Transcript Розанов Н.Н DopGlavMatFiz4

Дополнительные главы
математической физики-4
Линейные уравнения
математической физики-3
Николай Николаевич Розанов
НИУ ИТМО, 2012
Предполагается известным:
Ряды Фурье для функции f(x) на интервале l  x  l
Как связаны
коэффициенты
n x
i
a0  
n x
n x  
l
f ( x)     an cos
 bn sin

c
e

n

2 n 1 
l
l  n 1
an , bn , cn ?
n x
i
1
n x
1
n x
1
an   f ( x) cos
dx, bn   f ( x) sin
dx, cn   f ( x)e l dx.
l l
l
l l
l
2l l
l
1
Скалярное произведение функций (u, v)   u( x)v( x)dx.
l l
l
l
l
Полная ортонормированная система функций (поясняется далее)
1 1
x 1
x 1
2 x 1
2 x 1
3 x 1
3 x
, cos
, sin
, cos
, sin
, cos
, sin
,...
l
l
l
l
l
l
2l l
l
l
l
l
l

Интеграл Фурье для функции f(x) на бесконечном интервале,
1
F ( y) 
2



f ( x)eiyx dx,
1
f ( x) 
2



 | f ( x) | dx  

F ( y)eiyx dy.
Ортонормированные системы функций-1
Рассматриваем функции от x  ( x1 ,..., xn ), для которых в области G
2
|
f
(
x
)
|
dx  

G
Скалярное произведение двух функций
( f , g )   f (x) g * ( x) dx [иногда с весом : ( f , g )    ( x) f ( x) g * ( x) dx]
G
Норма
G
2
|
f
(
x
)
|
dx  0

|| f || ( f , f ) 
G
*
( f , g )  ( g , f ) , ( f   g , h)   ( f , h)   ( g , h),
| ( f , g ) |  || f || || g ||, || f  g ||  || f ||  || g || .
Свойства
( ,  
вещественные)
Доказательство: В первой строке – непосредственно из определения, во второй:
|| f   g ||2  0 || f ||2 2 ( f , g )   2 || g ||2  0
2
( f , g)  ( f , g) 
2
 2 || g ||2 2 || g ||


||
f
||

|| g ||  || g || 
2

( f , g) 
2
  || g || 

||
f
||
|| g || 

2
при любом вещ. 
2
 ( f , g) 

 
 || g || 
 ( f , g) 
2


0

||
f
||

 || g || 
2
 ( f , g) 

  0 || f || || g ||| ( f , g ) | .
 || g || 
Ортонормированные системы функций-2
Система функций {k }, k  1, 2,... называется ортонормированной, если (k , i )   ki
 ki  0 (k  i), ii  1
- символ Кронекера
Примеры: тригонометрические функции (см. ряды Фурье), функции
1 ikx
k ( x) 
e , k  0, 1, 2,..., G  любой интервал длиной 2
2
Система функций {k }, k  1, 2,... называется линейно независимой, если для любого
конечного ненулевого набора чисел ck невозможно тождество  ckk ( x)  0.
k
Любая ортонормальная система состоит из линейно независимых функций, так как
для них из
ckk ( x)  0 следует 0  ( ckk , i )   ck (k , i )   ck k ,i  ci .

