第一章

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第一章
集合 (Set Theory)
• 1-0 簡介
• 由於數位觀念的開展，在數學與電腦應用
上、集合(Set)儼然已成為其中重要的一環。
讀者了解集合之含義後，就如同有了一把
利刃，可將電腦觀念的外殼撕開，窺得學
習的切入點。
• 本章將集合的觀念、定理、運算、與圖示、
依序清晰敘述，搭配精緻習題，讀者可徹
底剖析了解何謂 “集合(Sets)”。
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1-1 集合與元素 (Sets and Elements)
1-2 宇集 (Universal Set) 與 空集合 (Empty Set)
1-3 子集合 (Subsets)
1-4 范氐圖 (Venn Diagrams)
1-5 集合運算 (Set Operations)
1-6 集合代數定律 (Laws of the Algebra of Sets)
1-7 有限集合 (Finite Sets)
1-8 群集合(Classes of Sets) 與 冪次集合 (Power
Sets)
• 1-9 含意 (Arguments) 與 范氐圖 (Venn Digrams)
• 1-10 數學歸納推演 (Mathematical Induction)
• 1-11 習題
1-1 集合與元素 (Sets and Elements)
• 所謂集合(Set)是謂 “有一定義完善的範圍
(well-defined List/Collection)，在範圍內包
涵適當數量之元素(Elements)”。 習慣上、
集合(Set) 以大寫字母表示(如A、B、
C、…)；元素(Elements) 以小寫字母表示
(如a、b、c、…) 。
1-2 宇集 (Universal Set) 與
空集合 (Empty Set)
• 在合乎集合(Sets)之定義下，若所有的集合
元素、均是某一大集合的元素，則該某大
集合是謂 宇集(Universal Set)。如People
可稱為全世界人類的宇集。通常習慣以U為
宇集之代表名稱。
• 如果有一集合，其中無任何元素，則該集
合是謂 空集合(Empty Set / Null Set)。通常
習慣以Ø為 空集合之代表名稱。
1-3 子集合 (Subsets)
• 設有集合A、與集合B，如果集合A的所有
元素、亦是集合B的元素，則集合A是集合
B之子集合。其關係式 (Relationship) 為：
A B。
• 如果集合A的元素中、有任何一個不是集合
B的元素，則集合A將不是集合B之子集合。
其關係式 (Relationship) 為： A B。
1-4 范氐圖 (Venn Diagrams)
• 范氐圖的功能、是將集合(Sets) 的意義借由
圖案(Pictorial Representation) 來表示。圖
案以矩形為邊緣範圍，矩形內所有之各點
均是宇集U的元素，在其範圍內的集合以圓
形(Disks)表示。
1-5 集合運算 (Set Operations)
• 集合運算可概分四類運算方法：聯集運算
(Union)、交集運算(Intersection)、相對餘
補集運算(Relative Complement)、與絕對
餘補集運算(Absolute Complement)。
1-6 集合代數定律
(Laws of the Algebra of Sets)
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1、等冪律(Idempotent Laws)
(a) A∪A = A
(b) A∩A = A
2、結合律(Associative Laws)
(a) (A∪B)∪C = A∪(B∪C)
(b) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
3、交換律(Commutative Laws)
(a) A∪B = B∪A
(b) A∩B = B∩A
4、分配律(Distributive Laws)
(a) A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C) (b) A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)
5、統一律(Identity Laws)
(a) A∪Ø = A
(b) A∩U = A
(c) A∪U = U
(d) A∩Ø = Ø
6、對合律(Involution Law)
(a) (Ac )c = A
7、餘補律(Complement Laws)
(a) A∪Ac = U
(b) A∩Ac = Ø
(c) Uc = Ø
(d) Øc = U
8、迪摩根律(DeMorgan’s Laws)
(a) (A∪B)c = Ac∩Bc
(b) (A∩B)c = Ac∪Bc
1-7 有限集合 (Finite Sets)
• 如果集合A有m個元素，其中m為正整數，
則集合A謂 “有限集合(Finite Set)”。例如A
= {x: x is a letter of English alphabet}、或
空集合Ø = { } 均是有限集合(Finite Sets)。
