Transcript Parte A - Centro Universitário da FEI

Robótica
Prof. Reinaldo Bianchi
Centro Universitário da FEI
2013
4a Aula
Parte A - Cinemática Inversa
6ª Aula para a Graduação
Objetivos desta aula

Modelo cinemático inverso:
– Métodos analíticos (ou soluções
fechadas):
• Geométrico (por Trigonometria).
• Algébrico.

Matlab.
Bibliografia


Capítulos 4 do Craig.
Robot Manipulators: Mathematics,
Programming, and Control
– Paul, R. P. - 1982 - MIT Press.

Robot Analysis: The Mechanics of
Serial and Parallel Manipulators
– Lung-Wen TSAI - 1999 - John Wiley.
Cinemática Inversa
K-1
( 1 …
 n)
(x, y, z, x, y, z)
Cinemática Inversa

Como o próprio nome diz:
– Como encontrar as posições das juntas
dadas a posição e a orientação da
ferramenta.

Problema complexo:
– Planejamento de trajetória
– Dinâmica.
Cinemática Inversa

“We do inverse kinematics
unwittingly, our eyes can determine
where an object is in 3D space, and
our sub-sub-conscious can figure
out the variables required to move
our hand to that position”
Introdução


O problema de resolver as equações
cinemáticas de um manipulador é não
linear.
Como em qualquer conjunto de
equações não lineares, temos de nos
preocupar com:
– a existência de soluções,
– com múltiplas soluções e
– com o método de solução.
Existência de soluções


Para que uma solução exista, o alvo
deve estar dentro do espaço de
trabalho.
Computar o envelope é difícil…
– Cada manipulador tem de ser estudado
para se entender o seu espaço de
trabalho.
– Projetos especiais facilitam essa
computação.
Exemplo: 2R
Exemplo: 2R



Se l1 = l2, o espaço de trabalho
alcançável consiste de um disco com
raio 2l1.
Dentro do espaço de trabalho
alcançável há duas orientações
possíveis para o efetuador.
Nos limites do espaço de trabalho
existe apenas uma orientação possível.
Duas soluções: qual a melhor?


O problema
pode ter mais
que uma
solução…
Como
escolher a
apropriada?
Escolhendo Soluções


O fato de um manipulador ter múltiplas
soluções pode causar problemas,
porque o sistema deve ser capaz de
escolher uma.
Os critérios nos quais basear a decisão
variam, mas uma opção bastante
razoável seria a solução mais próxima.
Escolhendo Soluções


Por exemplo, se o manipulador está no
ponto A, como na figura anterior e
queremos levá-lo para o ponto B, uma
boa escolha seria a solução que
minimiza o quanto cada junta terá de se
mover.
Assim, na ausência do obstáculo, a
configuração superior pontilhada da
Figura seria escolhida.
Qual a mais apropriada?
Puma: 4 soluções para o
manipulador …
Puma: 2 Soluções para o pulso…

Total: 8 soluções
Métodos de Solução para a
Cinemática Inversa



Enquanto a função f() é relativamente fácil de
computar, f-1() geralmente não o é.
Dado o valor numérico de uma transformada,
tentamos encontrar os valores de θ1, θ2, ... θn
Pode ser solucionado de diversas maneiras:
– Geometricamente.
– Algebricamente.
– Numericamente.
Manipulador Solucionável

Um manipulador é considerado
solucionável se:
– existir um algoritmo que permita
determinar todo o conjunto de variáveis de
juntas associados a uma posição e
orientação dadas.
– O principal ponto dessa definição é que,
no caso de múltiplas soluções, deve ser
possível calcular todas elas.
Subespaço quando n < 6


O conjunto de sistemas de referência
meta alcançáveis para um dado
manipulador constitui seu espaço de
trabalho alcançável.
Para um manipulador com n graus de
liberdade (sendo n < 6), esse espaço de
trabalho alcançável pode ser pensado
como uma porção de um subespaço
com n graus de liberdade.
Subespaço quando n < 6