k
k
k
k
Процесс ортогонализации Шмидта: преобразование системы линейно независимых
функций  1 , 2 ,... в ортонормальную систему 1 , 2 ,...
1
 2  ( 2 , 1 )1
1 
, 2 
,...,
||  1 ||
||  2  ( 2 , 1 )1 ||
 k  ( k , k 1 )k 1  ...  ( k , 1 )1
k 
,...
|| k  ( k , k 1 )k 1  ...  ( k , 1 )1 ||
Задача: ортогонализировать
на интервале (-1,1) систему
2
функций {1, x, x ,...}
(полиномы Лежандра)
Линейные операторы L
L( f   g )   Lf   Lg ,
Примеры:
Интегральный оператор
f , g  функции,  ,   комплексные числа
Функция u интегрируема и удовлетворяет гран. условиям
Kf   K ( x, y ) f ( y ) dy , K ( x, y )  ядро интегрального оператора
dn f
Lf   an ( x) n
dx
n 0
m
G
Дифференциальный оператор порядка m
Неоднородное линейное уравнение
u – искомая функция, интегрируема и удовлетворяет гран. условиям
F – заданная функция (свободный член)
Lu  F
Однородное уравнение
Lu  0
всегда имеет решение u
=0
Всякое решение линейного неоднородного уравнения представляется в виде суммы
частного решения этого уравнения и общего решения линейного однородного
уравнения.
Для того, чтобы решение неоднородного линейного уравнения было единственным,
необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение имело
только нулевое решение.
Линейные операторы-2
Lu  0
Пусть однородное уравнение
имеет только нулевое решение u
Тогда для любой функции F (интегрируемой) неоднородное уравнение
имеет единственное решение
= 0.
Lu  F
u  L1F , L1  обратный оператор к оператору L, тоже линеен
LL1F  F , L1Lu  u  LL1  L1L  I  единичный оператор
Lu   u
Комплексное число , при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется
собственным значением, а соответствующее решение – собственной функцией.
При одном и том же  возможны r линейно независимых решений (r – кратность). Тогда
общее решение уравнения
Lu  u  f
представляется суперпозицией частного решения u0 и указанных линейно независимых
r
решений:
u  u0   ck uk , ck  const.
k 1
Эрмитовы (самосопряженные) операторы
(Lf , g )  ( f , Lg ) для любых функций f , g (интегрируемых...)
Для того, чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно,
чтобы квадратичная форма (Lf,f) принимала только вещественные значения:
(Lf , f )  ( f , Lf )  ( f , Lf )
*
( f , g )  ( g, f )*
Линейный оператор L называется положительным, если квадратичная форма (Lf,f)
принимает только неотрицательные значения. Положительный оператор эрмитов.
Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения
вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны. Доказательство:
веществ. (неотриц.)
1) Lu0  0u0 , || u0 || 1  0  0 || u0 ||2  0 (u0 , u0 )  (0u0 , u0 )  (Lu0 , u0 )
2) Lu1  1u1 , Lu2  2u2 , 1  2  1 (u1 , u2 )  (1u1 , u2 )  (Lu1 , u2 ) 
 (u1 , Lu2 )  (u1 , 2u2 )  2 (u1 , u2 )  1 (u1 , u2 )  2 (u1 , u2 )  (u1 , u2 )  0
Luk  k uk
Систему собственных функций {uk }эрмитова оператора L
можно выбрать ортонормированной:
(uk , ui )   ki
Пример
d2
L  2 , G : (1  x  1), u(1)  0
dx
1. Существует ли обратный оператор?
2. Является ли оператор L эрмитовым (положительным)?
3. Найти собственные значения и собственные функции.
Гипергеометрическое уравнение (Гаусса)
  (1     ) z

w 
w 
w0
z ( z  1)
z ( z  1)
Особые точки (регулярные):
z  0, z  1, z  
Регулярное решение в окрестности особой точки z
=0
(  0, 1, 2,...)
z ( z  1) w  [  (1     ) z ]w   w  0
w1  1  c1 z  c2 z 2  ...

 (  1)  (   1) 2
z
z  ...
1!
2! (  1)
 (  1)...(  n  1)  (   1)...(   n  1) n

z  ...
n ! (  1)...(  n  1)
w1  F ( ,  ,  ; z )  1 
Так как ближайшая к 0 особая точка z = 1,
при |z| < 1 гипергеометрический ряд сходится.
Частный случай:
2
1
F (1,  ,  ; z )  1  z  z  ...  z n  ... 
1 z
Задание: найти
F(-n,, ,z)
Полиномы Лежандра

 (  1)  (   1) 2
F ( ,  ,  ; z )  1 
z
z  ...
1!
2! (  1)
 (  1)...(  n  1)  (   1)...(   n  1) n

z  ...
n ! (  1)...(  n  1)
Гипергеометрический ряд обрывается (сводится к полиному),
если  или  равны целому неположительному числу.
Рассмотрим случай:  = k +1,  = -k,  = 1, k = 0,1,2,…
k  0 : F (1, 0,1; z )  1,
Получим полиномы степени k:
z ( z  1) wk  (1  2 z ) wk  k (k  1) wk  0, k  1: F (2, 1,1; z )  1  2 z, ...
1 x
1
d
Замена z 
, dz   dx
[ z ( z  1) wk ]  k (k  1) wk  0,
2
2
dz
d 
2 dPk ( x ) 
(1  x )
 k (k  1) Pk ( x)  0


dx 
dx 
1 x 

Pk ( x)  F  k  1, k ,1;

2 

Конечные особые точки x  1
- полиномы Лежандра (k = 0,1,2,…)
Полиномы Лежандра-2
Pk (1)  F  k  1, k ,1;0   1
P0 ( x)  1, P1 ( x)  x,
1
P2 ( x)  (3 x 2  1),...
2
1 d k [( x 2  1) k ]
Pk ( x)  k
2 k!
dx k
d 
2 dPk ( x ) 
(1  x )
 k (k  1) Pk ( x)  0


dx 
dx 
d 
2 du 
(1  x )    u  0

dx 
dx 
  k (k  1), uk ( x)  Pk ( x)
1
 P ( x) P ( x) dx  0
m
n
1
(m  n)
- ортогональность
1
2
P
(
x
)
dx

1
2n  1
2
n
-нормировка
0,5
1,0
Вторые решения
диф. уравнения сингулярны
Разложение по полиномам Лежандра
f ( x)  a0  a1 P1 ( x)  a2 P2 ( x)  ...
2n  1
an 
f ( x)Pn ( x) dx