1-8 群集合(Classes of Sets)
• 設有一集合A = {O, P, Q, R}，其元素是由
集合O, P, Q, R組成。此時A是謂 “群集合
(Class of Sets)”；B = {O, P}是謂 “子群集
合 (SubClass或Subcollection)”。
1-9 含意 (Arguments) 與 范氐圖
(Venn Digrams)
• 有些語言詞藻複雜，往往無法清晰地陳述
含意，本節介紹如何將一串複雜難懂的陳
述，以集合架構的范氐圖清礎點出要點含
意。
1-10 數學歸納推演
(Mathematical Induction)
• 無論是在邏輯問題上、或是在數學驗證上，
我們常遭逢一些繁雜的陳述及數據，讀者
都有經驗，當碰到這些問題時，直感頭痛
又不知如何是好。本節介紹歸納推演法
(Induction)，可協助解決部份問題。
第二章
關係式 (Relations)
2-0 簡介
• 若有元素a與b，兩者間存在某種關係R，即可以
式 “aRb” 表示之，此為關係式(Relations)。我們
曾熟悉的如 “等於(=)”、“大於(>)”、“因此(→)”
等均屬之。
• 關係式中也談集合(Sets)，於第一章 {a, b} = {b,
a}，元素的先後次序並不影響集合的含義；但於
關係式中的集合 {a, b}≠{b, a}，除非 a = b，因其
先後次序代表著不同的含義。
• 2-1 積集合 (Product Sets)
• 2-2 關係式 (Relations)
• 2-3 關係式圖示 (Pictorial Representations of
Relations)
• 2-4 反逆關係式 (Inverse Relations)
• 2-5 合成關係式 (Composition of Relations)
• 2-6 關係式特性 (Properties of Relations)
• 2-7 分割關係 (Partitions)
• 2-8 等價關係 (Equivalence Relations)
• 2-9 分割與等價關係 (Equivalence Relations and
Partitions)
• 2-10 n元關係元 (n-Ary Relations)
• 2-11 習題
2-1 積集合 (Product Sets)
• 於關係式、我們定義 “序對(Ordered
Pairs)”，如 (a, b)，因內容之先後次序代表
著不同的含義。(a, b)≠(b, a)，除非 a = b。
• 積集合(Porduct Sets) 是定義兩組集合的關
係。
2-2 關係式 (Relations)
• 設有集合A與B，另有 二元關係(Binary
Relation) R，R之元素均是A × B 的子集合
(Subset)，如果 (x, y) R，則謂 “x以R關
係於y”，即 xRy。
2-3關係式圖示
(Pictorial Representations of Relations)
• 一般來言，我們可以4種圖示方式來表達關
係式：(1) 關係式座標圖示(Coordinate
Diagram of Relation)、(2) 關係式矩陣圖示
(Matrix of Relation)、(3) 關係式配對圖示
(Arrow Diagram of Relation)、(4) 關係式有
向圖示(Direct Graph of Relation)。
2-5合成關係式
(Composition of Relations)
• 合成關係式(Composition of Relations) 是
由數個關係元R、S、T 連串組合而成者，
以 “R。S。T” 表示之。
2-6關係式特性
(Properties of Relations)
• 本節介紹關係元(Relation) 常有的4種特性：
(1) 反身性(Reflexive)、(2) 對稱性
(Symmetric)、(3) 反對稱性(AntiSymmetric)、(4) 遞移性(Transitive)。
2-7 分割關係 (Partitions)
• 設有集合A，其子集合為 {Si}、且不得有重
覆元素或空元素，則A為分割集合
(Partition)。其條件如下：
• (Ⅰ) A的每一元素a，必須且僅出現於其中
一個子集合內；
• (Ⅱ) Si ≠ Sj 且 Si ∩ Sj = Ø
2-8 等價關係
(Equivalence Relations)
• 設有集合A，如果其關係元R可同時滿足 (1)
反身性(Reflexive)、(2) 對稱性(Symmetric)、
(3) 遞移性(Transitive)，則R為等價關係元
(Equivalence Relation)。
2-9 分割與等價關係
(Equivalence Relations and Partitions)
• 定理(Theorem) 2-9： 設有集合A，令R為
其等價關係元(Equivalence Relation)，則
“等價關係族(Equivalence Classes)” 有下
列特性：
• (Ⅰ) a [a]、其中a為A的元素，即 a A。
• (Ⅱ) [a] = [b]、若且唯若(if and only if)
(a, b) R。
• Ⅲ) 如果 [a]≠[b]、則 [a] 與 [b] 無交集。
2-10 n元關係元 (n-Ary Relations)
• 到目前為止，我們談到的均是二元關係
