Transcript DAO_HAM_VA_VI_PHAN

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN.
ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM
Cho y = f(x) xác định trong (a, b)  x0, xét tỷ số
f ( x0 ) f ( x )  f ( x0 ) f ( x0  x )  f ( x0 )


x
x  x0
x
f ( x0 )
f ( x0 )  lim
x  x0
x
( x 0)
Đạo hàm phải(trái)
tại x0:
f ( x0 )
f ( x0 )  lim
x
x  x0
( x 0 )
Bảng công thức đạo hàm các hàm mới
 arcsin x  
1
1 x
1

 arccos x   
2
1 x
1

 arctan x  
2
1 x
1

 arccot   
2
1 x
2
 cosh x   sinh x

sinh
x

  cosh x
 tanh x  
1
2
cosh x
1

 coth x    2
sinh x
Cách tính đạo hàm
1. Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công
thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu,
tích, thương, hàm hợp).
2. Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng
định nghĩa.
3. Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính
bằng định nghĩa.
4. Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của
nhiều hàm: tính (lnf)’
Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra
1 / f ( x )  2 x ln x
tại x = 1
3 / f (x)  x x
2 / f (x)  x  1
 x2 ,
x 1
4 / f ( x)  
2 x  1, x >1
5 / f  x  1 e
tại x = 1
 x2
1
6 / f  x   1  x arcsin x, x0 
2
2
Đạo hàm và liên tục
f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0.
VD: tìm các hằng số a, b để f có đạo hàm tại x0
(Nên xét tính liên tục tại x0 trước)
a sin x  b cos x  1, x  0
f (x)  
2 x  1, x  0
Tìm a, b để f có đạo hàm tại x = 0
ĐẠO HÀM CẤP CAO
Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’
có đạo hàm tại x0, đặt
f ( x0 )   f ( x ) 
x  x0
f ( x )   f ( x ) 
Có thể viết:
Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo
hàm cấp (n – 1)
f
(n )

( n 1)


( x )  f
(x)
Công thức đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao
f  g 
(n )
 f (n )  g (n )
của tổng hiệu:
Đạo hàm cấp cao
của tích:
 f .g 
(n )
n

k (k ) (n k )
C
 nf g
k 0
(công thức Leibnitz)
Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
a 
e 
ax ( n )
x (n )
a
  (n )
 a  (  1) (  n  1)  ax  b 
 ax  b 


 1 


 ax  b 
(n )
 ln(ax  b)
(n )
x
 ln a 
n
a e
 n
n
n
 (1) n !
 (1)
n x
n 1
a
n
(ax  b)
(n  1)!
n 1
a
n
(ax  b)n
Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
sin(ax  b)
(n )
cos(ax  b)
(n )


 a sin  ax  b  n 
2

n


 a cos  ax  b  n 
2

n
Ví dụ
1. Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1:
2. Tìm đạo hàm cấp n của tại x = 0
3. Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1
f ( x) 
2x  3
x x2
2
4. Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1.
f ( x)  ( x  x).e
2
2x
1
f ( x)  arctan
x
1
f  x    2 x  1 2
Đạo hàm hàm ẩn
Hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình
F ( x, y )  0
()
gọi là hàm ẩn xác định bởi ()
Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt () theo x, giải
tìm y’ theo x và y.
Cách tìm y”(x): lấy đạo hàm pt () 2 lần theo x,
giải tìm y” theo x, y và y’. Thay y’ theo x, y.
Ví dụ
1. Tìm y’(x) với y xác định từ pt :
x2  y 2  1
2. Tìm y’(0) với y = y(x) xác định bởi 1  y  x.2  0
y
3. Tìm đạo hàm tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác
xy
(
x

1)
e
 xy  0
định bởi pt:
4. Tìm đạo hàm cấp 2 tại x = 1của hàm ẩn y = y(x)
xác định bởi pt:
y  x y  x 1  0
3
2
Đạo hàm hàm cho theo tham số
 x  x (t )
Cho các hàm số : 
 y  y (t )
y ( x )  y (t ).t ( x )
y (t )
y ( x ) 
x (t )



( n 1)
y (t ) x(t )  y (t ) x(t )
y
(x)
y ( x ) 
(n )
t
3
y
(
x
)

 x(t )
x (t )
Ví dụ
 x (t )  t .et  1
1. Cho : 
2
y
(
t
)

t
t

Tính y’(x) tại x = -1
2. Cho y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2, tính y”(t)
SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN
f khả vi tại xo nếu tồn tại một hằng số A sao cho
y  f ( x )  f ( x0 )  A.( x  x0 )  o ( x  x0 )
hay f ( x0  x )  f ( x0 )  A.x  o (x )
Khi đó đại lượng:
dy  df ( x0 )  A.x
gọi là vi phân của f tại xo
Đạo hàm và vi phân
f khả vi tại xo  f có đạo hàm tại xo
df ( x0 )  f ( x0 ).x
Cách viết thông thường:
df ( x0 )  f ( x0 ).dx
Cách viết khác của đạo hàm:
df ( x0 )
 f ( x0 )
dx
Các phép tính vi phân
d (c.f )  cdf , c  const
d  f  g   df  dg
d  f .g   gdf  fdg
 f  gdf  fdg
d  
2
g
g
 
Vi phân hàm hợp
Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập):
dy  f ( x)dx
Nếu x = x(t), y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi
 y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập):
hay
dy  y(t )dt
dy  f ( x)dx với dx  x  t  dt
(Công thức vi phân hàm hợp)
Dù x là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân
của y theo x không đổi.
Ví dụ
1. Cho f(x) = 3x2 – x, tìm số gia f và vi phân df
tại x = 1 với x =0.01
2. Tìm vi phân của f(x) = xex tại x = 0
3. Cho y = f(x) = sin(x2),
a) Tính dy theo dx tại x = 
b) x(t) = arctan(t), tính dy theo dt tại t = 1
VI PHÂN CẤP CAO
1. Nếu x là biến độc lập:
dx = x : là hằng số
2




y
dx

d
y
dx

y
dx
dx
d y  d  dy 

 

2
d y  y dx
n
2. Nếu x = x(t):
( n)
n
dx = x’dt : là hàm số
d y  d  dy   d  ydx   d ( y).dx  yd  dx 
2
d 2 y  ydx 2  yd 2 x
Ví dụ
Cho y = sin(x)
1. Tính d2y theo dx.
2. Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt.
Tổng kết.
1. Tính đạo hàm cho 3 loại hàm số (y = f(x), hàm
ẩn, tham số).
2. Nếu x là biến độc lập: tính vi phân là tính đạo
hàm
3. Nếu x = x(t) (là hàm số):
1. Vi phân cấp 1 : dy = y’(x)dx, sau đó khai triển
dx theo dt
2. Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x
cuối cùng phải đưa về dt2(chỉ tính đến cấp 2)