2 1
1
Задача Штурма-Лиувилля
[ p( x) y]  q( x) y   y (*) или  y  q( x) y   y (**)
A1 y(a)  B1 y(a)  0, A2 y(b)  B2 y(b)  0
a  x  b, A1,2 , B1,2  const (веществ.)
(эрмитовы операторы)
 – собственное значение, y – собственная функция
Существует возрастающая последовательность действительных
собственных значений 0 , 1 ,... , стремящаяся к бесконечности, причем
каждому n соответствует определенная с точностью до постоянного
множителя собственная функция n , имеющая n нулей на интервале
a < x < b.
Функции n образуют на [a,b] полную ортогональную (с весом p(x) для (*))
систему функций. При возрастании n собственные значения и функции для
уравнения (**) стремятся к таковым для уравнения  y   y при тех
же граничных условиях.
Доказательства основываются на теории интегральных уравнений.
Классификация квазилинейных
дифференциальных уравнений в
частных производных второго порядка
(в точке)

 2u
u
u 
aij ( x1 ,..., xn )
 F  x1 ,..., xn , u,
,...,
0

xi x j
x1
xn 
i , j 1

n
Квазилинейность = линейность относительно
всех старших производных.
Произвольная неособенная ( D  0
в некоторой окрестности точки x0  x10 ,..., xn0 )
замена независимых переменных:
( x1 ,..., xn )  ( y1 ,..., yn )
yl  yl ( x1 ,..., xn ), l  1, 2,..., n
D – якобиан, или функциональный определитель
y1
x1
D  ...
yn
xn
yn
...
x1
...
...
yn
...
xn
Классификация-2
При D  0
в некоторой окрестности точки x0  x10 ,..., xn0 преобразование
переменных взаимно-однозначно. Переменные x можно выразить через y: x = x(y).
u ( x( y ))  u ( y ), u ( y ( x))  u ( x)
n
u
u yl

,
xi l 1 yl xi
 2u


xi x j x j
 u

 xi



n
 2u yl yk
u  2 yl


l , k 1 yl yk xi x j
l 1 yl xi x j
n

 2u
u
u 
a
(
x
,...,
x
)

F
x
,...,
x
,
u
,
,...,
 1
0

ij
1
n
n
xi x j
x1
xn 
i , j 1

n

 2u
u
u 
a
(
y
,...,
y
)

F
y
,...,
y
,
u
,
,...,
 1
0

lk
1
n
n
yl yk
y1
yn 
l , k 1

n
y y
alk   aij ( x1 ,..., xn ) l k
xi x j
i , j 1
n
Исходное уравнение
преобразуется к виду
где
Классификация-3
Из линейной алгебры: Всегда существует неособенное (якобиан D  0)
преобразование, при котором квадратичная относительно первых производных форма
n
alk   aij ( x1 ,..., xn )
i , j 1
yl yk
xi x j
принимает канонический вид

 2u m  2u
u
u 
  2    y1 ,..., yn , u, y1 ,..., yn ,
,...,
  0,

2
y1
yn 
l 1 yl
l  r 1 yl

r
причем целые неотрицательные числа m, n, m  n не зависят от вида преобразования.
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
Эллиптический тип
m = n, все слагаемые одного знака
Гиперболический тип
m = n, есть слагаемые разных знаков
Параболический тип
m<n
Классификация-4
Эта классификация, вообще говоря, зависит от точки
Например, уравнение Трикоми
 2u  2u
y 2  2 0
x y
при y < 0 – гиперболического типа, а при y > 0 – эллиптического типа.
Примеры:
Уравнение Лапласа – эллиптического типа
 2u
nu  0,  nu   2
m1 xm
Волновое уравнение – гиперболического типа  2u
  nu  0
2
t
Уравнение теплопроводности – параболического типа u
  nu  0
t
n
Вопрос: у какому типу принадлежит уравнение Гельмгольца:
2

u
 nu  k 2u  0,  nu   2
m1 xm
n
Характеристики-1. Характеристики
для волнового уравнения
 2u 2
 c  3u  0
2
t
Волновое уравнение описывает, в частности, распространение фронта волны (перед
фронтом поле отсутствует, u = 0 и u / t  0, а за фронтом имеются ненулевые
значения). Поэтому на фронте волны значения поля терпят разрыв.
С другой стороны, задание u и u / t на поверхности общего вида (которая может
двигаться в пространстве) определяет, в силу волнового уравнения, все высшие
временные производные на этой поверхности. Тем самым определяется и значение поля
на дифференциально близкой поверхности, а скачки поля оказываются невозможными.
Этот вывод нарушается, только если данная поверхность (ее форма и движение) таковы,
что значения высших производных не определяются значениями поля на поверхности.
Тогда это характеристическая поверхность, или характеристика. Поэтому фронт
волны должен быть характеристикой волнового уравнения.
Задание поверхности:  ( x, y, z, t )  0, или
t  f ( x, y, z )  ( x, y, z, t )  t  f ( x, y, z).
В частности, при f = 0 это отвечает стандартному начальному условию при t = 0.
Математически (см. слайд Характеристики-3) уравнение для характеристик волнового
уравнения, или уравнение распространения фронта волны имеет вид
2
  
1   
2
2
.
  ( grad  )  0, где ( grad  )   
2 
c  t 
i 1  xi 
2
3
  
1   
2
2

(
grad

)

