Transcript Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур
МАКСИМАЛЬНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
АСТРАКОВ СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ
КТИ ВТ СО РАН, Новосибирск
В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого нибудь максимума или минимума
Леонард Эйлер (1707-1783)
Содержание
Экстремальные пути и периметры.
Изопериметрические задачи и их обобщения.
Упаковки и покрытия.
2
1. Экстремальные пути и периметры
Теорема Фаньяно. Среди всех треугольников вписанных в данный остроугольный высот (ортотреугольник).
треугольник, наименьший периметр имеет треугольник с вершинами в основаниях Идея доказательства 3
1. Экстремальные пути и периметры
Теорема Биркгофа о «бильярде». Для произвольной гладкой замкнутой кривой на плоскости, ограничивающей выпуклую область, существует бильярд с k вершинами, где k – произвольное целое число больше 2.
Что?
Как?
Точки отражения Почему?
4
2. Изопериметрические задачи и их обобщения
Теорема. Из всех плоских фигур одинакового периметра наибольшей по площади является круг.
Яков Штейнер (1796-1863) считал ее «главной» теоремой геометрии.
1. Двойственная задача: Найти плоскую фигуру с наименьшим периметром при заданной площади.
2. Пространственный аналог теоремы.
3. Изопериметрические задачи с многоугольниками.
4. Задача Люилье и задача Крамера.
Крыжановский Д.А. Изопериметры. Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур. // Под ред. И.М. Яглома, М.: Едиториал УРСС, 2010.
5
2.1
Оптимальные отрезы Задача Дидоны. От прямой линии берега веревкой данной длины отгородить участок земли наибольшей площади.
Поэма Вергилия «Энеида», IX век до н.э.
Обобщение задачи Дидоны 6
2.2 Минималь
ные разрезы Задача о разрезании фигуры на k равных по площади части.
Случай k=2 7
2.2 Минималь
ные разрезы Задача о разрезании фигуры на k равных по площади части.
Случай k=3 Случай k>3. Примеры.
Надо подумать!
Покажу решение тем, кому интересно.
Задача о разрезании фигуры на части, имеющие заданное отношение площадей. (Непаханная целина) 8
3. Упаковки и покрытия
Упаковка. Насколько мала может быть площадь выпуклой области заданного или произвольного вида, внутри которой можно расположить все фигуры данного набора, чтобы они не пересекались между собой.
Покрытие. Насколько велика может быть площадь выпуклой области, которую можно полностью покрыть фигурами из заданного набора.
Упаковка кругов. Покрытие кругами.
d
S f S p
1 max
D
S f S p
2 min S f – суммарная площадь кругов S p1 – площадь области, содержащей круги S p2 – площадь покрываемой области 9
Покрытие односвязных ограниченные областей и фигуры на плоскости Покрытие специальных невыпуклых областей
10
Эффективные покрытия равностороннего треугольника несколькими кругами
D
3 3 1 , 814
R
2
a
3 0 , 291
a D
4 9 8 3 1 , 612
R
a
3 0 , 582
a
;
r
3
a
3 0 , 194
a
11
Регулярные покрытия равностороннего треугольника кругами одного радиуса
n=6 D
6 9 8 3 1 , 612 ;
D
6
D
4
Общий случай n
D n D
k
(
k
1 ) 2 3 2 3 2 3 3
k
1
k
1 , 209 12
Эффективные покрытия квадрата
α α D
1
D
4 ...
D k
2 2 1 , 57
D
5 3 8 1 , 1775 arcsin 1 5 26 , 6 0 ;
R
a
4 5 0 , 557
a
;
r
4
a
2 0 , 177
a
13
Внешнее покрытие областей и фигур
α D
2 , 741
D D
min opt ( 1 2 sin cos 2 2 3 4 ) 2 , 355 26 , 6 0
D
4
Инвариантный класс покрытий
14
D
3
Внешний покрытие круговой области
Утверждение
. При внешнем покрытии диска тремя различными кругами минимальная плотность равна 3.
Лемма
. Покрытие границы гарантирует покрытие всей области.
Вопрос: Можно ли улучшить результат большим числом кругов?
Ответ: Нет. Но существует альтернативный вариант!
15
Внешний мониторинг круговой области
D
3 r 2 r 1 α
îïò
arctg 1 2 .
R
r
1
R
cos ,
r
2
D
( ) 2 1 cos 2 ( 1
tg
) 2
R
R
tg
.
4 (
tg
2
tg
1 ).
min
D
3 .
Альтернативный вариант
Задача об упаковке двух одинаковых кругов в эллипс Найти оптимальные параметры эллипса, содержащего два равных круга заданного радиуса, имеющего минимальную площадь.
Желаю успеха! Вы будете первыми, кто решит эту задачу!
Научный подход – это стремление к простоте понимания сути вещей и явлений
Спасибо за внимание!
18