Por exemplo, o subespaço do robô de
dois elos é um plano, mas o espaço de
trabalho é um subconjunto desse plano:
– um círculo de raio l1 + l2 para o caso em
que l1 = l2.
Subespaço quando n < 6


Em geral, ao definir um alvo para um
manipulador com n graus de liberdade,
usamos n parâmetros para especificar a
meta.
Se, por outro lado, damos uma
especificação para todos os seis graus
de liberdade, não conseguiremos atingir
o alvo com um manipulador n < 6.
Subespaço quando n < 6

Nesse caso podemos atingir um alvo
que está no subespaço do manipulador
e situado tão “próximo” quanto possível
do original desejado:
– Dado um sistema de referência de meta
genérico, compute um sistema de
referência de meta modificado de forma
que este se situe no subespaço do
manipulador e o mais “próximo” possível
do alvo...
Soluções analíticas x numéricas

Soluções do problema da cinemática
inversa podem ser classificadas em:
– Analíticas (ou soluções fechadas):
• Encontram uma solução exata através da inversão
das equações de cinemática direta.
• É possível apenas para problemas simples.
– Numéricas:
• Utilizam aproximação e diversas iterações para
tentar convergir para a solução.
• Tendem a ser mais genéricos e
computacionalmente mais custosos.
Cinemática inversa utilizando
métodos analíticos.
Soluções fechadas ou
Closed-form solutions
Método analítico.


Para criar o modelo cinemático inverso,
“basta” analisar o problema
matematicamente.
Vantagens:
– Cria o modelo completo.

Desvantagens:
– Complexidade dependendo da geometria
do manipulador.
Soluções de forma fechada

“Forma fechada” significa:
– um método de solução baseado em
expressões analíticas ou na solução
de um polinômio de grau 4 ou menor.
– Apenas cálculos não iterativos são
suficientes para chegar a uma
solução.
Exemplo 1: 2P

Dados x, y,
solucione
para d1, d2:
x = d2
y = d1
d2
d1
Exemplo 1: 2P


A cinemática direta e a inversa são triviais
para juntas prismáticas.
Existe somente uma solução:
– Equações lineares.
– Não usam funções trigonométricas.

Por este motivo esta geometria é popular:
– CNC
– Gantry
– Plotters, …
Exemplo 2: R+P

REFERENCE
POINT
(x, y)
Dados x e y,
solucionar
para 1 e d2
x = d2 cosq1
y = d2 sin q1
d2
y
2
1
1
f
x
Exemplo 2: R+P

Solução 1:
d2 = + x 2 + y 2
æ yö
q1 = arctan ç ÷
èxø

Solução 2:
d2 = - x 2 + y 2
æ yö
q1 = arctan ç ÷
èxø
Solucionando equações
trigonométricas…

A cinemática inversa geralmente
envolve funções trigonométricas:
– Inverso das funções geralmente possuem
múltiplas soluções.

Ruim pois causa indefinição sobre o
ângulo real do manipulador.
Solucionando equações
trigonométricas…
s = sin x, s = 12 , x = ?
c = cos x, c =
3
2
, y =?
arcsin ( 12 ) = 30°, 150°
arccos
( ) = 30°, - 30°
3
2
Função atan2(y,x)

Função atan2(y,x):
– Função inversa da tangente.
– Leva 2 argumento: x e y, com sinais.
– Sempre gera a mesma resposta.

Definição:
Definição de atan2(y,x)
y x = 0, y = 1, atan2(x, y) =
x < 0, y ³ 0
æ yö
a tan 2(x, y) = p + arctan ç ÷
èxø
p
2
x>0
æ yö
a tan 2(x, y) = arctan ç ÷
èxø
x
x < 0, y < 0
x>0
æ yö
a tan 2(x, y) = -p + arctan ç ÷
èxø
æ yö
a tan 2(x, y) = arctan ç ÷
èxø
x = 0, y = -1, atan2(x, y) = -
p
2
Atan2(y,x)
Algébrico x Geométrico

Dois métodos podem ser usados para
se obter a solução fechada:
– o algébrico e o geométrico.

