DAO_HAM_VA_VI_PHAN
Download
Report
Transcript DAO_HAM_VA_VI_PHAN
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN.
ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM
Cho y = f(x) xác định trong (a, b) x0, xét tỷ số
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 )
x
x x0
x
f ( x0 )
f ( x0 ) lim
x x0
x
( x 0)
Đạo hàm phải(trái)
tại x0:
f ( x0 )
f ( x0 ) lim
x
x x0
( x 0 )
Bảng công thức đạo hàm các hàm mới
arcsin x
1
1 x
1
arccos x
2
1 x
1
arctan x
2
1 x
1
arccot
2
1 x
2
cosh x sinh x
sinh
x
cosh x
tanh x
1
2
cosh x
1
coth x 2
sinh x
Cách tính đạo hàm
1. Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công
thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu,
tích, thương, hàm hợp).
2. Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng
định nghĩa.
3. Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính
bằng định nghĩa.
4. Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của
nhiều hàm: tính (lnf)’
Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra
1 / f ( x ) 2 x ln x
tại x = 1
3 / f (x) x x
2 / f (x) x 1
x2 ,
x 1
4 / f ( x)
2 x 1, x >1
5 / f x 1 e
tại x = 1
x2
1
6 / f x 1 x arcsin x, x0
2
2
Đạo hàm và liên tục
f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0.
VD: tìm các hằng số a, b để f có đạo hàm tại x0
(Nên xét tính liên tục tại x0 trước)
a sin x b cos x 1, x 0
f (x)
2 x 1, x 0
Tìm a, b để f có đạo hàm tại x = 0
ĐẠO HÀM CẤP CAO
Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’
có đạo hàm tại x0, đặt
f ( x0 ) f ( x )
x x0
f ( x ) f ( x )
Có thể viết:
Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo
hàm cấp (n – 1)
f
(n )
( n 1)
( x ) f
(x)
Công thức đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao
f g
(n )
f (n ) g (n )
của tổng hiệu:
Đạo hàm cấp cao
của tích:
f .g
(n )
n
k (k ) (n k )
C
nf g
k 0
(công thức Leibnitz)
Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
a
e
ax ( n )
x (n )
a
(n )
a ( 1) ( n 1) ax b
ax b
1
ax b
(n )
ln(ax b)
(n )
x
ln a
n
a e
n
n
n
(1) n !
(1)
n x
n 1
a
n
(ax b)
(n 1)!
n 1
a
n
(ax b)n
Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
sin(ax b)
(n )
cos(ax b)
(n )
a sin ax b n
2
n
a cos ax b n
2
n
Ví dụ
1. Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1:
2. Tìm đạo hàm cấp n của tại x = 0
3. Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1
f ( x)
2x 3
x x2
2
4. Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1.
f ( x) ( x x).e
2
2x
1
f ( x) arctan
x
1
f x 2 x 1 2
Đạo hàm hàm ẩn
Hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình
F ( x, y ) 0
()
gọi là hàm ẩn xác định bởi ()
Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt () theo x, giải
tìm y’ theo x và y.
Cách tìm y”(x): lấy đạo hàm pt () 2 lần theo x,
giải tìm y” theo x, y và y’. Thay y’ theo x, y.
Ví dụ
1. Tìm y’(x) với y xác định từ pt :
x2 y 2 1
2. Tìm y’(0) với y = y(x) xác định bởi 1 y x.2 0
y
3. Tìm đạo hàm tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác
xy
(
x
1)
e
xy 0
định bởi pt:
4. Tìm đạo hàm cấp 2 tại x = 1của hàm ẩn y = y(x)
xác định bởi pt:
y x y x 1 0
3
2
Đạo hàm hàm cho theo tham số
x x (t )
Cho các hàm số :
y y (t )
y ( x ) y (t ).t ( x )
y (t )
y ( x )
x (t )
( n 1)
y (t ) x(t ) y (t ) x(t )
y
(x)
y ( x )
(n )
t
3
y
(
x
)
x(t )
x (t )
Ví dụ
x (t ) t .et 1
1. Cho :
2
y
(
t
)
t
t
Tính y’(x) tại x = -1
2. Cho y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2, tính y”(t)
SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN
f khả vi tại xo nếu tồn tại một hằng số A sao cho
y f ( x ) f ( x0 ) A.( x x0 ) o ( x x0 )
hay f ( x0 x ) f ( x0 ) A.x o (x )
Khi đó đại lượng:
dy df ( x0 ) A.x
gọi là vi phân của f tại xo
Đạo hàm và vi phân
f khả vi tại xo f có đạo hàm tại xo
df ( x0 ) f ( x0 ).x
Cách viết thông thường:
df ( x0 ) f ( x0 ).dx
Cách viết khác của đạo hàm:
df ( x0 )
f ( x0 )
dx
Các phép tính vi phân
d (c.f ) cdf , c const
d f g df dg
d f .g gdf fdg
f gdf fdg
d
2
g
g
Vi phân hàm hợp
Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập):
dy f ( x)dx
Nếu x = x(t), y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi
y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập):
hay
dy y(t )dt
dy f ( x)dx với dx x t dt
(Công thức vi phân hàm hợp)
Dù x là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân
của y theo x không đổi.
Ví dụ
1. Cho f(x) = 3x2 – x, tìm số gia f và vi phân df
tại x = 1 với x =0.01
2. Tìm vi phân của f(x) = xex tại x = 0
3. Cho y = f(x) = sin(x2),
a) Tính dy theo dx tại x =
b) x(t) = arctan(t), tính dy theo dt tại t = 1
VI PHÂN CẤP CAO
1. Nếu x là biến độc lập:
dx = x : là hằng số
2
y
dx
d
y
dx
y
dx
dx
d y d dy
2
d y y dx
n
2. Nếu x = x(t):
( n)
n
dx = x’dt : là hàm số
d y d dy d ydx d ( y).dx yd dx
2
d 2 y ydx 2 yd 2 x
Ví dụ
Cho y = sin(x)
1. Tính d2y theo dx.
2. Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt.
Tổng kết.
1. Tính đạo hàm cho 3 loại hàm số (y = f(x), hàm
ẩn, tham số).
2. Nếu x là biến độc lập: tính vi phân là tính đạo
hàm
3. Nếu x = x(t) (là hàm số):
1. Vi phân cấp 1 : dy = y’(x)dx, sau đó khai triển
dx theo dt
2. Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x
cuối cùng phải đưa về dt2(chỉ tính đến cấp 2)