Transcript 2. tasa de variación instantánea: la derivada

TEMA 7 - DERIVADAS
MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO
1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
1.
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
1.1 TVM en funciones lineales
TVM [ a ,b ] 
f
x
f ( x) f (b)  f (a)

x
ba
TVM f [ 0, 4 ] 
f ( x) f (4)  f (0) 12


3
x
40
4
TVM g [ 0, 4] 
g ( x) g (4)  g (0) 3

  0,75
x
40
4
TVM h[ 0, 4] 
h( x) h(4)  h(0)  8


 2
x
40
4
La TVM indica la variación de la función
por cada x, es decir: el ritmo, la
rapidez, la velocidad de variación.
El signo indica si aumenta (+) o
disminuye (-) y el valor indica cuánto
aumenta o disminuye.
1.
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
1.2 TVM en cualquier función
Ejemplo 1:
f ( x)  x3  3x
TVM [ a ,b ] 
f ( x) f (b)  f (a)

x
ba
TVM de f(x) entre 1 y 2:
TVM f [1, 2 ] 
f ( x) f (2)  f (1) 2  (2)


4
x
2 1
1
TVM de f(x) entre -1 y 2:
TVM f [ 1, 2] 
f ( x) f (2)  f (1) 2  2


0
x
20
2
PROBLEMA:
La TVM sólo tiene en cuenta el valor
inicial y el final. Es transparente a lo que
ocurre durante.
1.
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
1.2 TVM en cualquier función
Ejemplo 2: Los beneficios de una empresa, en millones de euros, vienen dados por
la función f(x), donde x son los años transcurridos desde su fundación
(0 ≤x≤10).
TVM de f(x) entre 0 y 10:
5
f ( x) 
x  11
TVM f [ 0,10 ] 
f ( x) f (10)  f (0) 5  0,45


 0,45
x
10
10
Crece a un ritmo de 0,45 millones de € cada año.
(0,45 mill€/año)
TVM de f(x) entre 0 y 6:
TVM f [ 0, 6] 
f ( x) f (6)  f (0) 1  0,45


 0,09
x
6
6
Crece a un ritmo de 0,09 mill€/año
TVM de f(x) entre 6 y 10:
TVM f [ 6,10 ] 
f ( x) f (10)  f (6) 5  1


1
x
4
4
Crece a un ritmo de 1 mill€ cada año.
1.
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
1.2 TVM en cualquier función
La TVM tiene en cuenta dos puntos, es
decir, un intervalo, e ignora lo que ocurre
en medio. Nos dice la media de crecimiento
(o decrecimiento) de la función entre esos
dos valores.
Sin embargo, si se desea saber a qué ritmo
crece (o decrece) una función en un punto
determinado y no perder información, hay
que usar un intervalo cada vez más
pequeño.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA:
LA DERIVADA
2.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo
Los beneficios de una empresa, en millones de euros, vienen dados por
la función f(x), donde x son los años transcurridos desde su fundación
anterior:
(0 ≤ x≤10).
¿Cuál era el ritmo de crecimiento de la
empresa en el año 6?
5
f ( x) 
x  11
Para h=2
TVM f [6,10]  1
TVM f [6,8]  0,33
Para h=1
TVM f [6,7]  0,25
Para h=0,5
TVM f [6,6.5]  0,22
Para h=0,1
TVM f [6,6.1]  0,20
Para h=4
En el año 6 la empresa crece, exactamente, a
un ritmo de 0,2 millones de € cada año.
PROCESO
TVI x  a  lim TVM a ,a  h   lim
h 0
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
2.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
El proceso de calcular la tasa de variación media en un intervalo cada vez más
pequeño, ínfimo, se puede llamar tasa de variación instantánea o DERIVADA.
f ' (a )  TVI x  a  lim TVM a ,a  h   lim
h 0
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
La derivada indica el ritmo de variación instantáneo de una función en el
punto x=a. Es decir, a qué ritmo crece o decrece una función en ese punto
determinado.
Geométricamente:
El valor de la derivada coincide con la pendiente de la
recta tangente en ese punto.
m=0,2
2.
Ejemplo 1:
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
f ( x)  x 2  2x ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3?
Para h=1
TVM f [3,6]  7
TVM f [3, 4]  5
Para h=0,5
TVM f [3,3.5]  4,5
Para h=0,1
TVM f [3,3.1]  4,1
Para h=0,01
TVM f [3,3.01]  4,01
Para h=3
A medida que el intervalo se hace más
pequeño, la tasa tiende a ser 4. Es decir, en
x=3 , f(x) crece a un ritmo de 4 por cada
aumento de x.
2.
Ejemplo 1:
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
f ( x)  x 2  2x ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3?
f ' (3)  TVI x 3  lim TVM 3,3 h   lim
h 0
h 0
f (3  h)  f (3)
h
f (3  h)  3  h  2  3  h  9  6h  h2  6  2h  h2  4h  3
2
f (3)  32  2  3  3
h 2  4h  3  3
h 2  4h
h  h  4 
f ' (3)  lim
 lim
 lim