0,
где
(
grad

)






c 2  t 
i 1  xi 
2
Характеристики-2.
3
2
Уравнение распространения фронта э.-м. волны – одно из наиболее общих уравнений
физики, в том числе имеет принципиальное значение в специальной и общей теории
относительности (так как c – предельная скорость распространения любых сигналов).
Частные решения этого уравнения
фронт плоской волны
фронт сферической волны
c(t  t0 )   x   y   z,  ,  ,   const ,  2   2   2  1
c(t  t0 )   ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2
Общая схема построения (движущегося) фронта волны – через лучи,
распространяющиеся прямолинейно со скоростью с [В.А. Фок. Теория пространства,
времени и тяготения, М., Физматлит].
Пример: резкое включение точечного источника света в момент времени t  t0 ,
поверхность границы засвеченной области – сфера с центром в точке расположения
источника и радиусом c(t  t0 ).
Задание: два точечных источника, расположенных на расстоянии L, включаются с
временной задержкой t. Построить фронт э.-м. волны при различных моментах
времени t и различных соотношениях параметров.
Характеристики-3
(Гипер-)поверхность
(x)  0, x  ( x1,..., xn ),
называется характеристикой уравнения
| grad (x) | 0

 2u
u
u 
aij ( x1 ,..., xn )
 F  x1 ,..., xn , u,
,...,
0

xi x j
x1
xn 
i , j 1

n
 
Если
aij ( x1 ,..., xn )
0

xi x j
i , j 1
n
Знание характеристик позволяет упростить вид уравнения и его решение.
Примеры:
Волновое уравнение
2
2
2
n
  
u 2
  
2
 c  nu  0  
 0
  c 
2
t
 t 
i 1  xi 
Имеется и решение
в виде семейства
c 2 (t  t0 )2  | x  x0 |2  0  характеристический конус
касательных
c(t  t0 ) | x  x0 | будущий световой конус
плоскостей к этим
конусам (плоские волны)c(t  t ) | x  x |  прошедший световой конус
0
0
Характеристики-4
Уравнения Лапласа (Пуассона)
2
  

 0

i 1  xi 
n
nu  0 (nu  f  0)
 не зависит ни от одной координаты.
Противоречит определению характеристик.
Характеристик нет.
Уравнение теплопроводности – вырожденного типа.
 зависит только от t.
Можно считать характеристиками семейство
t = const (стандартное начальное условие).
u
 a 2  nu  f
t
Постановка основных краевых задач для
линейных диф. уравнений 2-го порядка
• Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов во всем
(бесконечном) пространстве: задаются начальные условия во всем пространстве,
граничные условия ставятся на бесконечности.
• Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов в
конечной области: задаются начальные условия во всей области, граничные
условия ставятся на границе области.
• Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия
на границе области, начальные условия отсутствуют.
Пример другого типа краевых задач –
задача Гурса для уравнения гиперболического типа (краевое условие на двух
пересекающихся характеристиках) 0  x  x0 , 0  y  y0
y
 2u
u
u
 a  b  cu  f ( x, y )
xy
x
y
Характеристики : x  const , y  const
u y 0,0 x x  1 ( x), u x 0,0 y  y  1 ( y )
0
0
y0
2
0
1
x0
x
Устойчивость решений
Волновое уравнение
 2u 2
 c  3u  0
2
t
Для монохроматического излучения с частотой  – уравнение Гельмгольца
3u  k 2u  0, k   / c
Выделим ось z в качестве основного направления распространения излучения
2
2
 2u

u

u
2
 u  k u  0,  u  2  2
2
z
x y
Можно ли решать задачу Коши (с начальными условиями), рассматривая z как
эволюционную переменную? То есть, можно ли, задав u и u / z при z  z0 ,
найти решение при других значениях z ?
Устойчивость-2
Уравнение Гельмгольца
2
2
 2u

u

u
2
 u  k u  0,  u  2  2
2
z
x y
имеет решение в виде плоской волны (невозмущенное решение):
u  u0  Ae
ikz
«Начальные условия» при z = 0:
u0 z 0  A,  u / z z 0  ikA
Возмущенное решение можно разложить в интеграл Фурье по поперечным
координатам:
u1  a( z)e
Тогда
 i ( x x  y y )
, u1   2u1 ,  2   x2   y2 , 0   2  
d 2a
2
2
2
2
 qz

q
a

0,
q



k

a
(
z
)

a
e

dz 2
Имеются возмущения с поперечной пространственной частотой q > 0, амплитуда которых
экспоненциально нарастает при увеличении z. Формально это означает неустойчивость.
Но физически неустойчивости нет:
Корректность постановки задач мат. физики
Необходимое условие корректности постановки задач мат. физики:
Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных
условий, коэффициентов уравнения и свободного члена). Корректно поставленные
задачи для линейных уравнений мат. физики имеют единственное решение.
Проверим, корректно ли поставлена задача Коши для уравнения Гельмгольца
2
2
 2u

