Transcript 3 - Débora
Profª Débora Bastos
Antiderivadas
Todas as operações básicas possuem as
chamadas operações inversas:
Adição
Subtração
3 + 2 = 5
5 2 = 3
Multiplicação
Divisão
2x3 = 6
6 3 = 2
Potenciação
Radiciação
9 3
32 = 9
Potenciação
Logaritmação
32= 9
log39=2
Antiderivadas
Se considerarmos a derivada como um
operador sobre as funções, a operação
inversa será chamada de antiderivada.
Definição 1: Uma função F será chamada de
função primitiva ou antiderivada de uma
função f, num intervalo I se F’(x)=f(x)
para todo x I.
Exemplo:Encontre a antiderivada da função
f(x)= 4x3
F1(x)=x4
F1’(x)=4x3
F2(x)=x4+1
F2’(x)=4x3
F3(x)=x4+200 F3’(x)=4x3
Antiderivada
Observação: Se foi informada apenas a
função f, a antiderivada não é única,
pois qualquer constante acrescentada a
derivada será a mesma.
Exemplo: Encontre a função primitiva de
f(x)=4x3:
F(x)= x4 + k, k constante k lR.
Observação: Dizemos que a antiderivada de
f é uma família de funções, pois temos
infinitas possibilidades para k.
Antiderivadas
Exemplo: Encontre a antiderivada F da
função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo
que F(1)=3.
F(x)= x4 + k
1+ k =3
K = 2
F(1)= 1 + k
F(x)= x4 + 2
Interpretação Geométrica
Exemplo: Encontre a
família de funções
primitivas da função
real tal que
f(x)=2x.
F(x)=x2+k
Fixado qualquer
valor de x, as retas
tangentes a família
F em x são
paralelas.
Antidiferenciação
Definição 2: Antidiferenciação é o
processo de encontrar o conjunto de todas
as antiderivadas de uma dada função.
Notação:
Integral
Indefinida
Família de
antiderivadas
f(x)dx F(x) k
Função
Integrando
Sinal de
integração
Diferencial da
variável de
integração
Integral Indefinida
Observação: A notação da integral
indefinida (antidiferenciação), usa o
conceito de diferencial (introduzido por
Leibniz), pois além de estar de acordo
com a definição de antiderivada auxilia
em dispositivos práticos para obter a
antiderivada.
Seja F a função primitiva de f, ou seja,
F’(x)=f(x) para todo x D(f).
dy
Y=F(x)
F'(x) f(x)
dx
f(x)dx
dy
.dx dy y
dx
Teoremas sobre integrais indefinidas
Sendo k uma constante real:
d(x)
1 dx x k
1
dx
2
af(x)dx a f(x)dx
a constante real
3
d(au)
du
a
dx
dx
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
n 1
x
4 x n dx
k
n 1
para n 1
d(u v)
du
dv
dx
dx
dx
d(xn )
nxn 1
dx
Observação: Para verificar se a integral
indefinida foi obtida corretamente,
podemos derivar o resultado e verificar
se a resposta é o integrando da integral
indefinida.
n 1
x
4 x n dx
k
n 1
para n 1
xn 1
d
n 1
n 1
1
d
(
x
)
n 1
xn 1 1 xn
dx
n 1
dx
n 1
Exemplos:
1
2
3
x2dx
3 x dx
1
x
2
dx
Determine:
(3x 5)dx
5 (5x4 - 8x3 9x2 - 2x 7)dx
4
6
x3 2x2 7x
dx
x
Mais fórmulas básicas
5
6
n 1
v
v n dv
k
n 1
dv
ln v k
v
7
v
a
a v dv
k
ln a
8
ev dv ev k
d(vn )
n 1 dv
nv
dx
dx
d(lnv)
1
dv
dx
v
dx
d(av )
dv
v
a . ln a
dx
dx
d(ev )
dv
v
e
dx
dx
Exemplos:
2x 5 dx
2 x 5x2 3 dx
2
1
dx
1 5x
4
x3
5
tgxdx
3
4
x
2
6
7
x
1 4x2
dx
9 3tg4xsec24xdx
10 e3xdx
8
dx
cotgxdx
11
2x dx
e
x2
xdx