(Binary Relation)，即有二元關係、當然也
有多元關係(n-Ary Relations)，可以 An 表
示之。如以座標圖案表示，A2是2D平面圖
形之關係；A3是3D立體圖形之關係。
第三章
函數 (Function)
• 3-0 簡介
• 在數學應用上、函數(Function) 扮演了很重
要的觀念，猶如是一個工作機制
(Assingnment)，輸入不同的參數，產生並
輸出對應的結果。因而、輸入的參數與輸
出的結果就圍繞著函數(Fuction) 產生了許
多有用的數學觀念與應用方法。於本章、
我們將研討函數的基本特性。
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3-1 函數定義 (Functions)
3-2 函數圖形(Graph of Function)
3-3 函數圖形特性(Properties of Functions)
3-4 習題
3-1 函數定義 (Functions)
• 設有集合A、與B、及工作機制(Work
Assignment) W。將A的某一元素a輸入W，
若W因此而產生一個對應結果b、其中b B，
如此過程是謂 “A映至B之函數(Function
from A into B)”，可表示如：
•
f： A → B
3-2函數圖形(Graph of Function)
• 函數(Function) “f：A → B” 在函數圖形
(Graph of Function) 定義為：每一A的元素
a A、必配屬一組 序對(Ordered Pair) 關
係元(Relation) 如 (a, b)，且該關係元是唯
一的(Unique)。
3-3 函數圖形特性
(Properties of Functions)
• (1) 一對一配對(One to One)：於函數 f：A→B、
如果A的每一元素均映出不同的函數像(Image)；
或於函數圖形、每一A的元素均有配對、且每一B
的元素僅與一個A的元素作配對。如此函數是謂
“一對一配對(One to One)函數”。
• (2) 映成配對(Onto)：於函數 f：A→B、如果B的
每一元素均出現於函數像(Image)，即 f(A) = B，
則函數f謂 “映成配對(Onto)函數”。
• (3) 可反逆配對(Invertible)：於函數 f：A→B、如
果其反逆函數 f -1：B→A 亦為真；或者、f 既是
一對一配對(One to One) 函數、亦是 映成配對
(Onto)函數，此時f 謂 “可反逆配對(Invertible)
函數”。
第四章
向量 與 行列矩陣
(Vectors and Matrices)
• 4-0 簡介
• 我們常將資料(Data) 以矩陣(Arrays) 方式排列或
儲存，亦即、將資料(Data) 以索引(Index) 編序其
位置。於電腦程式、我們以參數表示 (如
“ A(15) ”)；於數學式、我們以下標註
(Subscripts) 表示 (如 “ A15 ”)。
• 一般來言，一維矩陣(one-Demensional Array) 是
謂 “向量(Vector)”；二維矩陣(two-Demensional
Array) 是謂 “行列矩陣(Matix)”，一維矩陣(oneDemensional Array)亦可謂 “特殊型行列矩陣
(Special Type of Matrix)”。
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4-1 向量 (Vectors)
4-2 行列矩陣 (Matrices)
4-3 行列矩陣相加 (Matrices Addition)
4-4 行列矩陣系數 (Scalar Multiplication)
4-5 行列矩陣相乘 (Matrix Multiplication)
4-6 行列置換 (Transpose)
4-7 平方行列矩陣 (Square Matrices)
4-8 反逆行列矩陣 (Invertible Matrices)
4-9 決值區 (Determinants)
4-10 習題
4-1 向量 (Vectors)
• 設有向量u，我們通常是以一序列數字表示
之，例如u有n個元件(n-Tuple)、則可表示
為：
•
u = (u1, u2,…, un)
• 其中、ui 是向量u之元件(Components)，
如果所有的 ui 均為0、則u為零向量(zero
Vector)。
4-2 行列矩陣
(Matrices)
• 前節所述向量(Vector) 是將資料作一維矩陣
排列，行列矩陣(Matrix) 則是將資料作二維
矩陣排列
4-3 行列矩陣相加
(Matrices Addition)
• 設有行列矩陣A與B，兩者之長寬(Size)相
等，即有相同數量的 列(Rows)、與相同數
量的 行(Columns)，此時、可作兩行列矩陣
相加 A + B，亦即將A、B的對應
(Corresponding) 元件相加
4-4 行列矩陣系數
(Scalar Multiplication)
• 設有行列矩陣A，令k為係數(Scalar)，則兩
者的乘積為k•A、 kA、或是 Ak，亦即將行
列矩陣之每一元件(Component) 均乘以k；
A與 kA 有著相同的長寬(Size)。
4-5 行列矩陣相乘
