Transcript Consolidation et tassement des sols: Séance 2/3.

Cours CTN 504
Mécanique des sols
L i L i , ing., Ph.D
Professeur en géotechnique
Département de génie de la construction
Bureau: A-1484
Courriel: [email protected]
Éteindre vos cellulaires, SVP!
Séances d'exercice dirigé: A-2332
Consolidation et tassement des sols
(Séance 2e/3)
Contenu
• Estimation de la distribution des contraintes
–
–
–
–
Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
Solutions de Boussinesq
Solution de Newmark (1935)
Théorie de Westeraard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
• Méthode Casagrande
• Méthode de Taylor
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
Contenu
• Estimation de la distribution des contraintes
– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
– Solutions de Boussinesq
– Solution de Newmark (1935)
– Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
• Méthode Casagrande
• Méthode de Taylor
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
Charge totale sur
unité de longueur

Pour les semelles filantes, on
utilise souvent le terme
"Charge linéaire ou linéique".
Comment la déterminer?
Exemple 8.17 (page 377 du livre)
P = 1400 kN
semelle 3m4m de
 = 2040 kg/m3
remblai compacté à
d = 2040 kg/m3
1m
sol naturel: d = 1680 kg/m3
pas d'eau
2m
Exemple 8.17: solution
P = 1400 kN
P
 z 
3  z 4  z 
x2
remblai
compacté 2 m
1m
h2
sol naturel
h3 = z
pas d'eau
h1
x3
z
x1
Contenu
• Estimation de la distribution des contraintes
– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
– Solutions de Boussinesq
– Solution de Newmark (1935)
– Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
• Méthode Casagrande
• Méthode de Taylor
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
À une charge ponctuelle
z 

 
Q 3z 3
 2 r

2  z  2  1

 z
3Q
2
2


r
2
2z  2  1
z

5/ 2
5/ 2
Q
3 / 2 
z  2
z  r 2 5 / 2
    1
 z 



 
Q 3z 3

2z
Q
 2
z
5
2
2
r

 2  1
z

2
5/ 2
3
  r 2 
2     1
 z 



5/ 2
NB
Q
 z  2 NB
z
À une charge ponctuelle
Solution de
Westergaard
Q
3 / 2 
z  2
z  r 2 5 / 2
    1
 z 



NB
Q
 z  2 NB
z
À une charge linéaire ou linéique
où P = charge linéaire, force/longueur , kN/m
z 
2 Pz3
 r  z

2 2

2 Pz3
2
 2 r

  z  2  1

 z
2 Pz3
2P


2
2
2
2

r

22  r



z  2  1 z  2  1
z

z

2
P
2/
z 
z  r 2 2
    1
 z 



2
NB
Q
 z  2 NB
z
P
Contenu
• Estimation de la distribution des contraintes
– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
– Solutions de Boussinesq
– Solution de Newmark (1935)
– Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
• Méthode Casagrande
• Méthode de Taylor
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
où I = facteur d'influence
facteur d'influence, I
Contrainte sous le coin d'une surface
rectangulaire chargée uniformément
Contrainte sous une surface circulaire chargée uniformément
Contrainte sous un remblai de grande longueur
Contrainte sous les coins d'une charge triangulaire longueur limitée
Contenu
• Estimation de la distribution des contraintes
– Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
– Solutions de Boussinesq
– Solution de Newmark (1935)
– Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
• Méthode Casagrande
• Méthode de Taylor
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
À une charge ponctuelle
Hypothèse de la théorie de Westergaard:
• sol varvé (entremêlé de couches très minces)
• sol parfaitement rigide et déformation unidimensionnelle dans la direction
vertical ( = 0)
Solution de
Boussineq
Solution de
Westergaard
Sous le coin d'une surface rectangulaire chargée uniformément
Sous le centre d'une surface carrée chargée uniformément
Sous le coin d'une surface rectangulaire chargée uniformément
I
Sous le coin d'une surface rectangulaire chargée uniformément
Contenu
• Estimation de la distribution des contraintes
–
–
–
–
Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
Solutions de Boussinesq
Solution de Newmark (1935)
Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
• Méthode Casagrande
• Méthode de Taylor
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
Tassement total des sols argileux, st:
St  Si  S c  S s
où si = tassement immédiate (déformation élastique des
fondations structurales, fûts de pieu par exemple);
sc = tassement de consolidation (variation de teneur en eau);
ss = tassement secondaire (fluage).
dépendent du temps, t
sc = composante majeure du tassement pour les argiles inorganiques;
ss = composante plus importante pour les tassements des sols
comme les tourbes et les sols fortement organiques.
Analogie de la consolidation d'une couche très mince
Analogie de la consolidation d'une couche épaisse ou multiple couches
Contenu
• Estimation de la distribution des contraintes
–
–
–
–
Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
Solutions de Boussinesq
Solution de Newmark (1935)
Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
• Méthode Casagrande
• Méthode de Taylor
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
Terzaghi (1925) a analysé la consolidation avec les hypothèses
suivantes:
• La couche de sol compressible est homogène et saturée
complètement;
• L'eau et les grains de sol sont incompressibles;
• La loi de Darcy s'applique;
• Drainage dans une seule direction;
• Déplacements faibles;
• Le coefficient de compression av et le coefficient de
perméabilité k sont constants pendant la consolidation.
Consolidation de Terzaghi (1925)
Loi de Darcy:
q=ki
sortie
entrée
À un moment donné t = t, on
vérifie la variation du volume du
sol à cause de variation de la
teneur en eau.
À la sortie z = z où la pression
interstitielle excessive est u. Le
gradient hydraulique, iz est:
dhz d  u  1 u
iz 
   
