Transcript Лекция 1: Математическая модель и численные методы

Лекция 1:
Математическая модель и численные
методы. Интерполяционный
полиномы
п.1 Пример математической модели.
Построение и расчёт математической модели, который описывается
реальный физический процесс, состоит из 3-х этапов:
1) Построение математической модели.
Пример: запишем уравнение, описывающее изменение скорости ракеты при
вертикальном взлёте в вакууме:
t

  dV

(1.1)  M   m d  



g
t
  cmt ,


0

  dt

где M - начальная масса ракеты с топливом;
mt  - расход топлива в момент времени t;
g t  - ускорение поля тяжести в момент времени t;
V - искомая скорость ракеты в момент времени t;
c
- скорость истечения газа.
Математическая модель должна отражать основные характеристики
процесса, и чем больше и точнее она будет учитывать параметров, тем
точнее будет результат.
С другой стороны, если математическая модель будет учитывать слишком
много незначительных параметров, то она будет трудна для численного
анализа.
2) Необходимо найти решение этой математической модели.
а) Если упростить модель, то в некоторых случаях удаётся найти точное решение.
(1.1)
g  const, mt   const,
 M 
V  C ln
  g (t )
 M  m t
б) Если не делать предположений, упрощающих задачу, то её необходимо будет
решать приближёнными методами на ЭВМ.
3) Проводится численный анализ полученных расчётов.
Для того чтобы рассчитывать на ЭВМ сложные математические модели
необходимо иметь в арсенале эффективные численные методы.
Численные методы развивались в зависимости от задач, стоящих
перед человечеством.
 3-4 тыс. лет назад людям необходимо было вычислить площади,
объёмы.
Первые инструменты: пальцы, счеты.
 Времена Ньютона.
Решение задач астрономии, геодезии. Появляются логарифмические
таблицы, логарифмическая линейка, примитивный арифмометр,
численные методы.
 40-50гг ХХ в.
Этот период связан с развитием военной техники (развитие зенитных
установок для быстрой и точной стрельбы). Появились первые ЭВМ.
Определение: Под численным методом будем подразумевать тот
метод решения задачи, который сводится к арифметическим и
логическим операциям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет
ЭВМ.
п.2 О погрешностях.
Решения задачи, полученные численными методами, всегда имеют
погрешности. Существует 4 типа погрешностей:
1) погрешность математической модели;
2) погрешность исходных данных;
3) погрешность численного метода;
4) погрешность округления в действиях над числами.
Первые две погрешности относятся к неустранимым погрешностям,
они не зависят от математика. Основное требование к математической
модели, чтобы она была корректна, т.е., чтобы решение задачи
существовало, было единственно, а также решение было устойчиво, т.е.
малым изменениям входных данных должно соответствовать малое
изменение решения.
В численном методе важно знать, какую погрешность мы допустили в
процессе вычислений, т.е. иметь общую оценку погрешности. Важно знать,
как эта оценка зависит от некоторого параметра, для того, чтобы
изменяя этот параметр изменять оценку погрешности
Интерполяционный полиномы
Одна из задач вычислительной математики состоит в том,
чтобы более сложные объекты заменить более простыми, которые
удобно записывать и хранить в памяти компьютера, в частности
любую функцию можно приближенно представить в виде
многочлена и в памяти компьютера хранить коэффициенты этого
многочлена. При замене функции многочленом необходимо
позаботиться о том, чтобы это приближение обладало необходимой
точностью.
На практике используют полиномы 2-х типов: полиномы
Тейлора и интерполяционные полиномы.
п.1 Полиномы Тейлора.
 