(Matrix Multiplication)
• 設有行列矩陣A，其長寬(Size) 為 m × p，
其第i列元件為 (ai1 … aip)；行列矩陣B，
其長寬(Size) 為 p × n，其第j行元件為
(b1j … bpj)。兩行列矩陣相乘得行列矩陣C
= A × B，其長寬(Size) 將為 m × n。
4-6 行列置換 (Transpose)
• 於行列矩陣A、將其行(Column) 之資料依
序置換成列(Row) 之資料，是謂 “行列置
換(Transpose)”，以AT表示之。
4-7 平方行列矩陣
(Square Matrices)
• 設有行列矩陣A，行(Column) 的數量、與
列(Row) 的數量相等，A是謂 “平方行列矩
陣(Square Matrix)”。若其行、列數量均為n，
則稱謂 “序列n (Order n)”，是謂 “ n-平方
行列矩陣( n-Square Matrix)”。
4-8 反逆行列矩陣 (Invertible
Matrices)
• 設有平方行列矩陣A，若令B為A之反逆行
列矩陣(Invertible Matrix)，則B必須滿足：
•
AB = BA = 1
• 如此平方行列矩陣B是謂A的反逆行列矩陣
(Inverse of A)，以 B = A-1表示。由觀察得
知，如果B是A的反逆行列矩陣；A亦將是B
的反逆行列矩陣，即 A = B-1。
4-9 決值區 (Determinants)
• 設有一 n-平方行列矩陣( n-Square Matrix)
A = ( aij )，我們取一正整數(Positive
Integer) d，令 1≧d≦n，d可被應用為A的
決值區(Determinant)，以det(A) 或 |A| 表示
之。
第五章
圖論 (Graph Theory)
5-0 簡介
• 一般來言、圖(Graph) 是圖形、圖案、圖表、甚
或照片的總稱，但在數學上、却有著不同的意義，
圖形可作為某特定觀念之表示方法，例如於前述
章節、我們曾以圖形表達關係式(Relations)、函
數(Functions)、與行列矩陣(Matrices)。於本章、
我們更將以節點(Vertices)、連線(Edges) 表達執
行程序之觀念，稱之謂 “圖論(Graph Theory)。
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5-1 圖 (Graph) 與 子圖 (Subgraph)
5-2 分支度 (Degree)
5-3 連通 (Connectivity)
5-4 圖之可行性 (Traversable Multigraph)
5-5 特殊形圖 (Special Graphs)
5-6 行列矩陣圖 (Matrices)
5-7 標註圖 (Labeled Graph)
5-8 同構/同胚 圖
(Isomorphic/Homeomorphic Graph)
• 5-9 習題
5-1 圖 (Graph) 與 次圖 (Subgraph)
• 圖(Graph) 之組成要件有二：(1) 一組節點
(Vertices、Points、or nodes)；(2) 一組節
點間之連線(Edges)。
• 設有簡圖G(V, E)，若令V’為V的子集合
(Subset)；E’為E的子集合，則G(V’, E’)是
謂G(V, E) 之子圖(SubGraph)。
5-2 分支度 (Degree)
• 設有一節點v、其有一連線e，則e是謂v之 “分支
線(Incident on v)”。若節點v有n個分支線，則是
謂 “v之分支度(Degree) 為n”，可以 deg(v) = n
表示之。如圖Fig.5-1-1、節點A有分支線e1與e4，
A的分支度(Degree)為2，即 deg(A) = 2。
• 定理(Theorem) 5-2：於任意一簡圖(Graph)，各
節點(Vertices) 分支度(Degree) 之和(Sum) 是其
所有連線(Edges) 數量之2倍。
5-3 連通 (Connectivity)
• 於多重圖(Multigraph)、其節點(Vertices) Pi
與其連線(Edges) ei 因走過而組成的線串是
謂 “連通走跡(Walk)”。
• 當 連通走跡(Walk) 的所有連線(Edges) 均
無重覆通過時、是謂 “連通軌跡(Trail)”。
當 連通走跡(Walk) 的所有節點(Vertices)
均無重覆通過時、是謂 “連通路徑(Path)”。
5-4 圖之可行性
(Traversable Multigraph)
• 於多重圖(Multigraph)、當要進入一個節點
(Vertex)，該節點必須要有一連線(Edge) 才
可執行進入，若要再離開該節點，為了不
走過任一條線2次、該節點必須要有另一連
線(Edge) 才可執行離開。亦即、若要於任
一節點執行進入與離開，且不得於任一連
線重覆走過2次，該節點之分支度(Degree)
必須是偶數，即為偶數節點(Even Vertex)。
5-5 特殊形圖 (Special Graphs)
• 不同形態的圖有許多，本節將介紹4種特殊
形圖(Special Graph)：(1) 完整圖
(Complete Graph)、(2) 正規圖(Regular
Graph)、(3) 二分圖(Bipartite Graph)、(4)
樹形圖(Tree Graph)。
