Transcript Das Brachistochronenproblem - Ruhr

Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
Teil I – Mathematische Voraussetzungen
1. Länge eines Kurvenstücks
2. Parameterdarstellung
3. Die Zykloide (Rollkurve)
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Die Länge eines Kurvenstücks
Definition: parametrisierte Kurve
Sei ∅ ≠ I ⊆ ℝ ein Intervall. Eine stetige Abbildung φ: I ⟶ ℝ𝑛 heißt parametrisierte Kurve in ℝ𝑛 .
Das Bild φ(I) heißt die Spur von φ (Bezeichnung: Spur (φ))
𝜑: 0, 2𝜋 ⟶ ℝ2 , 𝑡 ⟶ 𝜑 𝑡 ≔
𝑟 cos 𝑡
𝑟 sin 𝑡
𝑚𝑖𝑡 𝑟 > 0
𝑟 cos 𝑡
𝜓: 0, ∞ ⟶ ℝ3 , 𝑡 ⟶ 𝜓 𝑡 ≔ 𝑟 sin 𝑡
ℎ𝑡
2𝜋
Seminar:
Dozent:
𝑚𝑖𝑡 𝑟, ℎ > 0
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Die Länge eines Kurvenstücks
Definition: Länge einer Kurve
Es seien W eine Kurve in ℝ𝑛 und φ: I ⟶ ℝ𝑛 eine Parameterdarstellung von W, wobei das Intervall I mehr als einen Punkt enthält.
(a) Sind 𝑎0 , 𝑎1 ,..., 𝑎𝑟 aufeinander folgende Kurvenpunkte, d.h. 𝑎ρ = φ(𝑡ρ ) mit 𝑡ρ ∈ I für ρ = 0,1,....,r und 𝑡0 < 𝑡1 <. . . < 𝑡𝑟 , so heißt
P := P(𝑎0 , 𝑎1 ,..., 𝑎𝑟 ) := S(𝑎0 , 𝑎1 ) + . . . + S(𝑎𝑟−1 , 𝑎𝑟 )
ein der Kurve W einbeschriebener (gerichteter) Polygonzug. Seine Länge wird definiert durch
L(P) := L(P(𝑎0 , 𝑎1 ,..., 𝑎𝑟 )) :=
𝑟
𝜌=1
∥ 𝑎𝜌 − 𝑎𝜌−1 ∥2
𝜓2 (𝑡)
ψ(𝑡0 )
𝐼⊆ℝ
ψ(𝑡5 )
ψ(𝑡4 )
ψ(𝑡1 )
𝜓 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ2
𝑡⟶𝜓 𝑡 ≔
ψ(𝑡6 )
(b) Das Supremum (das ∞ sein kann)
ψ(𝑡7 )
ψ(𝑡2 )
𝜓1 (𝑡)
𝜓2 (𝑡)
[
ψ(𝑡3 )
𝜓1 (t)
]
L(W) := sup 𝐿(𝑃) 𝑃 𝑖𝑠𝑡 𝑒𝑖𝑛𝑏𝑒𝑠𝑐ℎ𝑟𝑖𝑒𝑏𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑃𝑜𝑙𝑦𝑔𝑜𝑛𝑧𝑢𝑔
𝑡7
𝑡6
𝑡3
𝑡5
𝑡2
𝑡4
𝑡0 𝑡1
heißt die Länge von W. Ist I einpunktig, so sei L(W) := 0.
W heißt rektifizierbar, wenn L(W) < ∞.