u

u
u
2
 u  k u  0, u  2  2 , u z 0  u1 ( x, y),
2
z
x y
z
При u1  0, u2  0 имеется тривиальное решение
Пусть u1  0, u2 
1
u  0.
 u2 ( x, y)
z 0
sin( x). Тогда задача имеет решение

sh qz
u
u( x, z )  2 sin  x, q 2   2  k 2 , u( x,0)  0, limq
q
z
z 0
1
 limq sin  x  0
q
«Начальные условия» удовлетворяются. Но решение ненулевое:
lim q 
sh qz
sin  x  0
2
q
Тем самым, задача поставлена некорректно.
Пример Адамара для уравнения Лапласа – задача Коши ставится некорректно.
Корректная постановка задачи
для уравнения Гельмгольца
3u  k u  0
2
Условия излучения Зоммерфельда, задача дифракции плоской волны
eikr
Рассеянное излучение на бесконечности
должно иметь вид уходящих сферических
волн
u  eikr  v(r)
При r   v ~ r 1 ,
 v

limr    ikv   0
 r

(сходящиеся сферические волны в рассеянном излучении отсутствуют).
Сферически симметричные решения для волнового
уравнения и уравнения теплопроводности
Сферическая система координат, r – радиус, R – радиус сферы
Волновое ур-ние
 2u
2

a
u
2
t
Уравнение
начальные условия
при t = 0
u t 0  1 (r ),
u
r
граничные условия
при r = R
Разделение переменных
u
 2 ( r )
t t 0
0
r R
Ур-ние теплопроводности
v
 a 2 u
t
v t 0  (r)
 v


hv
0


 r
 r R
u, v  T (t )U (r )
( A cos t  B sin t)U (r ) (  0)
u
( A  Bt )U (r )
(  0)

v  Ae
U  k 2U  0, k   / a
d 2U 2 dU
2


k
U  0, 0  r  R
2
dr
r dr
 2t
U (r )
Сферически симметричные решения-2
d 2U 2 dU
2


k
U  0, 0  r  R
2
dr
r dr
Преобразованием неизвестной функции устраняем член с первой производной
U (r)  R(r) / r, R  k 2 R  0, R(r )  C1 cos kr  C2 sin kr
cos kr
sin kr
U (r )  C1
 C2
, C1  0 (конечность U при r  0)
r
r
sin kr
 2t sin kr
u  ( A cos t  B sin t )
, v  Ae
r
r
Постоянная k и, следовательно,  = ka, определяются из граничных условий
tg kR  kR (волновое ур  ние) tg kR 
kR
( ур  ние теплопроводности )
1  hR
k1 , k2 , k3 ,...  0
Сферически симметричные решения-3
Уравнение теплопроводности
Решение ур-ния теплопроводности, удовлетворяющее граничным условиям:

v(r , t )   an e
n 1
 a 2 kn2t
sin kn r
r

Начальное условие
r (r )   an sin kn r
n 1
Функции sin kn r ортогональны на промежутке (0,R) (как и в задаче о струне)
R
R
0
0
an   r (r )sin kn r dr /  sin 2 kn2r dr
Сферически симметричные решения-4
Волновое уравнение
Решение ур-ния, удовлетворяющее граничным условиям:

sin kn r
u (r , t )  a0  b0t   (an cos(kn at )  bn sin(kn at ))
r
n 1
Начальные условия


n 1
n 1
r1 (r )  a0 r   an sin kn r , r2 (r )  b0 r   knbn sin kn r
Ортогональность функций
R
и r на промежутке (0,R)
R
R
3
2
2
a0   r 1 (r ) dr /  r dr  3  r 21 (r ) dr ,
R 0
0
0
R
R
an   r1 (r )sin kn r dr /  sin 2 kn2r dr
0
0
Аналогично
bn  ...
Сферические функции и функции Лежандра
 2U  2U  2U
Уравнение Лапласа в декартовых координатах U 
 2  2 0
2
y
z
Ищем решения в виде однородных полиномов по x,y,z. x
Полином степени n
= 0:
n = 1 : U1  ax  by  cz
U0  a  const
(одно решение)
(три линейно-независимых решения)
n = 2 : U 2  ax 2  by 2  cz 2  dxy  eyz  fzx
U 2  2(a  b  c)  0
U 2  a( x 2  z 2 )  b( y 2  z 2 )  dxy  eyz  fzx
(5 лин.-незав. решений)
n = 3 : U 3  ax3  by 3  cz 3  dx 2 y  ex 2 z 
 fy 2 x  gy 2 z  hz 2 x  kz 2 y  lxyz
U 3  6(ax  by  cz )  2dy  2ez  2 fx  2 gz  2hx  2ky  0
3a  f  h  0, 3b  d  k  0, 3c  e  g  0
1  
1 
1 


U 3  d  x 2 y  y 3   e  x 2 z  z 3   f  xy 2  x 3  
3  
3 
3 


1  
1 
1 


 g  y 2 z  z 3   h  z 2 x  x 3   k  z 2 y  y 3   lxyz
3  
3 
3 


(2n + 1) линейнонезависимых однородных
полиномов степени n,
удовлетворяющих
уравнению Лапласа
(7 лин.-незав. решений)
Сферические функции и функции Лежандра-2
Сферические координаты
x  r sin  cos  ,
y  r sin  sin  , z  r cos 
Однородный гармонический (удовлетворяет ур-нию Лапласа) полином степени n
Un ( x, y, z)  r nYn ( , )
- объемная сферическая функция
Yn ( ,  )
- сферическая функция порядка n
Вспомогательный интеграл
f (t , t )