5-6 行列矩陣圖 (Matrices)
• 設有圖(Graph) G = (V, E)，V = {V1,
V2, …,Vm}，E = {e1, e2, …, en}，為了電
腦運算方便，往往以行列矩陣表示圖G。常
用的行列矩陣有：(1) 連線矩陣(Edge
Matrix)、(2) 相鄰節點矩陣(Adjacency
Matrix)、(3) 節點連線矩陣(Incidence
Matrix)。
5-7 標註圖 (Labeled Graph)
• 一個圖(Graph) 是謂 “標註圖(Labeled
Graph)”、如果其節點(Vertices) 或連線
(Edges) 被標註某種型態的資料符號(Label
of Data)。
5-8 同構 / 同胚 圖
• (Isomorphic/Homeomorphic Graph)
• 設有2圖(Graph) G1(V1, E1) 與 G2(V2, E2)，
有一函數 f：V1→V2，其中V1與V2的節點
(Vertices) 為一對一對稱，且G1有一連線
{u, v} 若且唯若 G2 亦有一連線 {f(u), f(v)}。
此時 f 為G1與G2的同構函數(Isomorphism)，
G1與G2是謂 “同構圖(Isomorphic Graph)”。
第六章
平整圖(Planar Graphs)、
著色法(Colorations)、
樹(Tree)
• 6-0 簡介
• 讀者如果有興趣，可以找一塊線路板來觀
察，將會發現其中之佈線是沒有交叉的，
一方面是為了美觀，另一方面是為了避免
短路。
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6-1 平整圖組(Maps) 與 區域(Regions)
6-2 尤拉公式(Euler’s Formula)
6-3 非平整圖(Nonplanar Graph)
6-4 著色圖(Colored Graphs)
6-5 四色圖定理(Four Color Theorem)
6-6 樹(Trees)
6-7 根樹(Rooted Trees)
6-8 排序根樹(Ordered Rooted Trees)
6-9 習題
6-1 平整圖組(Maps) 與
區域(Regions)
• 一個平整之特定有限多重圖(Finite Planar
Multigraph) 是謂 “平整圖組(Maps)”。如
果多重圖是連通的(Connected)、對應的平
整圖組亦將是連通的，且可將所涵蓋的範
圍分割成數個不同區域(Regions)。
6-2 尤拉公式(Euler’s Formula)
• 於平整圖組(Maps)，尤拉(Euler) 以其各連
通節點(Vertices) 的數量V、各連通連線
(Edges) 的數量E、與各區域(Regions) 的
數量R，提出一非常有意義之公式如定理
(Theorem)6-2-1：
• 定理(Theorem) 6-2-1：尤拉公式(Euler’s
Formula) V – E + R = 2。
6-3 非平整圖(Nonplanar Graph)
• 非平整圖(Nonplanar Graph) 之定義一直困
擾數學界許多年，直到1930年、才由波蘭
數學家庫羅托威斯基(K. Kuratowski) 描述
出確切之定義。
• 定理(Theorem) 6-3：庫羅托威斯基定理
(Kuratowski’s Theorem) 一個圖是非平整
圖(Nonplanar Graph)，若且唯若(if and
only if) 其含有同胚圖(Homeomorphic
Graph) K3,3與K5。
6-4 著色圖(Colored Graphs)
• 設有圖(Graph) G，將其各節點(Vertices) 著色，
為了明顯區分圖形中節點間之關係，將相鄰的兩
個節點著以不同的顏色，如此著色是謂 “節點著
色(Vertex Coloring)”。
• 如果G可著以n種不同的顏色、我們稱G為 “n-著
色性(n-colorable)”。一個圖以最少種類的顏色完
成著色，該顏色數量是謂 “最小色彩值
(Chromatic Number)”，以 x(G) 表示。
6-5 四色圖定理
(Four Color Theorem)
• 四色圖定理(Four Color Theorem)：任一
平整圖(Planar Graph) G 是為 “節點之4著色性(Vertex 4-colorable)”。
• 1976年、艾培爾(Appel) 與 哈肯(Haken) 模
擬2,000 個圖、百萬種不同的狀況，宣稱任
一平整圖(Planar Graph) 均滿足 “4-著色
性(4-colorable)”，但仍屬模擬推論，不如
“5-著色性(5-colorable)” 証明確定，直至
今日數學界仍在努力中。
6-6 樹(Trees)
• 一個圖是謂 “非迴路圖(Cycle-Free Graph
/ Acyclic)”、如果該圖沒有任何迴路；一個
非迴路圖是謂 “樹形圖(Tree Graph)”、亦
謂 “樹(Tree)”；由多個樹(Trees) 連通而成
的圖是謂 “叢樹(Forest)”；如果 樹形圖
(Tree Graph) 僅有一個節點、且無任何連
線是謂 “弧點樹(Degenerate Tree)”。
6-7 根樹(Rooted Trees)
• 設有一樹形圖(Tree Graph) G，其最上端有