 
Пусть задана f ( x)  Cn1 a, b . Многочленом Тейлора n-ой степени
функции f (x) в точке x0  a, b , называется многочлен
n
Pn ( x)  
k 0
f ( k ) ( x0 )
( x  x0 )k .
k!
Полиномом Тейлора обладает тем свойством, что
Pn( k ) (x 0 )  f ( k ) (x 0 )  k  0,...,n
Остаточный член формулы Тейлора имеет вид :
f ( n1) ( )
f ( x)  Pn ( x) 
( x  x0 )n1, x  a, b,   ( x0 , x).
(n  1)!
Полином Тейлора хорошо приближает значение функции в т. x, если т. x
близка к т. x0 .
Для полиномов Тейлора справедлива следующая оценка погрешности:
f (x )  Pn ( x) 
M n 1
(x  x 0 ) n 1
(n  1)!
M n1  max f ( n1) ( x) , x [a, b]
x( a ,b )
п.2 Интерполяционные многочлены Лагранжа.
Постановка задачи:
Пусть x0 , x1 ,..., xn- (n+1) точка, заданная на [a,b] причем
Введем обозначения
a  x0  x1  ...  xn  b
fi  f ( xi ),i  0,...,n
i  0,...,n приближенно
Возникает задача: по заданным значениям f i ,
восстановить значение f (x) в произвольной точке x .
Часто для этого строиться многочлен Ln (x) - степени n , такой, что
(1.2)
Ln ( xi )  f ( xi ),i  0,...,n
Такой полином будем называть интерполяционным полиномом степени
n, а точки x i – узлами интерполяции.
a  x 0 x1
x2
b  xn
Для удобства изложения под многочленами степени n мы будем
подразумевать многочлены степени не выше n.
Пример: Пусть задана (n+1) точка и значения функции
f ( xi )  0, i
Тогда
Ln ( x)  0
. n
 0,...,
является интерполяционным полиномом степени n.
Задача восстановления функции
f (x) по формуле
f ( x)  Ln ( x) при x  a, b
(1.3)
называется задачей интерполяции.
А восстановление функции f
задачей экстраполяции.
(x) по формуле (1.3) для x  a, b наз.
Выясним существование и единственность интерполяционного полинома,
а затем решим вопрос о его погрешности.
Теорема 9.1. Существует единственный интерполяционный полином n-ой
степени, удовлетворяющий условиям (1.2).
Док-во: Существование интерполяционного полинома установим построив
этот полином:
n=1
n=2
x  x1
x  x0
L1 ( x) 
f0 
f1, L1 ( x0 )  f0 ,
x0  x1
x1  x0
L2 ( x) 
L1 ( x1 )  f1
( x  x1 )(x  x2 )
( x  x0 )(x  x2 )
( x  x0 )(x  x1 )
f0 
f1 
f2
( x0  x1 )(x0  x2 )
( x1  x0 )(x1  x2 )
( x2  x0 )(x2  x1 )
L2 ( x0 )  f 0 , L2 ( x1 )  f1, L2 ( x2 )  f 2
(1.4)
При n  N
n
Ln ( x)   pni fi
,где
i 0
(1.5)
( x  x0 )...(x  xi 1 )(x  xi 1 )...(x  xn )
рni 
, i  0,...n.
( xi  x0 )...(xi  xi 1 )(xi  xi 1 )...(xi  xn )
Из (1.4) L
n
(x) является полиномом степени n и справедливо равенство:
1 при
pni ( x j )  
0 при
i  j,
i  j.
Интерполяционный полином построен – значит он существует.
Докажем единственность.
Допустим, что кроме L (x) существует другой полином
n
удовлетворяющий условиям
~
Ln ( x),
~
Ln ( xi )  fi , i  0,...,n,
тогда
(1.6)
~
Ln ( xi )  Ln ( xi )  0, i  0,1,...n.
~
Ln ( x)  Ln ( x) есть полином степени не выше
n
Если
. То в силу
основной теоремы алгебры он может иметь не более n корней, что
противоречит равенствам (1.6), число которых равно n  1 .
~
Следовательно L ( x)  L ( .x)
n
n
Теорема доказана.
Определение. Интерполяционный полином, представленный в виде (1.4)называется интерполяционным полиномом Лагранжа, а функции (1.5)лагранжевыми коэффициентами.
Всегда можно записать равенство:
f ( x)  Ln ( x)  Rn ( x),
где
Rn (x) – остаточный член или погрешности интерполяции.
Справедлива следующая оценка погрешности
M n 1
f (x)  L n (x) 
n (x)
(n  1)!
где
n ( x)  ( x  x0 )(x  x1)...(x  xn ),
M n1  max f ( n1) ( x)
x( a ,b )
Оценка максимальной погрешности на
a, b
M n 1
max f ( x )  L n ( x ) 
max  n ( x )
x[ a , b ]
x
(n  1)! [ a ,b ]
Интерполяционный полином Ньютона. (см. Е.А. Волков Численные методы,
М. Наука, 1987, & 7-9)