dz dz   w   w z
représentée par u dans le
développement des équations.
À l'entrée z = z+dz, la pression interstitielle excessive devient u + du. Le gradient hydraulique,
iz+dz est:
iz  dz
dhz  dz d  u  du  1 
1  u  2u 
 
u  du    2 dz 

 
dz
dz   w   w z
 w  z z

Consolidation de Terzaghi (1925)
Pendant une période très courte de temps dt, le volume sortant de l'élément dxdydz est:
dQsor  kiz dxdydt k
1 u
dxdydt
 w z
(Attention: une petite erreur s'est
glissée dans l'Équation B.2.3 du livre)
et le volume entrant dans l'élément dxdydz est:
1  u  2u 
dQent  kiz  dz dxdydt k   2 dz dxdydt
 w  z z

(Attention: une 2ème erreur
s'est glissée dans l'Équation
B.2.4 du livre)
Le variation du volume est alors:
k  2u
dQsor  dQent  
dxdydzdt
2
 w z
Le tassement s causé par la variation de l'élément dxdydz est alors:
dQsor  dQent
k  2u
s

dzdt
2
dxdy
 w z
Pendant la séance dernière, on a montré que le tassement peut être aussi estimé par l'équation
suivante:
Pour notre cas, H0 = dz, e = de. On a donc:
 de
s
dz
1 e0
ajout d'un signe "-" pour que le
tassement soit positif.
Comparer les deux équations de
tassement, on obtient:
k  2u
de
dt 
2
 w z
1  e0
Notons la définition du coefficient
de compressibilité, av:
 de
av 
d '
Notons aussi que l'augmentation de la contrainte
effective est égale à la diminution de la pression
interstitielle excessive, on a:
u
dt
t
et
u
 u 
de  av d '  av   dt   av
dt
t
 t 
d '  du  
et finalement:
 k 1  e0   2u u

 2 
t
  w av  z
L'équation de la consolidation unidimensionnelle de Terzaghi:
 2u u
cv 2 
z
t
où
cv = coefficient de consolidation:
cv 
k 1 e0
 w av
Le reste du travail est de résoudre cette équation différentielle de l'ordre de 2. Une solution
est sous la forme de l'expansion des séries de Fourier
où Z un paramètre géométrique. T est un facteur de temps sans dimension.
z
Z
H dr
et
 k 1  e0  t
t
 2
T  cv 2  
H dr   w av  H dr
où t = temps
Hdr = longueur du chemin de drainage.
Rapport de consolidation:
e1  e
Uz 
e1  e2
où
e = indice de vide intermédiaire à un
moment donné t et à une
profondeur donnée z;
e1 = indice de vide au début de la
consolidation à la profondeur
donnée z;
e2 = indice de vide à la fin de
consolidation à la profondeur
donnée z.
La considération de la géométrie (principe de
similarité trigonométrique):
où ' et u sont les valeurs correspondant à e.
Remplacer u par l'Équation
(9.4), on obtient:
La figure 9.3 présente la
solution graphique de cette
équation.
Cette graphique permet de
déterminer le rapport de
consolidation pour un temps
quelconque et à n'importe quel
point.
Pourcentage de consolidation moyen, U ou Umoy
Casagrande (1938) et Taylor (1948) donnent les relations suivantes:
Le pourcentage de consolidation peut être défini comme suit:
où s(t) = tassement pour un temps t;
sc = tassement final de la consolidation à t = .
Contenu
• Estimation de la distribution des contraintes
–
–
–
–
Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
Solutions de Boussinesq
Solution de Newmark (1935)
Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
Détermination du coefficient de consolidation cv
• Méthode de Casagrande
• Méthode de Taylor
Méthode de Casagrande pour déterminer le coefficient de consolidation cv
Méthode de Taylor pour déterminer le coefficient de consolidation cv
Méthode de Taylor pour déterminer le coefficient de consolidation cv
À consulter le Tableau 9.3 pour des valeurs
typiques du coefficient de consolidation cv
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• Estimation de la distribution des contraintes
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Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
Solutions de Boussinesq
Solution de Newmark (1935)
Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
– Introduction
– Théorie de Terzaghi
– Détermination du coefficient de consolidation
– Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
Une fois que le coefficient de consolidation cv est déterminé, la
coefficient de perméabilité peut être estimée par l'équation suivante:
cv wav
k
1  e0
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• Estimation de la distribution des contraintes
–
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Méthode 2 pour 1 (appelée aussi Méthode simplifiée)
Solutions de Boussinesq
Solution de Newmark (1935)
Théorie de Westgaard
• Vitesse de consolidation
–
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Introduction
Théorie de Terzaghi
Détermination du coefficient de consolidation
Détermination du coefficient de perméabilité
– Évaluation de la compression secondaire
Indice de compression secondaire c
Indice de compression secondaire modifié c
En moyenne, c/cc  0.05; en aucun cas, il n'excède pas 0.1;
c/cc = 0.025 ~ 0.06 pour les sols inorganiques; c/cc est plus élevé
pour les sols organiques et les tourbes.