一起始根節點(Root) r，則該圖是謂 “根樹
(Rooted Tree)”。
6-8 排序根樹
(Ordered Rooted Trees)
• 設有一根樹(Rooted Tree) R，其各節點
(Vertices) 或各連線(Edges) 因某條件需求
而作排序標記，該根樹是謂 “排序根樹
(Oredered Rooted Tree)”。
第七章
有向圖(Directed Graphs)、有限
狀態器(Finite State Machines)
7-0 簡介
• 在表達瞬間變化上(如數位運算或流動系統)、
有向圖(Directed Graph) 較無向圖
(Nondirected Graph) 更為貼切有用。
• 本章將介紹有向圖(Directed Graph) 之基本
觀念與定義，並以 有向標註圖(Labeled
Directed Graph) 與 有限狀態器(Finite
State Machine) 範例解說之。
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7-1 有向圖(Directed Graph)
7-2 基礎定義(Basic Definitions)
7-3 有向圖行列矩陣(Matrices of Digraph)
7-4 刪修演算法(Pruning Algorithm for
Minimal Path)
• 7-5 有限狀態器(Finite State Machine)
• 7-6 有限自動機(Finite Automata)
• 7-7 習題
7-1 有向圖(Directed Graph)
• 設有一個 有向圖(Directed Graph / Digraph)
D，其要件有2，我們以 D(V, A) 表示之：
• (1) 節點集合V，包涵D之所有節點
(Vertices)；
• (2) 有向連線集合A，包涵D之所有2節點間
之有向連線(Arcs)。
7-2 基礎定義(Basic Definitions)
• 設有一有向圖(Directed Graph) D，有向連線(Arc)
a = {u, v} 以箭頭 (Arrow) 表示，即 有向連線a 之
起始節點(Initial Point) 為u、終止節點(Terminal
Point) 為v。對某一節點來言，箭頭向外離開之連
線數量是謂 “外分支度(Outdegree)”； 箭頭向內
進入之連線數量是謂 “內分支度(Indegree)”。於
任一有向圖(Directed Graph) 所有節點外分支度
(Outdegrees) 之總和(Sum) 必等於所有節點內分
支度(Indegrees) 之總和(Sum)。如果一個節點之
內分支度(Indegree)為0、則該節點是謂 “資源節
點(Source)”；如果一個節點之外分支度
(Outdegree) 為0、則該節點是謂 “收納節點
(Sink)”。
7-3 有向圖行列矩陣
(Matrices of Digraph)
• 有關有向圖行列矩陣(Matrices of Digraph)、
我們於第二章就曾己討論，唯當時僅作粗
略描述，且不涵及並行有向連線(Parallel
arcs)。本章將再述有向圖行列矩陣
(Matrices of Digraph)，且涵及並行有向連
線(Parallel arcs)。
7-4 刪修演算法
(Pruning Algorithm for Minimal Path)
• 設有一有向圖(Digraph) D，無任何迴路，
求取從其起始節點u到其終止點w之最短路
徑(Minimal Path)。本節將介紹 “刪修演算
法(Pruning Algorithm)” 求取之
7-5 有限狀態器
(Finite State Machine)
• 我們可以想像一串數位線路的執行程序，
設有一連串之節點，每一節點就像是一個
工作狀態點(State)，接受資料(Data) 的輸
入(Input)；於狀態點(State) 內執行運算整
理後，將結果(Result) 循連線(Edge) 輸出
(Output) 至次一狀態點，直至終止點(Final
State) 為止。如此一連串的有限狀態點與連
線是謂 “有限狀態器(Finite State
Machine)”。
7-6 有限自動機(Finite Automata)
• 有限自動機(Finite Automata) 與前節所述之
有限狀態器(Finite State Machine) 很類似，
不同者是、有限自動機可為某特定條件的
執行程序作 “接受(Accepting)” 或 “拒絕
(Rejecting)” 之判斷。
第八章
組合分析
(Combinatorial Analysis)
8-0 簡介
• 組合分析(Combinatorial Analysis) 的範圍
包括 排列(Permulations)、組合
(Combinations)、與 群組(Partitions)。本章
將就其觀念以精選例題詳細介紹。
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8-1 基礎觀念(Fundamental Principle of Counting)
8-2 階乘(Factorial Notation)
8-3 二項式系數(Binomial Coefficients)
8-4 排列(Permutation)