U ( x, y, z) 
 f ( z  ix cos t  iy sin t, t ) dt

- произвольная функция своих аргументов (дифференцируемая дважды)
U ( x, y, z) 

2
2
(1

cos
t

sin
t ) f ( z  ix cos t  iy sin t , t ) dt  0

f    2 f (t , t ) / t 2
Выбираем f в виде
f (t , t )  t n cos mt , m  0,1, 2,..., n
f (t , t )  t n sin mt , m  1, 2,..., n
Сферические функции и функции Лежандра-3
В первом из двух интегралов
[ f (t , t )  t n cos mt ]

n
[cos


i
sin

cos(
t


)]
cos mt dt 


 

 
(cos   i sin  cos ]n cos m(  ) dt 
 


n
(cos


i
sin

cos

)
cos m(  ) dt 



 cos(m )  (cos   i sin  cos ) n cos(m ) dt (m  0,1, 2,..., n)


Аналогично во втором интеграле
(*)
[ f (t , t )  t n sin mt ]
n
[cos


i
sin

cos(
t


)]
sin mt dt 



 sin(m )  (cos   i sin  cos )n cos(m ) dt

(m  1, 2,..., n) (**)
Все построенные (2n + 1)
функции линейно независимы
и ортогональны на интервале
(-, )
Сферические функции и функции Лежандра-4
Далее мы выразим (*) и (**) через введенные ранее полиномы Лежандра,
удовлетворяющие уравнению
1 d n [( x 2  1) n ]
Pn ( x)  n
2 n!
dx n
d 
2 dPn ( x) 
(1

x
)
 n(n  1) Pn ( x)  0


dx 
dx 
Присоединенные полиномы Лежандра
Pn,m ( x)  (1  x )
2 m /2
d m Pn ( x) (1  x 2 )m/2 d n  m [( x 2  1)n ]

, Pn,0 ( x)  Pn ( x)
m
n
nm
dx
2 n!
dx
Они также выражаются через гипергеометрическую функцию и удовлетворяют
уравнению

d 
m2 
2 dPn , m ( x) 
(1  x )
  n(n  1) 
P ( x)  0


2  n,m
dx 
dx  
1 x 
x  cos , 0     , (1  x2 )m/2  sin m   0
Сферические функции и функции Лежандра-5
1 d n [( x 2  1) n ]
Pn ( x)  n
2 n!
dx n
Выведем другие выражения для функций Лежандра.
По теореме Коши (компл. ф-ции)
2
n
1
(
z

1)
( x2  1)n 
dz

2 i C z  x
Дифференцируем по х n раз
(Точка z = x – внутри контура С)
( z 2  1)n
Pn ( x)  n1 
dz
n 1
2  i C ( z  x)
1
Выбираем С: окружность с центром z = x радиусом
2
1/2 i
| x 2  1|1/2
z  x  ( x 1) e ,      

n
1 [ x  1  ( x 2  1)1/2 ei ][ x  1  ( x 2  1)1/2 ei ] 
Pn ( x) 

 d 
2
1/2 i

2  
2( x  1) e

1

2

 x  ( x
2
 1) cos  d 
1/2
n

При замене x  cos  переходит в (*).

x  (x



1
0
2
 1) cos  d
1/2
n
Сферические функции и функции Лежандра-6
Аналогично
(1  x 2 ) m /2 (n  1)(n  2)...(n  m) ( z 2  1) n
Pn ,m ( x) 
dz 
n 1
n  m 1

2 i
( z  x)
C

n  im
m ( n  1)( n  2)...( n  m)
2
1/2
 i
x  ( x  1) cos  e d 


2


n
m ( n  1)( n  2)...( n  m)
2
1/2
 i
x  ( x  1) cos  cos m d .


2

При замене x  cos  переходит в (**).
Сферические функции и функции Лежандра-7
Общий вид сферической функции порядка n:
n
Yn ( ,  )  a0 Pn (cos  )   (an cos m  bn sin m )Pn,m (cos  )
m 1
или
Yn ( ,  ) 
n

m  n
Функции в правых частях линейно
независимы и ортогональны.
Нормировка
cn eim Pn ,m (cos  )
2 (n  m)!
1[Pn,m ( x)] dx  2n  1 (n  m)!
d  sin  d d
1
2
При интегрировании по
поверхности сферы
единичного радиуса
2
[
P
(cos

