Medidas de Dispersão
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Transcript Medidas de Dispersão
Medidas de dispersão:
• Desvio médio,
• Desvio-padrão
• Variância
Estatística Aplicada
2º Ano – Ensino Subsequente
Prof. André Aparecido da Silva
E-mail: [email protected]
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
INTRODUÇÃO
Há situações em que as medidas de
tendência central - Média, Moda e
Mediana - não são suficientes para
caracterizar uma determinada coleta de
dados.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
INTRODUÇÃO (CONTINUAÇÃO)
Nesse caso, é conveniente utilizar as
medidas de dispersão: desvio médio,
desvio padrão e variância, pois
expressam o grau de dispersão de um
conjunto de dados.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
A média aritmética de um conjunto de
dados numéricos é obtida somando-se
os valores de todos os dados e
dividindo-se essa soma pelo número de
dados apresentados.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
Por exemplo: Qual a média aritmética
entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10?
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO (MA)
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Para compreendermos melhor
esses conceitos relativos à
Estatística, vamos explicá-los a
partir da seguinte situaçãoproblema:
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SITUAÇÃO-PROBLEMA
Considere a distribuição numérica cujos
resultados constam na lista abaixo:
1, 6, 4, 10, 9
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética dessa distribuição 1,
6, 4, 10, 9 é:
MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5
MA = 30/5
MA = 6
A média aritmética é 6.
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e variância
MÉDIA / DESVIO
Chama-se DESVIO de cada valor
apresentado a diferença entre esse
valor e a média aritmética desses
valores.
Na situação anterior, a distribuição é
1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é
6. Portanto, temos:
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DESVIO
desvio do valor 1
1 - 6 = -5
desvio do valor 6
6-6=0
desvio do valor 4
4 - 6 = -2
desvio do valor 10
10 - 6 = 4
desvio do valor 9
9-6=3
Os desvios, em relação à média, são:
-5, 0, -2, 4 e 3.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
A partir da situação com a
distribuição dos números 1, 6, 4, 10,
9, considerando que a média
aritmética entre eles é igual a 6 e
que os desvios, em relação à
média, são -5, 0, -2, 4 e 3...
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
... vamos definir as medidas de
dispersão: desvio médio, variância
e desvio padrão.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DESVIO MÉDIO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Chama-se desvio médio (DM) de uma
distribuição a média aritmética dos
módulos dos desvios.
No exemplo em análise, os desvios
são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio
será:
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Formula desvio médio
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3)
5
DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)
5
DM = 14
DM = 2,8
5
O desvio médio é 2,8.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
O módulo garante que o valor
seja positivo.
EX:
a)+3 = 3
b)-3 = 3
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e variância
VARIÂNCIA
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Chama-se variância (V) de uma distribuição a média
aritmética dos quadrados dos desvios dessa
distribuição.
Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3,
logo a variância será:
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e variância
V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)
.
5
V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9)
5
V = 54
V = 10,8
5
A variância é 10,8.
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e variância
DESVIO PADRÃO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Chama-se desvio padrão (DP) de uma
distribuição a raiz quadrada da
variância:
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
No exemplo em análise, temos que a
variância é 10,8, portanto o desvio
padrão será: DP = 10,8 3,28.
O desvio padrão é 3,28.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
O desvio padrão...
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e variância
OBSERVAÇÕES:
Quando
todos os valores de uma
distribuição forem iguais, o desvio
padrão será igual a zero;
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OBSERVAÇÕES:
Quanto mais próximo de zero
for o desvio padrão, mais
homogênea será a distribuição
dos valores;
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e variância
OBSERVAÇÕES:
o desvio padrão é expresso na
mesma
unidade
distribuídos.
dos
valores
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1º) Considerando a distribuição dos
números 2, 4, 6 e 10, determine:
a) o desvio médio;
b) a variância;
c) o desvio padrão.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO - MÉDIA
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então
temos:
MA = (2+4+6+12) MA = 24 M = 6
4
4
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então
temos:
DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6)
4
DM = |-4|+|2|+|0|+|6| =
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
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SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)
Tirando do módulo teremos:
DM = 4+2+0+6 DM = 12 DM = 3
4
4
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
VARIÂNCIA - SOLUÇÃO
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então
temos:
V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)
4
V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²
4
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
VARIÂNCIA - SOLUÇÃO
Continuando
V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²
4
V = 16 + 4 + 0 + 36
4
V= 56
4
V = 14
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
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SOLUÇÃO – DESVIO PADRÃO
A distribuição é 2, 4, 6 e 12,
então temos:
c) DP = 14 = 3,74
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
2º)
Em um jogo de arremessos,
coletaram-se os dados da tabela a
seguir. Dessa forma, em relação aos
acertos, determine:
a) a média aritmética;
b) o desvio médio;
c) a variância;
d) o desvio padrão.