Tal distinção é um tanto quanto
nebulosa:
– todo método geométrico empregado é
aplicado por expressões algébricas,
portanto os dois métodos são similares.
– Os métodos diferem apenas em termos de
abordagem.
Algébrico x Geométrico

Como introdução, vamos considerar as
duas abordagens para a solução de um
manipulador planar simples de três
elos:
– Geométrica
– Algébrica
Exemplo 3: Manipulador 3R
Exemplo 3: Manipulador 3R

Como trabalhamos com um
manipulador planar, a especificação
desses pontos alvos pode ser obtida
com mais facilidade especificando-se
três números: x, y e ϕ, sendo ϕ a
orientação do elo 3 no plano.
Solução geométrica para o 3R


Na abordagem geométrica para
encontrar a solução de um
manipulador, procuramos decompor a
geometria espacial do braço em vários
problemas de geometria plana.
Para muitos manipuladores (em
particular quando αi = 0 ou ±90), isso
consegue ser feito com bastante
facilidade.
Solução geométrica para o 3R


A Figura 4.8 mostra o triângulo formado
por l1, l2 e a linha que une a origem do
sistema de referência {0} com a origem
do sistema de referência {3}.
As linhas pontilhadas representam a
outra configuração possível do triângulo
que levaria à mesma posição do
sistema de referência {3}.
Figura 4.8 (livro Craig)
ϕ
Figura 4.8 (livro Craig)
θ2
θ1
θ3
Solução geométrica para o 3R

Considerando o triângulo contínuo,
podemos aplicar a “lei dos cossenos”
para resolver θ2:
(x 2 + y2 ) = l12 + l22 - 2l1l2 cos(180 - q2 )

Agora, cos(180 - q2 ) = -cos(q2 ), assim:
x 2 + y 2 - l12 - l22
cos(q 2 ) =
2l1l2
æ x 2 + y 2 - l12 - l22 ö
q 2 = arccos ç
÷
2l1l2
è
ø
Figura 4.8 (livro Craig)
Solução geométrica para o 3R

Para que esse triângulo exista, a
distância ao ponto alvo deve ser menor
ou igual à soma do comprimento dos
elos, l1 + l2.
– Em um algoritmo computacional essa
condição seria verificada neste ponto, para
confirmar a existência de soluções.
– Tal condição não é satisfeita quando o
ponto alvo está fora do alcance do
manipulador.
Solução geométrica para o 3R


Presumindo que uma solução existe,
essa equação é resolvida por um valor
de θ2 que está entre 0 e –180 graus,
porque somente para esses valores o
triângulo da Figura 4.8 existe.
A outra solução possível (indicada pelo
triângulo pontilhado) é encontrada por
simetria como θ'2 = –θ2.(arccos resulta
em 2 valores)
Solução geométrica para o 3R


Para resolver θ1, encontramos
expressões para os ângulos ψ e β como
mostra a Figura 4.8.
Primeiro, β pode estar em qualquer
quadrante, dependendo dos sinais de x
e y:
b = atan 2(y, x)
Figura 4.8 (livro Craig)
Solução geométrica para o 3R

Aplicamos mais uma vez a lei dos
cossenos para encontrar ψ:
cos(y ) =

x 2 + y 2 + l12 - l22
2l1 x 2 + y 2
Aqui, o arco cosseno deve ser resolvido
de forma que 0 ≤ ψ ≤ 180° para que a
geometria que leva a solução seja
preservada.
Solução geométrica para o 3R

Então temos:
q1 = b ± y,
æ x 2 + y2 + l 2 - l 2 ö
1
2 ÷
q1 = atan 2(y, x) ± arccos çç
÷
2
2
è 2l1 x + y ø

onde o sinal positivo é usado se θ2 < 0 e
o negativo se θ2 > 0.
Solução geométrica para o 3R

