Transcript Interpolasi Newton

Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Chapter 18
Interpolasi
1
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Interpolasi Polinomial
Dua titik data
: Garis
Tiga titik data
: Kuadratik
Empat titik data
…
:Polinomial tingkat-3
n titik data
:Polinomial tingkat-n
Diketahui:n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)
Ditanya
:a0, a1, …, an sehingga
x1 a1  x12 a 2  ...  x1n a n  y1  a 0
x 2 a1  x 22 a 2  ...  x 2n a n  y 2  a 0

f x  a0  a1 x  a 2 x 2    a n x n
x n a1  x n2 a 2  ...  x nn a n  y n  a 0
Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?
2
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Interpolasi Linear
Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)
Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut
f 1 x   f x 0  
f x1   f x 0 
x  x 0 
x1  x 0
Contoh: f(x) = ln x
ln 2 = 0.6931472
x1 = 1 dan x2 = 6:
f1(2) = 0.3583519
x1 = 1 dan x2 = 4
f1(2) = 0.4620981
Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!
3
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Interpolasi Kuadratis
Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)
Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas
f 2 x   b0  b1 x  x0   b2 x  x0 x  x1 
b0  f x0 
b1 
f x1   f x0 
x1  x0
f x 2   f x1  f x1   f x0 

x 2  x1
x1  x0
b2 
x 2  x0
Contoh: f(x) = ln x
ln 2 = 0.6931472
Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)
b0 = 0
b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981
b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)
= -0.0518731
f2(2) = 0.5658444
4
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Interpolasi Polynomial Newton
Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)
(yi = f(xi), i=1,2,…,n)
Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.
f n x   b0  b1 x  x0   b2 x  x 0 x  x1   ...  bn x  x 0 x  x1  x  x n1 
b0  f x 0 
b1  f x1 , x 0 

bn  f x n , x n 1 , x1 , x 0 
dengan


f xi , x j 
 
f x i   f x j
f xi , x j , xk  
xi  x j
f xi , x j   f x j , xk 
f xn , xn 1 ,..., x1 , x0  
xi  xk
f xn , xn 1 ,..., x1   f xn 1, xn 2 ,..., x0 
xn  x0
Rekursif!
5
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Contoh Interpolasi Polynomial Newton
Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)
Ditanya:
Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3
f n x   b0  b1 x  x0   b2 x  x 0 x  x1   b2 x  x 0 x  x1   b3 x  x 0 x  x1 x  x 2 
f x1 , x0  
1.386294  0
 0.462
4 1
f x2 , x1 , x0  
f x2 , x1  
1.791759  1.386294
 0.203
64
0.203 0.462
 0.052
6 1
f x3 , x 2 , x1 , x0  
f x3 , x2 , x1  
f x3 , x2  
1.609438  1.791759
 0.182
56
0.182 0.203
 0.020
54
0.020 (0.052)
 0.008
5 1
f3(2) = 0.629
6
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Contoh Interpolasi Polynomial Newton
x0
x1
x2
x3
7
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Perkiraan Error Polynomial Newton
f n x   b0  b1 x  x0   b2 x  x 0 x  x1   ...  bn x  x 0 x  x1  x  x n1 
Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:
f n 1  
xi 1  xi n1
Rn 
n  1!
Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:
f n 1  
x  x0 x  x1 x  x 2  x  x n 
Rn 
n  1!
Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita
gunakan
Rn  f x n1 , x n , x n1 , , x0 x  x0 x  x1 x  x 2  x  x n 
(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)
8
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Perkiraan Error, Orde, dan Titik data
x
1
4
6
5
3
1.5
2.5
3.5
f(x) = ln x
0
1.386
1.792
1.609
1.099
0.405
0.916
1.253
x
3.5
2.5
1.5
3
5
6
4
1
f(x) = ln x
1.253
0.916
0.405
1.099
1.609
1.792
1.386
0
Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7
9
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Polinomial Interpolasi Lagrange
n
f n x   Li xf xi 
i 0
dengan
x  xi
j 0 x i  x j
n
Li x   
j i
Contoh:
linear:
f 1 x  
x  x0
x  x1
f x 0  
f x1 
x 0  x1
x1  x 0
2nd - order :
f 2 x  
x  x1 x  x 2    x  x 0 x  x 2    x  x 0 x  x1   
f x0 
f x1 
f x2
x 0  x1 x 0  x2
x1  x 0 x1  x 2 
x 2  x 0 x 2  x1 
10
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange
f 2 x   L0 f x 0   L1 f x1   L2 f x 2 
L2f(x2)
L0f(x0)
L1f(x1)
11
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Interpolasi Inverse
y
x
Interpolated curve
true curve
Interpolated point of (xc, f(xc))
x
fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
interpolasi yc = fn(xc)
Bagimana inverse-nya:
fn(y) = a0 + a1y + a2y2 + … + anyn
interpolasi xc = fn(yc)
Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!
12
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Extrapolasi
Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak
diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis!
Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis;
jadi perlu perhatian lebih!
13
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Masalah-2 dalam Interpolasi Polinomial
•
Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000
titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000
•
Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangat
rentan dengan instabilitas numerik.
•
Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan
titik data yang tepat karena adanya overshoot.
14
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Interpolasi Spline
Ide:
Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi
sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus
Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan
fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva
yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian
interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang
berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3
Contoh
15
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Interpolasi Spline Kuadratis
Diketahui:
n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,…,n
Ditanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2 + bix + ci sedemikian sehingga
1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan
2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.
16
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Turunan Quadratic Spline
1.
fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1
2n – 2 persamaan
2
fi(xi-1) = aixi-1 + bixi-1 + ci = yi-1
2.
f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0
2 persamaan
fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn
3.
(the 1st derivative at the interior knots must be equal)
fi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi’(xi-1)
n– 1 persamaan
17
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004
Ahmad Dedi Affdani
Contoh of Quadratic Spline
18