h 0
h

0
h

0
h
h
h
 limh  4   4
h 0
Calculando de forma correcta el límite cuando h
tiende a cero, se obtiene de forma exacta la
derivada de la función en x=3.
2.
Ejemplo 1:
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
f ( x)  x 2  2x ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3?
f ' (3)  4
SIGNIFICADO:
f(x) en el punto x=3 está creciendo a un ritmo
de 4 unidades por cada x.
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO:
La tangente de f(x) en el punto x=3 tiene una
pendiente de 4.
2.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son
las semanas transcurridas.
f ( x)  1  x2
a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la
clientela a las 2 semanas?
f ' (2)  TVI x  2  lim TVM 2, 2 h   lim
h 0
h 0
f (2  h)  f (2)
h
f (2  h)  1  2  h  1  4  4h  h2  h2  4h  5
2
f (2)  1  4  5
h 2  4h  5  5
h 2  4h
h  h  4
f ' (2)  lim
 lim
 lim

h 0
h

0
h

0
h
h
h
 limh  4   4
h 0
En la segunda semana, la clientela crece a un
ritmo de 4 clientes/semana.
Geométricamente, 4 es la pendiente de la recta
tangente a la función en x=2.
2.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son
las semanas transcurridas.
f ( x)  1  x2
b) ¿Qué diferencia hay entre f(2) y f’(2)?
f (2)  5 En la segunda semana la clientela es de
5 clientes.
f ' (2)  4 En la segunda semana la clientela crece
a 4 clientes por semana.
2.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son
las semanas transcurridas.
f ( x)  1  x2
c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento para un
valor genérico x, es decir, f’(x)?
f ' ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
f ( x  h)  1  x  h  1  x2  2xh  h2
2
f ( x)  1  x2


h 2  2 xh  x 2  1  1  x 2
f ' ( x)  lim

h 0
h
h 2  2 xh
h  h  2 x 
 lim
 lim
 limh  2 x   2 x
h 0
h

0
h 0
h
h
Para cualquier valor x, la derivada de la función
se calcula como 2x.
2.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
La función que proporciona la derivada de
una función en cualquier punto x se llama
función derivada f’(x), y se calcula como:
f ' ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
f’(x) indica el ritmo de variación instantáneo
de una función en cualquier punto x.
Geométricamente:
f’(x) es la función de pendientes de f(x).
3. REGLAS DE DERIVACIÓN
3.
REGLAS DE DERIVACIÓN
( f  g )'  f ' g '
( f  g )'  f ' g '
3.1 REGLAS BÁSICAS
( f  g )'  f 'g  f  g '

f
f 'g  f  g '
  