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Länge eines Kurvenstücks
y
𝑓(𝑥𝑛 )
𝑠𝑛
∆𝑦𝑛
𝑓(𝑥3 )
𝑠3
𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥1 )
𝑓(𝑥0 )
𝑠2
𝑠1
∆𝑥
𝑎 = 𝑥0
∆𝑦1
𝑥1
∆𝑥
∆𝑦2
𝑥2
∆𝑦3
∆𝑥
∆𝑥
𝑥3
𝑏 = 𝑥𝑛
x
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Länge eines Kurvenstücks
y
𝑓(𝑥𝑛 )
∆𝑦𝑛
𝑠𝑛
𝑓(µ)
𝑓(𝑥3 )
𝑠3
𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥1 )
𝑓(𝑥0 )
𝑠2
𝑠1
∆𝑥
𝑎 = 𝑥0
∆𝑦1
𝑥1
∆𝑥
∆𝑦2
𝑥2
∆𝑥
2
∆𝑥
∆𝑥
2
∆𝑦µ
∆𝑦3
𝑥3 µ
𝑏
x
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Länge eines Kurvenstücks
y
𝑓(𝑥𝑛 )
𝑠𝑛
𝑓(µ)
𝑓(𝑥3 )
𝑠3
𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥1 )
𝑓(𝑥0 )
𝑠2
𝑠1
𝑎 = 𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3 µ
𝑏
x
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Länge eines Kurvenstücks
y
𝑓(𝑥𝑛 )
(Δ𝑥)2 +(Δ𝑦𝑘 )2
𝑠𝑘 =
𝑠𝑛
∆𝑦𝑛
𝑛
𝑓(𝑥3 )
𝑠3
𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥1 )
𝑓(𝑥0 )
𝑠2
𝑠1
∆𝑥
𝑎 = 𝑥0
∆𝑦1
𝑥1
∆𝑥
∆𝑦2
𝑥2
∆𝑦3
𝑘=1
∆𝑥
𝑥3
(Δ𝑥)2 +(Δ𝑦𝑘 )2
𝑠 =
∆𝑥
𝑏 = 𝑥𝑛
x
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Länge eines Kurvenstücks
=
Δ𝑦𝑘
2
(Δ𝑥) ∗ (1 +
Δ𝑥
𝑛
=
𝑘=1
2
)
Δ𝑦𝑘 2
Δ𝑥 ∗ 1 + (
)
Δ𝑥
Δ𝑦𝑘 2
= Δ𝑥𝑠𝑘∗ =1 +(Δ𝑥)
( 2 +(Δ𝑦
)
)2
𝑘
Δ𝑥
𝑛
(Δ𝑥)2 +(Δ𝑦𝑘 )2
𝑠 =
𝑘=1
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
1. Länge eines Kurvenstücks
𝐵𝑒𝑎𝑐ℎ𝑡𝑒:
Δ𝑦𝑘 𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1 )
=
Δ𝑥
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
∘
Δ𝑦𝑘 2
𝑛 ⟶ ∞,
𝑑𝑎𝑛𝑛:
𝑆𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑧𝑢𝑔
𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑖𝑒𝑟𝑡 𝐾𝑢𝑟𝑣𝑒𝑛𝑠𝑡ü𝑐𝑘
2
2
Δ𝑥 ∗ 1 + (
)
𝑠 =
(Δ𝑥) +(Δ𝑦𝑘 ) =
Δ𝑥
𝑘=1
∘ Δ𝑥 ⟶ 0 𝑘=1
𝑛
𝑛
∘
Δ𝑦𝑛
⟶ 𝑓′ 𝑥
Δ𝑥
𝑥𝑛
1 + (𝑓 ′ 𝑥 )2 𝑑𝑥
𝑠𝐾𝑢𝑟𝑣𝑒𝑛𝑠𝑡ü𝑐𝑘 =
𝑥0
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
2. Parameterdarstellung
Definition:
Eine Funktion/Abbildung 𝑓 von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem Element 𝑥 ∈ X in eindeutiger Weise ein
Element 𝑓(𝑥) ∈ Y zuordnet.
(Skript zur Analysis I, Kapitel 3)
𝑏
𝑎
Gebilde, wie z.B. die Ellipse, lassen sich nicht durch Funktionen beschreiben! Denn:
▪ für jeden x-Wert müsste es 2 y-Werte geben!
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
2. Parameterdarstellung
▪ Abhilfe durch Parameterdarstellung
▪ Punkte des Graphen durch 2 verschiedene Funktionen beschrieben
𝑦
Parameter
𝑷
𝑃 𝑥 𝑡
𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑡)
𝑡
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 =: 𝑟
𝑥
𝑦 𝑡
𝑆𝑒𝑡𝑧𝑒 𝑥 𝑡 ≔ 𝑟 ∗ cos 𝑡 ,
𝑦 𝑡 ≔ 𝑟 ∗ sin(𝑡)
𝑟 ∗ cos(𝑡)
𝑃 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑡)
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
2. Parameterdarstellung
y
𝐹𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑐ℎ 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑠𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛, 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑚𝑎𝑛
𝑥 𝑡 ≔ 𝑡 𝑢𝑛𝑑 𝑦 𝑡 ≔ 𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑧𝑡.