Sabemos que os ângulos de um plano
se somam, portanto a soma dos três
ângulos de juntas deve ser a orientação
do último elo:
f = (q1 + q2 + q3 )

Logo:
q3 = f - (q1 + q2 )
Conclusão geométrica 3R

Os ângulos são encontrados utilizando
as seguintes equações:
æ x 2 + y2 + l 2 - l 2 ö
1
2 ÷
q1 = atan 2(y, x) ± arccos çç
÷
2
2
è 2l1 x + y ø
æ x 2 + y 2 - l12 - l22 ö
q 2 = arccos ç
÷
2l1l2
è
ø
q3 = f - (q1 + q2 )
Mas, e se L3 ≠ 0 ?
L3 ?????
Mas, e se L3 ≠ 0 ?
L3 ?????
y’
x’
Mas, e se L3 ≠ 0 ?
L3 ?????
y’
x’
Mas, e se L3 ≠ 0 ?
L3 ?????
Este é o ponto x’, y’
y’
x = x '- l3 cos f
y = y'- l3 sin f
x’
Simplificamos a solução para o caso já resolvido
E se for um manipulador 2R?
(x , y)
A solução apresentada para
o 3R com L3 = 0 também
funciona para o 2R:
y
l2 2
l1
æ x 2 + y2 + l 2 - l 2 ö
1
2 ÷
q1 = atan 2(y, x) ± arccos çç
÷
2
2
2l
x
+
y
è 1
ø
1
x
æ x 2 + y 2 - l12 - l22 ö
q 2 = arccos ç
÷
2l1l2
è
ø
2R+1P

Similar aos dois exemplos 1P e 2R:
– Parte do manipulador é 2R:
– A parte de posicionamento no eixo z
(altura) é direta:
• junta prismática!

Por este motivo também é muito
popular.
Solução analítica para o 3R

Seguindo o método do Capítulo 3,
podemos usar os parâmetros de elos
com facilidade para encontrar as
equações cinemáticas desse braço:
Solução analítica para o 3R

Em vez de fornecer uma transformada
genérica como especificação de alvo,
vamos considerar uma transformação
com a estrutura:
Solução analítica 3R

Igualando as duas matrizes
=
Solução analítica 3R

Igualando as duas matrizes, chegamos
a um conjunto de quatro equações não
lineares que devem ser resolvidas para
θ1, θ2 e θ3:
cϕ = c123,
(4.8)
sϕ = s123,
(4.9)
x = l1c1 + l2c12,
(4.10)
y = l1s1 + l2s12.
(4.11)
Solução analítica 3R


Agora começamos nossa solução
algébrica das Equações (4.10) e (4.11):
x = l1c1 + l2c12
y = l1s1 + l2s12
Se elevarmos as duas ao quadrado,
obtemos:
x = (l1c1 + l2 c12 ) = l12 c12 + l22 c22 + 2l1l2 c1c12
2
2
y = (l1s1 + l2 s12 ) = l12 s12 + l22 s22 + 2l1l2 s1s12
2
2
Solução analítica 3R

Se somarmos as duas, obtemos:
x = ( l1c1 + l2 c12 ) = l12 c12 + l22 c122 + 2l1l2 c1c12
2
2
y = ( l1s1 + l2 s12 ) = l12 s12 + l22 s122 + 2l1l2 s1s12
2
2
(x 2 + y 2 ) = l12 c12 + l22 c122 + 2l1l2 c1c12 + l12 s12 + l22 s122 + 2l1l2 s1s12
Solução analítica 3R

Se somarmos as duas, obtemos:
(x 2 + y2 ) = l12 c12 + l22c122 + 2l1l2c1c12 + l12 s12 + l22 s122 + 2l1l2 s1s12

