Transcript Operátorok a kvantumfizikában

Csány Gergely
(Molekuláris Bionika BSc, III. évf.)
A Kvantummechanika Posztulátumai
 1. Posztulátum
Információ, amit egy adott állapotról tudhatunk:
Egy adott állapotot a
állapotfüggvénnyel (hullámfüggvénnyel) írhatunk le,
amely függvény




Korlátos
Egyértékű
Folytonos
Folytonosan differenciálható
függvénye a konfigurációs tér
koordinátáinak, valamint a időnek.
A Kvantummechanika Posztulátumai 2
 2. Posztulátum
A hullámfüggvény értelmezése:
Annak a valószínűsége, hogy a
állapotú rendszer
Egy adott
térfogatelemben található:
Ennek következtében:
(
négyzetesen integrálható)
A Kvantummechanika Posztulátumai 3
 3. Posztulátum
Kísérletek kimenetele:
Minden megfigyelhető mennyiséghez
hozzárendelünk egy operátort.
Ennek az operátornak a sajátértékei és sajátfüggvényei
határozzák meg a mérési eredményünket.
A Kvantummechanika Posztulátumai 4
 4. Posztulátum
Mérések várható értéke:
Egy
állapotú fizikai rendszerben az
operátorú
mennyiségre vonatkozó mérés várható értéke:
és szórása:
A Kvantummechanika Posztulátumai 5
 5. Posztulátum
A hullámfüggvény időbeli fejlődése:
Zárt rendszerben a hullámfüggvény időbeli fejlődését
az időfüggő Schrödinger-egyenlettel írhatjuk le:
Néhány fizikai mennyiség operátrora
(3. posztulátum):
Operátorok tulajdonságai a
kvantumfizikában
 A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk.
 A kvantumfizikában használt operátorok lineárisak és
önadjungáltak (hermitikusak)
 Önadjungált operátor
 sajátértékei valósak
 sajátfüggvényei ortogonálisak
 Sajátfüggvények ortonormálható, teljes rendszert
alkotnak.
Legfontosabb képletek még egyszer (másfajta jelöléssel)
 A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk.
 Annak a valószínűsége, hogy egy részecskét adott t időpillanatban
az [a,b] intervallumban találunk:
Természetesen:
 Annak a valószínűségét, hogy a részecskét adott t időpillanatban
az [a,b] frekvenciaintervallumban találjuk, a Fouriertranszformáció segítségével kaphatjuk (f(x,t) ismeretében):
Heisenberg-féle határozatlansági elv
(
)
Levezetés (egy lehetőség)
 Tfh.:
 Def.:
Levezetés (egy lehetőség) - folyt.
Tétel (6.15)
 Nem léteznek olyan korlátos S és T lineáris operátorok,
(semmilyen Hilbert térben), amelyek kielégítenék az
egyenletet.
ST – TS = I csak nem korlátos S és T operátorok
esetén igaz. (A kvantummechanikában ilyeneket használunk)
Egy példa
 Adott
és
esetén tekintsük a következő függvényt:
Példa (folyt.)
Mely (α, β) rendezett párokra teljesülhet a két állítás
(
, ill.
) egyidejűleg?
(*)
 λ1=?
 a, b (→λ1) adott; miért kell α-nak és β-nak kielégítenie a (*)
egyenlőtlenséget?
 Felrajzolhatjuk-e az (α,β) párok érvényességi halmazát az
egységnégyzetben?
Példa (folyt.) – válaszok
 Def.:
 Def.:
 Def.:
λ1 a T operátor legnagyobb sajátértéke:
Példa (folyt.) – válaszok 2
Miért kell a (*) egyenletnek teljesülnie?

esetén biztosan érvényes (α,β) párokat
kapunk.
 ezen kívül is lehet
 adott a, b (→λ1),

α,β-ra igaz (*) :
Köszönöm a figyelmet!
Felhasznált irodalom:
K. Saxe: Beginning Functional Analysis
Csurgay Árpád – Simonyi Károly: Az Információtechnika Fizikai Alapjai