan ikke løses med et matematisk fiks!
En superaktivitet er en uendelig serie af aktiviteter udført på en endelig tid!
Thomsons lampe
En lampe tændes til tiden 0,
slukkes efter et halvt minut,
tændes efter et kvart minut
osv. I hvilken tilstand er
lampen efter 1 minut?
Boldene i vasen
Der lægges ti bolde i vasen, men der fjernes også en
bold igen, til tiden 0. Der lægges ti nye bolde i vasen,
men der fjernes også en bold, efter et halvt minut.
Der læggges ti nye bolde i vasen, men der fjernes
også en bold efter et kvart minut osv.
Hvor mange bolde er der I vasen efter 1 minut?
Cantor og uendelighed
Potentiel uendelighed: Vi har en proces, der kan fortsættes i det uendelige, fx at tælle 1,
2, 3, … .
Aktuel uendelighed: Vi har en mængde med uendeligt mange elementer., fx mængden
af de naturlige tal N = {1, 2, 3, …}
Absolut uendelighed: Vi har en totalitet, der ikke kan udvides, fx Universet bestående
af alle mulige tanker. Der er ingen tanker udenfor!
The fear of infinity is a form of myopia that destroys the possibility of seeing the actual
infinity, even though it in its highest form has created and sustains us, and in its
secondary transfinite form occurs all around us and even inhabit our minds.
The actual infinite arises in three contexts:
first when it is realized in the most complete form, in a fully independent other-worldly
being, in Deo, where I call it the Absolute Infinite or simply Absolute; second when it
occurs in the contingent, created world; third when the mind grasps it in abstracto as a
mathematical magnitude, number, or order type.
I wish to make a sharp contrast between the Absolute and what I call the Transfinite, that
is, the actual infinities of the last two sorts, which are clearly limited, subject to further
increase, and thus related to the finite.
Cantor og uendelighed II:
Hilberts hotel
Galileis paradoks: Der er lige så
mange kvadrattal som naturlige tal!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 …
Hvis der kommer uendeligt mange
busser med uendeligt mange passagerer
kan han så finde plads?
Primtallene kommer direktøren til undsætning!
Gamle gæster flyttes til 2’er-potenser:
2, 4, 8, 16, 32, 64, …
Bus nr 1 indlogeres i 3’er potenser:
3, 9, 27, 81, 243, 729, …
Bus nr 2 indlogeres i 5’er potenser:
5, 25, 125, 625, 3125, … osv. osv.
Den narrative struktur i hotel uendelig: En succesfuld direktør synes at kunne løse
alle problemer, men gæsterne bliver stadigt mere frustrerede over at de hele tiden
skal skifte værelser. Så de ender med at gøre oprør mod hotellets direktør:
En af gæsterne, Professoren, lægger en snedig
plan: Professorens beder direktøren reservere
værelser, så all mulige komiteer af gæster kan
mødes, og anmode om at få reserveret et
værelse til julen, idet forskellige komiteer skal
have reserveret forskellige værelser. Dette
tvinger direktøren ind i en selvmodsigende
tilstand han ikke kan slippe ud af, så han er
tvunget til at trække sig tilbage!
Velkommen til helvede! Du
får en chance for at slippe fri!
Smullyans djævlespil
Ved ankomsten skriver djævlen et helt tal ( …, -3, -2, 1, 0, 1, 2, 3 …) på en seddel. Hvis du
gætter tallet slipper du fri! Du har et gæt hver dag – kan du være sikker på at slippe fri?
Ved ankomsten skriver djævlen et rationalt tal (uforkortelig brøk) på en seddel. Hvis du
gætter tallet slipper du fri! Du har et gæt hver dag – kan du være sikker på at slippe fri?
Djævlen skriver en endelig mængde af naturlige tal på en seddel (helvedes lotto, du
ved ikke hvor mange tal han skriver!). Hvis du gætter tallet slipper du fri! Du har et
gæt hver dag – kan du være sikker på at slippe fri?
Djævlen skriver en vilkårlig mængde af naturlige tal på en seddel (allerhelvedes
lotto, der kan stå uendeligt mange tal på sedlen!). Hvis du gætter tallet slipper du fri!
Du har et gæt hver dag – kan du være sikker på at slippe fri?
Cantor og uendelighed III:
Cantors triumf: Det uendelige hierarki
af uendeligheder: Potensmængderne
{a,b,c} har 3 elementer
P({a,b,c}) = { {}, {a}, {b}, {c}, {ab}, {bc}, {ca}, {a,b,c} }
har 2^3 = 8 elementer
V0 = {} har 1
element.
V1 = P(V0) = { {} }
har 1 element.