Reorganizando:
(x 2 + y2 ) = l12 (s12 + c12 )+ l 22 (s12 + c12 )+ 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )

Mas (s12 + c12 ) =1 , então:
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
Solução analítica 3R

Se somarmos as duas, obtemos:
(x 2 + y2 ) = l12 c12 + l22c122 + 2l1l2c1c12 + l12 s12 + l22 s122 + 2l1l2 s1s12

Reorganizando:
(x 2 + y2 ) = l12 (s12 + c12 )+ l 22 (s12 + c12 )+ 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )

Mas (s12 + c12 ) =1 , então:
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
Tem como
simplificar isso?
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )

Agora, pelas identidades
trigonométricas “sabemos” que:
s12 = c1s2 + s1c2
c12 = c1c2 - s1s2

E portanto:
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))
Sabemos:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_trigonométrica
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )

Agora, pelas identidades
trigonométricas “sabemos” que:
c12 = c1c2 - s1s2
s12 = c1s2 + s1c2

E portanto:
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))

Reorganizando:
(c1c12 + s1s12 ) = (c12c2 - c1s1s2 + s1c1s2 + s12 c2 )
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))

Reorganizando:
(c1c12 + s1s12 ) = (c12c2 - c1s1s2 + s1c1s2 + s12 c2 )
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))

Reorganizando:
(c1c12 + s1s12 ) = (c12c2 - c1s1s2 + s1c1s2 + s12 c2 )

Então temos:
(c1c12 + s1s12 ) = (c c + s c )
2
1 2
2
1 2
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))

Reorganizando:
(c1c12 + s1s12 ) = (c12c2 - c1s1s2 + s1c1s2 + s12 c2 )

Então temos:
(c1c12 + s1s12 ) = (c c + s c )
2
1 2

Ou:
2
1 2
(c1c12 + s1s12 ) = c2 (c12 + s12)
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))

Reorganizando:
(c1c12 + s1s12 ) = (c12c2 - c1s1s2 + s1c1s2 + s12 c2 )

Então temos:
(c1c12 + s1s12 ) = (c c + s c )
2
1 2

Mas:
2
1 2
(c1c12 + s1s12 ) = c2 (c12 + s12)
1
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))

Reorganizando:
(c1c12 + s1s12 ) = (c12c2 - c1s1s2 + s1c1s2 + s12 c2 )

Então temos:
(c1c12 + s1s12 ) = (c c + s c )
2
1 2

Logo:
(c1c12 + s1s12 ) = c2
2
1 2
Solução analítica 3R
(x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
(c1c12 + s1s12 ) = (c1 (c1c2 - s1s2 )+ s1 (c1s2 + s1c2 ))

Reorganizando:
(c1c12 + s1s12 ) = (c12c2 - c1s1s2 + s1c1s2 + s12 c2 )

Então temos:
(c1c12 + s1s12 ) = (c c + s c )
2
1 2

Logo:
(c1c12 + s1s12 ) = c2
2
1 2
Solução analítica 3R




Substituindo (c1c12 + s1s12 ) = c2
Em (x 2 + y2 ) = l12 + l 22 + 2l1l2 (c1c12 + s1s12 )
Temos: 2 2 2 2
(x + y ) = l1 + l 2 + 2l1l2 c2
Ou seja: cos(q ) = x 2 + y 2 - l12 - l22
2
2l1l2
æ x 2 + y 2 - l12 - l22 ö
q 2 = arccos ç
÷
2l1l2
è
ø
Solução analítica versus
Geométrica do 3R

As duas soluções deram a mesma
resposta...
æ x 2 + y 2 - l12 - l22 ö
q 2 = arccos ç
÷
2l1l2
è
ø


Era de se esperar...
Se o argumento da função arccos não
estiver entre -1 e 1, significa que o
ponto não pode ser alcançado.
Solução analítica 3R