8-5 排列與重覆(Permutations and Repetitions)
8-6 組合(Combinations)
8-7 有序分割群(Ordered Partitions)
8-8 樹形圖(Tree Diagrams)
8-9 習題
8-1 計數基礎觀念
(Fundamental Principle of Counting)
• 如果有一事件(Event) E1，有n1種執行方式；
另有二輪事件(Second Event) E2，依E1之
執行方式再繼續執行，且有n2種執行方式；
另再有三輪事件(Second Event) E3，依E2
之執行方式再繼續執行，且有n3種執行方式；
以此類推 …，此時、事件之執行方式為：
n1․n2․n3․…。
8-3 二項式系數
(Binomial Coefficients)
• nCr的符號為 ，其中r與n均是正整數
(Positive Integer)，且 r ≦ n，定義如下：
•
=
8-4 排列(Permutation)
• 設有一集合(Set) S，有n個物件(Objecs)，
將此n個物作各種不同次序之安置是謂 “所
有物件之排列(Permutation of all)”。如果取
其中r個物件(r≦n) 作排列是謂 “r–物件排
列(r–Permutation)”。
8-6 組合(Combinations)
• 組合(Combination) 與排列(Permutation) 類
似，所不同者排列有位置次序的要求，組
合則無。
8-7 有序分割群(Ordered
Partitions)
• 設有一集合(Set) S，有n個物件(Objecs)，
先取其中n1個物件組成子集合(Subset) S1；
再於剩餘物件中、取其中n2個物件組成子
集合(Subset) S2；…；再於剩餘物件中、
取其中nm個物件組成子集合(Subset) Sm，
其中 S = {S1, S2, …, Sm}、n = n1 + n2
+ … + nm。如此依先後次序執行選取是謂
“有序分割群(Ordered Partitions)。
8-8 樹形圖(Tree Diagrams)
• 於計算有關機遇率的問題上、根樹圖
(Rooted Tree Diagrams) 可助益解題之了
解
第九章
代數觀點(Algebraic Systems) 與
語言(Languages)
9-0 簡介
• 於第七章、本書曾描述 有限狀態器(Finite State
Machine)、有限自動機(Finite Automata)，我們
可將此兩者比如是電腦系統之硬體，是一種機器，
將用於執行一些有意義的軟體。
• 而本章所介紹的就是那些有意義的軟體，從數學
的代數觀點切入，定義機器之執行條件與能力；
連接可表達意義的字串，因我們人類可籍由有意
義的字串傳遞思維，故而如此有意義的字串亦可
視為是語言(Languages)，可由 有限狀態器
(Finite State Machine)、有限自動機(Finite
Automata) 執行的語言是為電腦語言之母，是謂
“形式語言(Formal Languages)”。
• 9-1 運算屬性(Operations) 與 半群組
(Semigroups)
• 9-2 自由型半群組(Free Semigroups)、語
言(Languages)
• 9-3 文法與語言(Grammars and Languages)
• 9-4 群組(Groups)
• 9-5 子群組(Subgroups) 與 標準子群組
(Normal Subgroups)
• 9-6 習題
第十章
邏輯主張(Proposition Calculus)
10-0 簡介
• 在電腦應用上，無論是處於硬體架構之排列、或
是軟體語言之設計，這些都將與邏輯問題息息相
關。
• 電腦是一堆冰冷且無生命的銹鐡，我們人類是有
血有肉有智慧的萬物之靈，經過我們人類的思考、
作成合乎邏輯之符號、灌注入那冰冷的電腦，此
時電腦亦如有了生命，生動活潑地執行我們要求
的指令。
• 因此可看到邏輯思維與邏輯符號有其重大的意義，
本章將有系統地幫助我們整理邏輯思維、有效率
地作出邏輯符號。
• 10-1 陳述(Statements) 與 複合陳述(Compound
Statements)
• 10-2 連接屬性(Conjunction)
• 10-3 分離屬性(Disjunction)
• 10-4 否定屬性(Negation)
• 10-5 邏輯主張(Proposition) 與 真值表(Truth Table)
• 10-6 恆真邏輯(Tautologies) 與 恆偽邏輯(Contradictions)
• 10-7 相等邏輯(Logical Equivalence)
• 10-8 邏輯主張之代數式(Algebra of Proposition)
• 10-9 單向條件 與 雙向條件陳述(Conditional and
Biconditional Statements)
• 10-10 論証(Arguments)
• 10-11 邏輯意向(Logical Implication)
• 10-12 習題
10-1 陳述(Statements) 與
複合陳述(Compound Statements)
• 以文字表達一有意義之事件是謂 “陳述
(Statement)”，其基本特性(Fundamental
Property) 是在表達 “真(True)”、或是 “偽