)]
d 
n

S
4
,
(2n  1)
2
2
[
P
(cos

)]
cos
m d 
 n,m
2 (n  m)!
, m  1, 2,..., n,
(2n  1) (n  m)!
2
2
[
P
(cos

)]
sin
m d 
n
,
m

2 (n  m)!
, m  1, 2,..., n.
(2n  1) ( n  m)!
S
S
Пользуясь этими
соотношениями, можно
разлагать по
сферическим функциям
«произвольные»
функции на сфере
Разложение по сферическим функциям

f ( ,  )  a0(0)   a0( n ) Pn (cos  ) 
n 1
n
 (am( n ) cos m  bm( n ) sin m )Pn ,m (cos  )
m 1
(n)
m
(2n  1)(n  m)!

f ( ,  ) Pn ,m (cos  ) cos(m ) d ,

2 m (n  m)! S
(n)
m
(2n  1)(n  m)!

f ( ,  ) Pn ,m (cos  ) sin(m ) d ,

2 m (n  m)! S
a
b
 m  1   m,0 , Pn ,0 ( x)  Pn ( x).
Функция Грина G
Применяется для решения неоднородных уравнений
с линейным оператором L
Lu  f (x)
LG(x, s)   (x  s)
Иногда определение с другим знаком
LG(x, s)   (x  s)
Обобщенное решение ( – дельта-функция Дирака).
Это означает, что для «любой» функции ϕ
(Lu,  )  ( f ,  )
Функция Грина G, вообще говоря, определяется не однозначно,
а с точностью до слагаемого, являющегося произвольным
решением однородного уравнения
Lu0  0, G  G  u0
Физический смысл функции Грина (функция источника, функция распространения, …)
Функция Грина и система
собственных функций оператора
Полнота системы функций
по собственным функциям
 n (x) :
«Любую» функцию можно разложить в ряд
 (x)   an  n (x), an    (x)*n (x) dx
n
 (x)    n (x)   (x)*n (x) dx    (x)  n (x) *n ( x) dx
n
n
 (x)    (x) (x  x) dx    n (x) *n (x)   ( x  x)
n
G(x, x)  
n
1
n
 n (x)*n (x)
- критерий полноты системы
Проверяется при воздействии
оператора L на обе части соотношения
,
Функция Грина для задачи Штурма –
Лиувилля (обыкновенные диф. уравнения)
Оператор Штурма – Лиувилля
на интервале 0 < x < l
Оператор граничных условий
Считаем, что однородная задача (при f = 0)
имеет только тривиальное решение. Тогда
Постановка задачи:
В точке x = s функция g непрерывна, а производная
g
g
1
( s0 , s)  ( s0 , s) 
x
x
p( s)
Lg ( x, s)   ( x  s) 
s 
 dx ...
s
Функция Грина, задача Штурма – Лиувилля, пример
;
.
(*)
Коэффициенты А и В не зависят от x, но могут зависеть от s
и различаться при x < s и x > s. Граничные условия:
Непрерывность
Скачок производной
Задание: записать решение
неоднородного уравнения
(*) с указанными
граничными условиями
Функция Грина для
оператора Лапласа
Уравнение Пуассона
 (r)  4 (r)
ρ - плотность эл. заряда
ϕ – электростатич. потенциал
LG(r, r)  G(r, r)   (r  r)
В неограниченной области (границы на конечном расстоянии отсутствуют)
1
G (r, r) 
| r  r |
- закон Кулона для
электростатического потенциала
Выражение для электрического потенциала
через электрическую плотность заряда
 (r )  
 (r)
| r  r |
dr
Функция Грина для оператора
теплопроводности
Уравнение теплопроводности
u
 a 2  nu  f (x, t )
t
G
2


LG (x, t , x , t ) 
 a  nG   (x  x) (t  t )
t
В неограниченной области (границы на конечном расстоянии отсутствуют)
 | x  x |2 
 (t  t )
G(x, t , x, t ) 
exp   2

n
[2a  (t  t )]
 4a (t  t ) 
0 x  0
 ( x)  
1 x  0
Мы получали подобную формулу в одномерном случае (n = 1).
Возможно доказательство с помощью преобразования Фурье.
Функция Грина для
оператора Гельмгольца
Неоднор. уравнение Гельмгольца
E(r)  k 2 E  f (r)
(  k 2 )G(r, r)   (r  r)
В неограниченной области (границы на конечном расстоянии отсутствуют, n = 3)
решением служат сходящиеся и расходящиеся сферические волны
ik |r r|
 ik |r r |
e
e
G (r, r)  
, G (r, r)  
4 | r  r |
4 | r  r |
В одномерном варианте (n = 1) решение – плоские волны
G ( x, x)  
e
 ik | x  x|
2ik
Задача
Полубесконечная струна: смещение u
удовлетворяет волновому уравнению
 2u 2  2u
c
 0 (0  x  )
2
2
t
x
u t 0  0, u x 0,t 0  a sin(t )
Найти u(x,t), t > 0
Сведение решения неоднородного уравнения
к решению однородного уравнения
Пример: волновое уравнение в неограниченном пространстве.
Однородное уравнение
 2u 2
u
 c u  0, u t 0  0 (x),
 1 (x)
2
t
t t 0
Решения для различной размерности приводились ранее.
Требуется решить неоднородное уравнение с нулевыми
начальными условиями:
 2u 2
u
 c u  f (x, t ), u t 0  0,
0
2
t
t t 0
(если начальные условия ненулевые, то нужно еще добавить
решение однородного уравнения с этими нач. условиями)
Сведение решения неоднородного уравнения
к решению однородного уравнения-2
Рассмотрим однородное уравнение с начальными условиями
 2v 2
v
 c v  0, v t t  0,
 f (x,t )
2
t
t t t
Решение этой задачи известно:
v  v(x, t;t )
Покажем, что решением исходной задачи служит
t
u(x, t )   v(x, t;t ) dt
0
Доказательство:
Сведение решения неоднородного уравнения
к решению однородного уравнения-3
t
u (x, t )   v(x, t ;t ) dt
0
u
v
v
t t
  dt  v(x, t ;t ) t 0   dt
t 0 t
t
0
t
t
t t
u
v
v(x, t ;t )
 2v
  2 dt 
  2 dt  f (x, t )
2
t
t
t
t
t 0
0
0
2
t
2
t
 2u 2
u
 c u  f (x, t ), u t 0  0,
0
2
t
t t 0
Явный вид решения (нулевые нач. условия)
x  c ( t t )


