Transcript 数学と工学
数学と工学 F班 山本 竜馬 村田 里史 宮本 一希 松村 亮佑 佐藤 なぎさ 平川 稚菜美 概要 フーリエ変換とは何かを調査し、 目標： 誰にでも分かりやすい説明を行うこと • フーリエ変換とは何か • 情報処理の高速化 • フーリエ光学 について説明する。 プロジェクトの進め方 班を三つに分けてそれぞれで活動 ・数学班・・・フーリエ変換の参考書を使い 問題を解く ・パソコン班・・具体的な利用例をインターネット で調査 ・応用班・・さまざまな視点から、フーリエを調査 苦労したところ • 参考書に難解な表現が多く、いかにわかりや すく伝えるかを何度も議論 • わかりやすくする過程で厳密な表現をあきら めなければならないところがあり、それらのバ ランスの調整 フーリエ変換とは ある変数についての関数 （例：時間についての関数） 変換 別の変数の関数 （例：周波数についての関数） フーリエ解析 Computer Tomogｒaphy CTスキャン 情報処理の高速化 フーリエ光学 工学・光学 ガントリー 寝台 回転 ・ガントリー内にはX線管と 検出器が対向して配置 ・被験者の周りを高速で 回転しながらX線を照射 X線管 検出器 人 CTスキャンとは・・・？ 物体をさまざまな角度からX線で撮影 ↓ 再構成処理 ↓ 物体の内部構造を再現 レントゲンとの 違いは？ ２次元ではなく立体的な ３次元の画像 なぜＣＴにフーリエ変換を使うか？ 画像の再構成のみ・・・フーリエ変換は不必要 しかし • 計算の実行にフーリエ変換を 導入することによる能率の向上 • データ処理の過程で行うフィルタリングの 説明にフーリエ変換を用いることによる 理論のスマート化 が期待できる フーリエ変換の公式 フーリエ変換 F ( ) フーリエ逆変換 f ( x) 1 2 1 2 f ( x )e i x dx F ( )e ix d 例題 ｆ（ｘ）＝１ （|ｘ|≦ω） ｆ（ｘ）＝０ （|x|＞ω） のフーリエ変換を求めよ。 -𝜔 （解） |ｘ|≦ωのとき、偶関数なので e e i x cos x i sin x i x cos x 𝑓 𝑥 𝑥 𝜔 となる。 よってフーリエ変換の式より F ( ) 1 cos xdx 2 2 F ( ) cos xdx 0 2 sin rad / s ＦＦＴについて ●ＤＦＴ(離散フーリエ変換） ・・・信号波形を標本化・量子化して コンピュータ上で扱えるようにする ●ＦＦＴ(高速フーリエ変換） ・・・ＤＦＴをコンピュータを使って高速で 行えるようにしたもの 信号をコンピュータの中に持ち込むことで 高速に処理が行える！ 実際の用例 • 信号解析 ・・・入力波形の周波数成分を表示 高調波等の特性データを得られる 変換 𝑡 𝑓 無線、景気循環、・・・ • 画像処理 ・・・畳み込み積分等の処理の簡略化 複雑な処理を、２値の乗算だけで表せる ・・・などなど ？ ？ 。。。とは言っても 数式だけでは難しい。 つまり、簡単に言えば。。。 レンズ 目に見えるフーリエ変換 レンズ前方 像の光波の 振幅分布 レンズ後方 高周波成分を 取り出した 振幅分布 (a)入力 (b)フーリエ変換 光学的に得られた文字「３」のフーリエ変換 出典「フーリエ光学【第３版】」Joseph.Goodman著 まとめ 成果報告会をお楽しみに!!