𝑥𝑛
1 + (𝑓 ′ 𝑥 )2 𝑑𝑥
𝑠𝐾𝑢𝑟𝑣𝑒𝑛𝑠𝑡ü𝑐𝑘 =
𝑓(𝑥𝑛 )
𝑥0
𝑠𝑛
∆𝑦𝑛
𝑓(𝑥3 )
𝑠3
𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥1 )
𝑓(𝑥0 )
𝑠2
𝑠1
∆𝑥
𝑎 = 𝑥0
∆𝑦1
𝑥1
∆𝑥
∆𝑦2
𝑥2
∆𝑦3
∆𝑥
Abwandeln für die
Parameterdarstellung!
∆𝑥
𝑥3
𝑏 = 𝑥𝑛
x
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
2. Parameterdarstellung
𝑥𝑛
1 + (𝑓 ′ 𝑥 )2 𝑑𝑥
𝑠𝐾𝑢𝑟𝑣𝑒𝑛𝑠𝑡ü𝑐𝑘 =
𝑥0
𝑥𝑛
=
𝑥0
𝑥𝑛
=
𝑥0
(𝑦 ′ 𝑡 )2
1+ ′
𝑑𝑥
(𝑥 𝑡 )2
𝑥′ 𝑡
⇒
𝑥𝑛
2
(𝑦 ′ 𝑡 )2
2 + (𝑥 ′ 𝑡 )2 𝑑𝑥
′
𝑥 𝑡
𝑡𝑛
𝑥′ 𝑡
𝑠𝐾 =
, 𝑑𝑒𝑛𝑛
2
+ 𝑦′ 𝑡
2
𝑑𝑡
𝑥′
=
𝑡
𝑓′
2
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑦′(𝑡)
𝑥 =
𝑢𝑛𝑑
=
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑥′(𝑡)
+
𝑦′
𝑥0
, 𝑑𝑒𝑛𝑛 𝑥′(𝑡) =
𝑡0
Seminar:
Dozent:
𝑡
2
1
∗
𝑑𝑥
𝑥′(𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
⇔ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑡
𝑥′(𝑡)
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
2. Parameterdarstellung
𝑡𝑛
𝑥′ 𝑡
𝑠𝐾 =
2
+ 𝑦′ 𝑡
2
Marco Fischer
Alexander Schroer
Beispiele
𝑑𝑡
𝑡0
𝑷
𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑡)
𝑫𝒆𝒓 𝑼𝒎𝒇𝒂𝒏𝒈 𝒅𝒆𝒔 𝑲𝒓𝒆𝒊𝒔𝒃𝒐𝒈𝒆𝒏𝒔
𝑡
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 =: 𝑟
𝑟 ∗ cos(𝑡)
𝑃 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑡)
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
2. Parameterdarstellung
𝑡𝑛
𝑥′ 𝑡
𝑠𝐾 =
2
+ 𝑦′ 𝑡
2
Marco Fischer
Alexander Schroer
Beispiele
𝑑𝑡
𝑡0
𝑫𝒊𝒆 𝑳ä𝒏𝒈𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝑩𝒐𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒆𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒃𝒆𝒍
𝑥2
𝛾 = (𝑥, 2 ) 0 ≤𝑥 ≤𝑎
𝑎
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
3. Die Zykloide
Definition:
Die Zykloide ist die Kurve, die von
einem festen Punkt auf einem Kreis
gezeichnet wird, der auf einer
Geraden abrollt.
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo
Das Brachistochronenproblem
Marco Fischer
Alexander Schroer
3. Die Zykloide
y
𝑥, 𝑦 = 𝑷
𝜋
𝑎 ∗ sin(𝑡 − )
2
t 𝑴 = (𝑎 ∗ 𝑡, 𝑎)
a
0
𝜋
−𝑎 ∗ cos(𝑡 − )
2
𝑨 = (𝑎 ∗ 𝑡, 0)
x
𝜋
𝑥 𝑡 = 𝑎𝑡 − (−𝑎 ∗ cos 𝑡 − ) = 𝑎𝑡 − 𝑎 ∗ sin 𝑡 = 𝑎 ∗ (𝑡 − sin 𝑡 )
2
𝜋
𝑦 𝑡 = 𝑎 + 𝑎 ∗ sin 𝑡 −
= 𝑎 − 𝑎 ∗ cos 𝑡 = 𝑎 ∗ (1 − cos 𝑡 )
2
Seminar:
Dozent:
Anwendungsgebiete der Analysis
Prof. Dr. Alberto Abbondandolo