u 2u
1
c
 f ( x, t )  u ( x, t )     f ( ,t ) d  dt
2
2
t
x
2c 0  x c (t t )

2
t
2
 2u 2   2u  2u 
 c  2  2   f ( x, y , t ) 
2
t
y 
 x

f ( , ,t ) d d
u ( x, y , t ) 
 

2 c 0   c ( t t ) c 2 (t  t ) 2   2
t
1

 dt ,  2  ( x   ) 2  ( y   ) 2

 2u 2   2u  2u  2u 
 c  2  2  2   f ( x, y , t ) 
2
t
z 
 x y
u ( x, y , z , t ) 
1
4 c 2

Dct
r

f   , ,  , t  
c

d  d d  , r 2  ( x   ) 2  ( y   ) 2  ( z   ) 2
r
Dct  шар радиуса ct с центром в точке ( x, y, z ) ( Запаздывающий потенциал)
Конечная область, вынужденные
колебания, метод Фурье
 2u 2  2u
u
c
 f ( x, t ), u x0  u xl  0, u t 0  0 ( x),
 1 ( x)
2
2
t
x
t t 0
u vw
 2v 2  2v
v
c
 f ( x, t ), v x 0  v x l  0, v t 0  0,
0
2
2
t
x
t t 0
 2 w 2  2u
w

c

0,
w

w

0,
w


(
x
),
 1 ( x)
0
2
2
x 0
x l
t 0
t
x
t t 0

n x
n x
vn  Tn (t )sin
, v( x, t )  Tn (t )sin
l
l
n 1
Конечная область, вынужденные колебания, метод Фурье-2

n x
n c
2

[Tn (t )  n Tn (t )]sin
 f ( x, t ), n 

l
l
n 1

f ( x, t )  
n 1
n x
f n (t ) sin
,
l
2
n x
f n (t )   f ( x, t ) sin
dx
l 0
l
l
Tn(t )  n2Tn (t )  f n (t ), Tn (0)  0, Tn(0)  0 n  1, 2,...
Tn (t ) 
t
1
n
f
n
(t ) sin[n (t  t )] dt 
0
n x

sin[n (t  t )] dt  f ( x,t ) sin
dx

ln 0
l
0
2
t
l
n x  
n ct
n ct 
n x
u ( x, t )   Tn (t ) sin
   an cos
 bn sin
,
 sin
l
l
l 
l
n 1
n 1 

2
n x
2
n x
an   0 ( x) sin
dx, bn 
1 ( x) sin
dx

l 0
l
n l 0
l
l
l
Ненулевые граничные условия
 2 u 2  2u
u
c
 f ( x, t ), u x0   0 (t ), u xl  1 (t ), u t 0  0 ( x),
 1 ( x)
2
2
t
x
t t 0
Вводим вспомогательную (известную) функцию
x
w( x, t )   0 (t )  [1 (t )   0 (t )]  w x 0   0 (t ), w x l  1 (t )
l
u  v  w, v x 0  0, v x l  0,
x
v t 0  u t 0  w t 0  0 ( x)   0 (0)  [1 (0)   0 (0)]  0 ( x),
l
v
u
w
x


 1 ( x)   0 (0)  [1(0)   0 (0)]  1 ( x)
t t 0 t t 0 t t 0
l
 2v 2  2v
c
 f ( x, t ),
2
2
t
x
f ( x, t )  f ( x, t )   0(t )  [1(0)   0(0)]
v x 0  0, v x l  0, v t 0  0 ( x),
v
 1 ( x)
t t 0
x
l
Задача
u 2u
c
 0,
2
2
t
x
u x0  0, u xl  A sin(t )
2
2
Найти вынужденные колебания
 x 
sin 
 sin(t ) 2 Ac 
(1) n 1
c 
 n x   n ct 

u ( x, t )  A

sin 
sin 



2

l
l
l
l
 

 

n 1
 n c 
2
sin  
 

c
 
l