V2 = P(V1) =
{ {}, {{}} } har 2
elementer.
V3 = P(V2) har
2^2=4 elementer.
V4 = P(V3) har
2^4 = 16
elementer.
V5 = P(V4) har
2^16 = 65536
elementer.
V6 = P(V5) har
2^65536
23  8
En uendelig verden kan skabes ud af ingenting: Den tomme mængde {}.
Cantors sætning:
En potensmængde har altid flere elementer end mængden selv!
Hvis A er en mængde A = {a, b, c, …} så indeholder potenstmængden P(A) = {{},
{a}, {b}, {c} , … , {a,b}, … , A } flere elementer!
Argument (inddirekte): Hvis der var lige mange kunne vi parre elementerne i A med
delmængderne i P(A), dvs. til ethvert element x knyttes en delmængde Sx
og vi får udtømt alle delmængderne!
Men vi kan nu konstruere en delmængde S, der ikke er med i parringen: For hvert
element x i A skal vi afgøre om x skal med i delmængden S eller ej:
Hvis x ligger i den tilknyttede delmængde Sx tager vi ikke x med i delmængden (der
dermed bliver forskelig fra Sx).
Hvis omvendt x ikke ligger i den tilknyttede delmængde Sx tager vi netop x med I
delmængden S. (der igen bliver forskellig fra Sx)
På den måde sikrer vi os at delmængden S ikke passer mde nogen af delmængderne
Sx, dvs. den kommer ikke med I parringen.
Konsekvens: Direktøren kan ikke reservere forskellige værelser til alle komiteerne
Vi har ingen sikker chance i djævlens allerhelvedes lotto!
Cantors uløste problemer I:
Jessens balsal:
Hvornår er der lige mange piger og drenge?
(i) Antag at drengene byder pigerne op til dans og der er piger nok.
(ii) Antag også at pigerne byder drengene op til dans og der er drenge
nok.
Så er der lige mange piger og drenge og vi kan sende dem ud at danse,
så ethvert par stemmer overens med et par fra en af de to danserunder!
Bemærkning: Jessens balsal er meget større end Hilberts hotel! Drengemængderne og
pigemængderne kan være vilkårligt uendeligt store!
Løsning (Dedekind, men Cantor hørte ikke om det!):
Vi skal sikre os at bænkevarmerne kommer ud at danse! Enhver bænkevarmer (dreng
eller pige!) har i den modsatte danserunde haft mulighed for at byde en partner op.
Det starter en kæde af dansepar:
Bænkevarmer → Partner
↙
Partners partner → Partners partners partner
↙
osv. Kæden (der godt kan være endelig!) skal overholdes. Af dem der bliver til overs
skal vi bare trække lod én gang for alle om det er drengenes valg eller pigernes valg, der
skal bruges!
Cantors uløste problemer II:
Continuum-hypotesen (Hilberts første uløste problem!)
Cantor viste at mængden af de reelle tal (kontinuet) er større end mængden af de
naturlige tal. Men findes der delmængder af de reelle tal, som er mindre end de
reelle tal, men større end de naturlige tal?
Cantor var psykisk ustabil og nåede aldrig selv at løse gåden, men troede det ene
øjeblik at han kunne bevise den, det næste at han kunne modbevise den.
Gødel viste sensationelt at de sædvanlige aksiomssystemer ikke var stærke nok til at
modbevise continuumshypotesen. Cohen at de ikke var stærke nok til at bevise
den!
Cantors uløste problemer II:
Continuum-hypotesen (Hilberts første
uløste problem!)
Der findes ( mindst!) tre typer af
matematikere:
a) Platonikerne: Der findes kun en slags
reelle tal og kun en slags delmængder
af de reelle tal. Vi må lede efter
stærkere aksiomer, der kan finde den
absolutte sandhed.
b) Formalisterne: Der findes ikke andet
end aksiomssystemer. I nogle
aksiomssystemer er den sand I andre
er den falsk. Sandheden er altså
relativt til hvilket aksiomssystem, du
vælger at bruge!
c) Realisterne: Matematikken hænger på
de sædvanlige aksiomssystemer som
er de eneste vi har grund til at tro på.
Spørgsmålet er derfor meningsløst!
Gödel (revolutionerende logiker)
Som Cantor troede han på eksistensen af
uendelige mængder som mentale objekter:
(i) First one must close off the other senses, for
instance, lying down in a quiet place. It is not
enough, however, to perform this negative
action, one must actively seek with the mind.
(ii) It is a mistake to let everyday reality
condition possibility, and only to imagine the
combinings and permutations of physical
objects — the mind is capable of directly
perceiving infinite sets.
(iii) The ultimate goal of such thought, and all
philosophy, is the perception of the Absolute.