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e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOS
MÁRCIO
10 arremessos de
6
MURIEL
cada jogador
4
JONAS
8
EDSON
2
ROMUALDO
7
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e variância
SOLUÇÃO
a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4
b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5
DM = 1,92
c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5
V = 4,64
d) DP = 4,64 = 2,15
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e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
3º) No quadro a seguir, está representado o consumo
diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas,
em um período de quatro dias. Determine o desvio
padrão do consumo dos carros desses taxistas.
Taxistas segunda terça quarta quinta
23
12
I
10
9
8
32
II
16
18
III
25
17
30
10
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e variância
SOLUÇÃO
Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos,
antes, calcular a média aritmética e a variância.
Calculando a média aritmética de consumo dos carros
dos três taxistas, temos:
MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5
MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5
MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5
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e variância
SOLUÇÃO
Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos
três taxistas.
VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4 31,25
VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4 74,75
VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4 58,25
Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a
maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a
menor dispersão.
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SOLUÇÃO
Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o
consumo dos carros dos três taxistas.
DPI = 31,25 5,59 litros
DPII = 74,75 8,64 litros
DPIII = 58,25 7,63 litros
Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I
teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio
padrão é o menor.
MATEMÁTICA, 1º Ano
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e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por
duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a
tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor
opção? Por quê?
Oferta 1
Oferta 2
Média Salarial
890,00
950,00
Mediana
800,00
700,00
Desvio Padrão
32,00
38,00
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SOLUÇÃO
Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto
menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja,
a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1
é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA VOTOS E
PERCENTUAIS
REGIÃO
AÉCIO
%
% Acumulado
NORDESTE
7.967.846
15,66%
15,66%
Norte
3.376.148
6,63%
22,29%
Centro-Oeste
4.388.594
8,62%
30,92%
Sul
9.686.559
19,03%
49,95%
Sudeste
25.470.265
50,05%
100,00%
Total de eleitores
50.889.412
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e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO
DESVIO MÉDIO - AÉCIO
REGIÃO
AÉCIO
Desvio Médio
NORDESTE
7.967.846 |7.967.846 - 10.177.882|+
Norte
3.376.148 |3.376.148 - 10.177.882|+
Centro-Oeste
4.388.594 |4.388.594 - 10.177.882|+
Sul
9.686.559 |9.686.559 - 10.177.882|+
Sudeste
25.470.265 25.470.264 - 10.177.882|
Valores
Total
Média Desvios
2.210.036
6.801.734
5.789.288
491.323
15.292.383
30.584.765
6.116.953
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – VARIÂNCIA
Variância
REGIÃO
AÉCIO
Desvio Médio
Valores
NORDESTE
7.967.846 |7.967.846 - 10.177.882|^2+
4.884.260.889.325
Norte
3.376.148 |3.376.148 - 10.177.882|^2+
46.263.590.848.143
Centro-Oeste
4.388.594 |4.388.594 - 10.177.882|^2+
33.515.860.178.375
Sul
9.686.559 |9.686.559 - 10.177.882|^2+
241.398.683.388
Sudeste
25.470.265 |25.470.264 - 10.177.882|^2+
TOTAL
Variancia
Desvio
Padrão
233.856.965.584.783
318.762.076.184.013
63.752.415.236.803
7.984.511
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA
REGIÃO
NORDESTE
Norte
Centro-Oeste
Sul
Sudeste
Total de eleitores
Média por Região
Desvio Médio
DILMA
%
20.176.579
4.393.301
3.254.304
6.759.908
19.867.894
54.451.986
10.890.397
7305471,4
% Acumulado
37,05%
37,05%
8,07%
45,12%
5,98%
51,10%
12,41%
63,51%
36,49%
100,00%
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO
REGIÃO
NORDESTE
Norte
Centro-Oeste
Sul
Sudeste
Total de eleitores
Média por Região
Desvio Médio
DILMA
Desvio Médio
20.176.579 |20.176.579 - 10.890.397|+
4.393.301 |4.393.301 - 10.890.397|+
3.254.304 |3.254.304 - 10.890.397|+
6.759.908 |6.759.908 - 10.890.397| +
19.867.894 |19.867.894 - 10.890.397|
54.451.986
10.890.397
7305471,4
9286182
6497096
7636093
4130489
8977497
Total
Desvio médio
36527357
1593343
Variância
REGIÃO
NORDESTE
DILMA
VARIANCIA
Valores
20.176.579 |7.967.846 - 10.177.882|^2+
99.973.933.698.852
Norte
4.393.301 |3.376.148 - 10.177.882|^2+
33.461.381.973.226
Centro-Oeste
3.254.304 |4.388.594 - 10.177.882|^2+
47.935.937.860.947
Sul
6.759.908 |9.686.559 - 10.177.882|^2+
11.682.548.999.055
Sudeste
19.867.894 25.470.264 - 10.177.882|^2+
93.896.324.808.135
TOTAL
Variancia
Desvio Padrão
286.950.127.340.214
57.390.025.468.043
7.575.620
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.
IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio.
Atual, São Paulo, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.
PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Disponível em:
www.oxnar.com.br