Transcript Progressões geométricas

PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo
se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado
razão, que se representa pela letra r.
Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se
an 1  an  r

an 1
 r , n  IN
an
Aplicação:
1) A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405, ... é uma progressão
geométrica?
2) E a sucessão de termo geral un = 2n ?
Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão
geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e
o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos
também o valor da razão da progressão.
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Termo geral de uma progressão geométrica
A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (an)
encontra-se observando que:
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2
a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3
a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4
Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas
quantidades:
 A primeira é sempre a1
 A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número,
que se obtém subtraindo uma unidade ao índice.
n 1
A expressão do termo geral é: an  a1  r
n k
Pode-se também facilmente provar que: an  ak  r . Expressão que
permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo da
progressão (não apenas a partir do primeiro).
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das
progressões geométricas em que:
4) v
1) u1 = 10 e un+1 = 4un
2) u1 = 36 e u3 = 4
n
16
3)
4
O
-2
-8
-32
n
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Comportamento de uma progressão geométrica
 Se a razão de uma progressão geométrica é
maior que 1 e
 u1 > 0, a progressão é:
an
 estritamente crescente e…
 não limitada.
O
n
bn
O
 E se u1 < 0?
n
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
 Se a razão de uma progressão geométrica está
cn
compreendida entre 0 e 1 e
 u1 > 0, a progressão é:
 estritamente decrescente e…
 limitada.
O
 E se u1 < 0?
n
dn
O
n
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
 Se a razão de uma progressão geométrica é igual a 1, a
progressão é:
fn
 constante
 limitada
O
n
 Se a razão de uma progressão geométrica é igual a -1, a
progressão é:
 não monótona
 limitada
gn
O
n
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
 Se a razão de uma progressão geométrica
hn
é maior que -1 e menor que 0, a
progressão é:
O
n
 não monótona e…
 limitada.
ln
 Se a razão de uma progressão geométrica
é menor que -1, a progressão é:
 não monótona e…
 não limitada.
O
n
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Em resumo:
comportamento de uma progressão geométrica
• Progressão geométrica (un)
• Razão: r
• 1º termo: u1
Não monótona
Não
limitada
-
-1
Limitada
0
progressão constante
u1 > 0 - Decrescente
Limitada
u1 > 0 - Crescente
Não limitada
u1 < 0 - Crescente
Limitada
u1 < 0 - Decrescente
Não limitada
1
+
razão - r
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Aplicações:
1. Dá exemplo de uma progressão geométrica (un) que satisfaça a condição:
a) tenha primeiro termo positivo e seja decrescente;
b) tenha primeiro termo positivo e seja não monótona;
c) seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que 1;
d) tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente decrescente.
2. Considera a sucessão (vn) de termo geral:
vn = 5 x 21-n
a) Mostra que é uma progressão geométrica.
b) (vn ) é monótona? Justifica.
c) (vn ) é limitada? Justifica.
Soma de n termos
consecutivos de uma
progressão geométrica
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
A LENDA DO JOGO DE XADREZ
Diz a lenda que um antigo Xá da
Pérsia ficou tão impressionado
com o jogo de xadrez, que
ordenou ao seu inventor que
pedisse a recompensa que
desejasse.
O inventor (provavelmente um
matemático experiente...) pediu
um grão de trigo pela primeira
casa do tabuleiro de xadrez, dois
grãos pela segunda casa, quatro
pela terceira, oito pela quarta, e
assim sucessivamente, até se
percorrerem todas as casas do
tabuleiro.
Conta-se que o imperador ficou
estupefacto, tendo até
considerado, que era afrontoso o
pedido do inventor por se tratar
de coisa tão insignificante!
Contudo, o inventor manteve o
pedido e insistiu que lhe bastava
vê-lo concretizado...
Quantos grãos de trigo pediu,
afinal, o inventor do jogo de
xadrez?
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Resolução:
1 2
4
8 16 32 64 128
S64  1  2  22  23  ...  262  263
 1  2 1  2  22  23  ...  262 
Ora,
1  2  22  23  ...  261  262  S64  263
Donde:
S64  1  2  S64  263   S64  1  2S64  264
 S64  264  1
18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo!!!
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma
progressão geométrica é dada por
1 rn
Sn  u1 
com r  1
1 r
Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r
a razão.
Aplicação:
n 1
1
Se uma progressão geométrica tem o termo geral un    , calcula a
2
soma dos seus primeiros 21 termos .
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Soma de todos os termos de uma progressão geométrica
Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C.,
formulou alguns paradoxos (*) com os quais pretendia
contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as
quais, por exemplo, o tempo era uma soma de
instantes e o
deslocamentos.
movimento
uma
soma
de
Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado
“Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”.
(*)
Paradoxal é tanto aquilo que encerra
uma contradição como o que vai contra
a opinião comum.
É o inverosímil, o absurdo, mas também
o estranho.
In Epsilones
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Paradoxo de Aquiles e da tartaruga
Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca
chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar
onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque
entretanto se deslocou; e esta situação repete-se
indeterminadamente…
Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que
a realidade mostra ser falsa.
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Consideremos o exemplo:
Suponhamos que Aquiles se desloca 10 vezes mais depressa que a
tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros.
- Justifica que estamos em presença de duas progressões geométricas (a de Aquiles
e a da tartaruga).
- O 1º termo de cada uma das progressões é: …
e …
- A razão de cada uma das progressões é: … e ….
- Como a determinar distância percorrida por Aquiles e pela tartaruga?
Teremos que ter em atenção que:
A soma S, de todos os termos de uma progressão geométrica (un) em que o primeiro

1 rn 
termo é u1 e a razão é r, é: S  lim Sn  S  lim  u1 

1 r 

u
Se r  1 , (Sn) é convergente e diz-se que S  1 é a soma de todos os termos.
1 r
A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é, então:
n
n
 1
 1
1  
1  lim  
1
1
10
 10   100  1  0  100  1000
100  10  1 

 ...  lim    100 
1
9
9
10 100
9
1

*
10
10
10
*
A noção rigorosa de limite de uma sucessão será estudada no tema seguinte.
Por outro lado, a
tartaruga percorre (em metros):
n
n
 1
 1
1  
1  lim  
1
1
10
 10   10  1  0  10  100
10  1 

 ...  lim    10 
1
9
9
10 100
9
1
10
10
10
100
conclui-se que Aquiles alcança a
9
100
tartaruga depois de ter percorrido 100 
 100  11,(1)  111,(1)
9
Como
Só o
1000
9
é igual 100 
cálculo de limites e a teoria de conjuntos
permitiu esclarecer
(23 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão, cuja solução exige o cálculo
da soma de todos os termos de uma progressão geométrica.
O argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto,
infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz
ao paradoxo.
In Epsilones (Ver anexo)
Aplicações
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
1. A partir de um quadrado com 16 cm2 de área foi gerada uma sequência de
figuras em que os quatro primeiros elementos estão a seguir representados.
A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os termos da
sucessão (an)
a) Mostra que an 
1
2n4
, n  IN
b) Verifica que (an) é uma progressão geométrica e indique a sua razão.
c) Calcula a soma das áreas das partes sombreadas do 3º ao 10º elementos da
sequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
2. Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil
habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano.
Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento:
a) Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada, em
milhares de habitantes, por Pn = 50 x (1,02)n
b) Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são necessários
para que a população desta cidade duplique. Num breve texto explique
como procedeu.
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
3. As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo de 1980
eram de 12 mil milhões (12×109 ) de toneladas. A extração nesse ano foi de
120 milhões (1,2×108 ) de toneladas.
a) Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de 1980,
em que ano as reservas ficariam esgotadas?
b) Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em 2% em
relação ao ano anterior, a começar em 1980.
b1) Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de
petróleo, em toneladas, extraída em cada ano, desde 1980.
b2) Com esta redução é possível consumir indefinidamente? Justifica.
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
Curva de Von Koch
(ou curva floco de neve)
Proposta de trabalho:
Depois de estudarem a curva de Von Koch, cometem a afirmação:
“Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela
limitada é finita.”
Anexo
Traduzido de “Paradoja de la dicotomía” de
Epsilones – autor: Alberto Rodríguez Santos,
uma página que recomendo vivamente, em
http://www.epsilones.com/
Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto,
infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz
ao paradoxo.
Vamos primeiro ver o que faz com o espaço
Suposição: o espaço é infinitamente divisível
Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar
quantidades infinitas e o resultado ser finito.
Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas
sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma
quantidade constante chamada razão.
Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma
infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a1/(1 - r), em que
a1 é o primeiro dos termos.
Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ...
Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em
seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até
"ao infinito", acabamos tendo toda a unidade:
A
1/16
1/2
1/4
1/8
B
1/32
De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos:
S
1
2
1
1
2
1
A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a
distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão
L/2, L/4, L/8 ..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão
1/2, cuja soma é a seguinte:
L

L L L
L
   ...   n  2  L
1
2 4 8
n 1 2
1
2
Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente.
E o tempo?
Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar
constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o
segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o
corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito
intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos
todos os tempos, tem-se:
L

L
L
L
L
L


 ...   n  2v 
1 v
2v 4v 8v
n 1 2 v
1
2
que é uma quantidade tempo finita.
Conclusão
A não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do
espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um
número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito.
Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o
movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.
O mundo físico
Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o que diz
a Física? Diz que ainda que não conheçamos a microestrutura detalhada do
espaço-tempo sabemos que não pode ser cortado ilimitadamente. Para
observar um detalhe é necessário um comprimento de onda menor do que
o próprio detalhe. Para que o comprimento de onda seja menor deve
aumentar-se a energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois
alcançado este limite, a concentração de energia produziria um buraco
negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo possível, é
conhecido como constante de Plank. O tempo de Plank é o tempo que a
luz leva para atravessar essa distância. Uma vez que nada viaja mais
rápido do que a luz, este é o tempo mínimo possível. Abaixo desta
distância e deste tempo nada pode ser observado e a realidade deixa de
fazer sentido.
Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física e,
portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o paradoxo de
Zenão desvanecer-se -ia automaticamente uma vez que, como vimos, o
argumento de Zenão parte da suposição de um espaço infinitamente divisível.
Uma variante
Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve chegar
ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2 deveria atingir o
ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o processo indefinidamente
mergulharíamos o corredor numa estranha imobilidade, pois antes de
alcançar qualquer ponto do percurso deveria ter passado por um número
infinito de outros pontos.
In Epsilones
Bibliografia:
 Novo Espaço
Matemática A -11º ano
Autores: Belmiro Costa
Ermelinda Rodrigues
 Infinito 11
Matemática A -11º ano
Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves
Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo
Manuela Simões
 Epsilones: autor: Alberto Rodríguez Santos| http://www.epsilones.com/
Auguries of Innocence
To see a world in a grain of sand,
And a heaven in a wild flower,
Hold infinity in the palm of your hand,
And eternity in an hour.
[...]
William Blake, Auguries of Innocence.
Maria José Vaz da Costa