(False)”。表示 “真(True)” 或 “偽(False)” 的意
義是謂一個陳述之 “真值(True Value)”。
• 有些陳述(Statements) 是由數個 次陳述
(Substatements) 聯組而成，每一個次陳述有其自
身的 真值(True Value) 意義，如此聯組之陳述是
謂 “複合陳述(Compound Statement)”。
10-2 連接屬性(Conjunction)
• 任何兩個陳述(Statements) p與q、可由單
字 “和(and)” 連接成一個複合陳述
(Compound Statement)，以p and q、或
pΛq 表示
10-3 分離屬性(Disjunction)
• 任何兩個陳述(Statements) p與q、可由單
字 “或(or)” 連接成一個複合陳述
(Compound Statement)，以p or q、或
pVq 表示
10-4 否定屬性(Negation)
• 設有一陳述(Statement) p，另一與其陳述
真值相反的陳述p’ 是謂p之 “否定陳述
(Negation of p)”，通常以 not p 或 ~p 表示。
10-5 邏輯主張(Proposition) 與
真值表(Truth Table)
• 在語言(Language) 運用上、各陳述的真值
(True Value) 將一再重覆被使用，為了方便、
為了明確、我們設計一種圖表來表達各類
陳述(Statements) 的真值屬性，如此圖表
稱為 “真值表(Truth Table)”，表達複雜的
邏輯主張(Proposition)。
10-6 恆真邏輯(Tautologies) 與
恆偽邏輯(Contradictions)
• 設有邏輯主張(Proposition) P(p, q, …)，如
果其真值表(Truth Table) 的最後步驟欄全
為T，則該 邏輯主張(Proposition) 是謂
“恆真邏輯(Tautology)”；相對地、如果其
真值表(Truth Table) 的最後步驟欄全為F，
則該 邏輯主張(Proposition) 是謂 “恆偽邏
輯(Contradiction)”。
10-7 相等邏輯
(Logical Equivalence)
• 設有邏輯主張(Propositions) P(p, q, …) 與
Q(p, q, …)，如果兩者間有相同含意的真值
表(Truth Table)，則P與Q為 “相等邏輯
(Logical Equivalence)”，以 P(p, q, …) =
Q(p, q, …) 表示。
10-8 邏輯主張之代數式
(Algebra of Proposition)
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(1) 等冪律(Idempotent Laws)：
1a、 pVp =p
1b、 pΛp = p
(2) 結合律(Associative Laws)：
2a、 (pVq)Vr = pV(qVr)
2b、 (pΛq)Λr = pΛ(qΛr)
(3) 交換律(Commutative Laws)：
3a、 pVq = qVp
3b、 pΛq = qΛp
(4) 分配律(Distributive Laws)：
4a、 pV(qΛr) = (pVq)Λ(pVr) 4b、 pΛ(qVr) = (pΛq)V(pΛr)
(5) 統一律(Identity Laws)：
5a、 pVf = p
5b、 pΛf = p
6a、 pVt = t
6b、 pΛt = t
(6) 餘補律(Complement Laws)：
7a、 pV~p = t
7b、 pΛ~p = f
8a、 ~t = f
8b、 ~f = t
(7) 對合律(Involution Law)：
9a、 ~~p = p
(8) 迪摩根定理(DeMorgan’s Laws)：
10a、 ~(pVq) = ~pΛ~q
10b、 ~(pΛq) = ~pV~q
10-9 單向條件 與 雙向條件陳述
(Conditional and Biconditional Statements)
• 於電腦程式碼、或於數學式，我們常遇到
“單向條件陳述(Conditional Statements)”，
“如果 p為真、則q亦為真” (if p then q)，
我們通常以 “p → q” 表示。
• 另一種條件陳述是顧及必要條件與充分條
件，稱為 “雙向條件陳述(Biconditional
Statements)”， “p為真、若且唯若q為真”
(p if and only if q)，我們通常以 “p q”
表示。
10-10 論証(Arguments)
• 在電腦程式設計、“Arguments” 被視為
“參數”；在數學應用上、則被視為 “論
証”，是一運算式用於確定一組陳述
(Statement) 是否為真(True)。
10-11 邏輯意向
(Logical Implication)
• 當一個邏輯主張(Proposition) P(p, q, …) 邏
輯意向於(logically imply) 另一邏輯主張
Q(p, q, …)，則以下列式表示之：
•
P(p, q, …) → Q(p, q, …)
• 亦即、如果 Q(p, q, …) 為真(True)、則P(p,
q, …) 必為真。