E o θ1?
Substituindo-se os valores de θ2 nas
equações para x e y, e fazendo
algumas substituições, se encontra o
valor de θ1. (ver pg 111)
E θ3?
Se cϕ = c123 e sϕ = s123, logicamente
f = (q1 + q2 + q3 ) e q3 = f - (q1 + q2 )
Conclusão do 3R


Existem duas soluções para o problema
de cinemática inversa de um
manipulado 3R.
Exceto em pontos
chamados de
“singularidades”.
Solução de Pieper

Embora um robô completamente
genérico com 6 DOF não tenha uma
solução em forma fechada, casos
especiais podem ser resolvidos:
– Pieper estudou manipuladores com seis
graus de liberdade nos quais três eixos
consecutivos se cruzam em um ponto.
– Se aplica à maioria dos robôs industriais
disponíveis no mercado.
Solução de Pieper


Quando os últimos três eixos se
cruzam, as origens dos sistemas de
referência de elos {4}, {5} e {6} estão
localizadas nesse ponto de intersecção.
Assim, podemos reduzir o problema
para a solução de um manipulador com
3 DOF:
Solução de Pieper

Para completar a solução, deve se
encontrar θ4, θ5 e θ6.
– Esses eixos se cruzam, de forma que
esses ângulos de junta afetam a
orientação somente do último elo.
– Podemos computá-los a partir de nada
mais que a porção rotacional do alvo
especificado.

Solução completa pgs 114 a 116 do
Craig, 3ª. Edição em inglês.
Exercício 1: PUMA (6R)
PUMA: modelo direto
én x
ê
ny
0
ê
6T =
ê nz
ê
ë0
ox
oy
ax
ay
oz
0
az
0
px ù
ú
py ú
pz ú
ú
1û
PUMA: modelo direto
Onde:
n x = c1 é
ëc23 ( c4 c5c6 - s4 s6 ) - s23 s5c6 ù
û + s1 ( s4 s5 s6 + c4 s6 )
n y = s1 é
ëc23 ( c4 c5c6 - s4 s6 ) - s23s5c6 ù
û - c1 ( s4 s5 s6 + c4 s6 )
nz = -s23 ( c4 c5c6 - s4 s6 ) - c23 s5c6
ox = c1 é
ëc23 ( -c4 c5c6 - s4 s6 ) - s23s5c6 ù
û + s1 ( c4 c6 - s4 c5 s6 )
oy = s1 é
ëc23 ( -c4 c5c6 - s4 s6 ) - s23 s5c6 ù
û - c1 ( c4 c6 - s4 c5 s6 )
oz = -s23 ( -c4 c5c6 - s4 c6 ) - c23 s5 s6
ax = -c1 ( c23c4 c5 - s23c5 ) - s1s4 s5
ay = -s1 ( c23c4 c5 - s23c5 ) + c1s4 s5
az = s23c4 s5 - c23c5
px = c1 ( a2 c2 + a3c23 - d 4 s23 ) - d3s1
py = s1 ( a2 c2 + a3c23 - d 4 s23 ) - d3c1
pz = -a3c23 - a2 s2 + -d 4 c23
Inversão: páginas 117 a 121 do Craig.
PUMA: cinemática inversa
PUMA: cinemática inversa
Conclusão - analíticos.

Não é fácil obter o modelo cinemático
inverso a partir da geometria do
manipulador:
– Altamente não linear.
– Ambigüidade.
– Solução completa para apenas alguns
tipos de geometrias:
• Geometrias simplistas (1R, 2R, 3R, 3P, RP, …)
• PUMA (6R decoupled).
• Stanford Arm (5R-1P).
Métodos Numéricos

Por sua natureza iterativa, as soluções
numéricas em geral são muito mais
lentas do que suas correspondentes de
forma fechada:
– Para a maioria das aplicações não
estamos interessados na abordagem
numérica para as soluções cinemáticas.

Métodos de solução numérica iterativos
serão vistos na próxima aula.
Intervalo
Sequência da aula no laboratório