2
g
g
 
(a  f )'  a  f '
3.2 DERIVADAS ELEMENTALES
f ( x)  a
f ' ( x)  0
f ( x)  x
f ' ( x)  1
f ( x)  x n
f ' ( x)  n  x n1
f ( x)  n x
f ' ( x) 
1
n x
n
n 1
f ( x)  f n
f ( x) 
n
f
f ' ( x)  n  f n1  f '
f ' ( x) 
f'
n  n f n1
3.
REGLAS DE DERIVACIÓN
3.2 DERIVADAS ELEMENTALES
f ( x)  e x
f ' ( x)  e x
f ( x)  e f
f ' ( x)  e f  f '
f ( x)  a x
f ' ( x)  a x  ln a
f ( x)  a f
f ' ( x)  a f  f ' ln a
f ( x)  ln x
1
f ' ( x) 
x
f ( x)  ln f
f'
f ' ( x) 
f
f ( x)  loga x
f ( x)  loga f
1
1
f ' ( x) 
  log a e
x  ln a x
f'
f'
f ' ( x) 
  loga e
f  ln a
f
4. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS
4.
DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS
 x 2  4

Ejemplo 1: f ( x )  
2

x
 8 x  12


x2
x2
¿Es f(x) continua en x=2?
Sí. Los límites laterales coinciden con el valor
de f(2).
lim f ( x)  lim f ( x)  f (2)
x2
x2
¿Es f(x) derivable en x=2?
No. La derivada por la izquierda de x=2 es
negativa y por la derecha es positiva. Por tanto,
no coinciden las derivadas laterales.
PUNTO ANGULOSO
 
 
f  2  f  2 
4.
DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS
7  3 x

Ejemplo 2: f ( x )   2
 x  7 x  11

x2
x2
Estudia
la
continuidad
derivabilidad en x=2
y
la
CONTINUIDAD:
1ª: f (2)  1
2ª: lim f ( x)  lim f ( x)  1
x2
x2
3ª: f ( 2)  lim f ( x )  1
x2
Continua
x=2
en
DERIVABILIDAD:
 3

f ( x)  
2 x  7

f (2 )  3
f (2 )  2  2  7  3
x2
x2
f (2 )  f (2 )
f (2)  3
Derivable
x=2
en
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.1 Ecuación de la recta tangente a una función en un punto
y  f x0   f x0  x  x0 
Ejemplo:
f ( x)  x3  3x
f ( x)  3x 2  3
a) Recta tangente en x=-2
f (2)  2
f (2)  9
y  2  9  x  2
b) Recta tangente en x=0
f (0)  0
f (0)  3
y  3x
c) Recta tangente en x=1
f (1)  2
f (1)  0
y  2
5.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.2 Monotonía y extremos relativos de una función
3
f ( x)  x  3x
Cuando f(x) crece, f’(x) es positiva.
Y cuando f(x) decrece, f’(x) es
negativa.
En los extremos relativos de f(x),
la derivada f’(x) vale cero.
f ( x)  3x 2  3
5.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.2 Monotonía y extremos relativos de una función
Ejemplo 1: Estudia la monotonía de f(x) y halla
sus extremos relativos.
f ( x)  x3  3x
f ( x)  3x 2  3
 x1  1
2
3x  3  0 
 x2  1
1

f (x )
f (x)
1
+
MONOTONÍA:
f(x) crece en

-
+
x   ,1  1,
f(x) decrece en
x  1,1
EXTREMOS RELATIVOS:
máximo relativo
1,2
mínimo relativo
1,2
5.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función
3
f ( x)  x  3x
f ( x)  6 x
Cuando f(x) es convexa, f’’(x) es
negativa. Y cuando f(x) es cóncava,
f’’(x) es positiva.
En el punto de inflexión de f(x), la
segunda derivada f’’(x) vale cero.
5.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función
Ejemplo 1: Estudia la curvatura de f(x) y halla sus
puntos de inflexión.
f ( x)  x3  3x
f ( x)  6 x
f ( x)  3x 2  3
6 x  0  x1  0

f (x)
f (x)

0
-
+


CURVATURA:
f(x) es cóncava en
x  0,
f(x) es convexa en
x   ,0
PUNTOS DE INFLEXIÓN:
Punto de inflexión
0,0
5.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función
Ejemplo 2:
5.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función
Ejemplo 3:
5.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función
Ejemplo 4:
TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES.
LÍMITES Y CONTINUIDAD.
FIN
MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO