Transcript Menentukan Luas Daerah dengan Integral

Kompetensi yang dibahas:
Menghitung luas daerah
dengan menggunakan integral
Sunday, April 12, 2015
2
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa
kurva dapat ditentukan dengan menghitung
integral tertentu.
Sunday, April 12, 2015
3
Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x)
kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva
y = f(x) terletak di atas atau pada kurva
y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi
kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a
Dan x = b adalah sebagai berikut:
Sunday, April 12, 2015
4
y1 =f(x)
Y
Luasnya ?
O x=a
y2 =g(x)
X
x=b
b
L =  f ( x )  g ( x )dx ; f(x) > g(x)
a
Sunday, April 12, 2015
5
Contoh 1:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi
kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan
garis-garis x = 0 dan x = 2
Sunday, April 12, 2015
6
Penyelesaian:
Sketsalah terlebih dahulu
grafik y = 3x2 + 6x
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0
x = 0 atau x = -2
sehingga titik potong dengan sumbu X
adalah di (0,0) dan (-2,0)
Sunday, April 12, 2015
7
Sketsa grafik y = 3x2 + 6x
Y
y = 3x2 + 6x
L=?
-2
Sunday, April 12, 2015
O
X
x =2
8
Y
-2
y = 3x2 + 6x
X
L=?
O
x =2
2
x

3
x
(
3
x

6
x
)
dx


L=
3
2
0
2 2
0
 (2  3.2 )  0  20 satuan luas
3
Sunday, April 12, 2015
2
9
Contoh 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x3, sumbu Y, garis
y = 8 adalah…
Sunday, April 12, 2015
10
Penyelesaian:
Sketsa grafik fungsi y = x3 dan garis y = 8
Y
y = x3
y=8
X
O
Sunday, April 12, 2015
11
Y
y = x3  x  y
y=8
1
3
X
O
d
L   xdy 
c
Sunday, April 12, 2015
8
y
0
1
3
dy 
1
4
3
8
3 43
y
y 
4
0
8
4
3
0
12
8
8
3 43
0 y dy  4 y 0
4
3 43
 (8  0 3 )
4
3 43
3 3. 43
 . 8  .2
4
4
3 4
 .16  12
4
Jadi, luasnya adalah 12 satuan
1
3
Sunday, April 12, 2015
luas
13
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x2, sumbu Y, dan garis
y = x + 6 adalah…
Sunday, April 12, 2015
14
Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x2 dan garis y = x + 6
Y
y = x2
6
X
–6
Sunday, April 12, 2015
15
Y
y = x2
6
?
X
–6
batas atas ditentukan oleh perpotongan
kedua grafik
Sunday, April 12, 2015
16
Y
y = x2
6
X
–6
Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6
x2 = x + 6  x 2 – x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
Sunday, April 12, 2015
17
Y9
y = x2
6
X
–6
-2
3
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3  y = 9  (3,9)
x = -2  y = 4  (-2,4)
Sunday, April 12, 2015
18
Y9
y = x2
6
X
–6 -2
3
Jadi batas-batas pengintegralannya
adalah x1 = 0 dan x2 = 3
Sunday, April 12, 2015
19
Y9
y = x2
6
X
–6 -2
3
3
L =  ( x  6  x ) dx  ( 12 x  6 x  13 x )
2
0
1
2
3 3
2
0
 .3  6.3  .3  ( .0  6.0  .0 )
Sunday, April 12, 2015
2
1
3
3
1
2
2
1
3
3
20
L = .3  6.3  .3  ( .0  6.0  .0 )
1
2
2
1
3
3
1
2
2
1
3
3
 4 12  18  9  0
 13 12
Jadi,
luasnya adalah 13 12 satuan luas
Sunday, April 12, 2015
21
Pembahasan soal
LUAS DAERAH
(INTEGRAL)
Soal 1:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah…
Sunday, April 12, 2015
23
Penyelesaian:
Sketsa grafik kurva y = x2 - 6x + 8
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → x2 - 6x + 8 = 0
→ (x - 2)(x - 4) = 0 → x1 = 2 dan x2 = 4
Sehingga titik potong dengan sumbu X
di (2,0) dan (4,0)
Sunday, April 12, 2015
24
Titik potong dengan sumbu X
di (2,0) dan (4,0)
Y
y = x2 – 6x + 8
X
2
O
L=?
4
4
4
L =  ( x  6 x  8)dx  - ( x  3x  8x) 2
2
2
1 3
21 3
  ( 3 .4  3.4  8.4)  ( 3 .2  3.2  8.2)
2

Sunday, April 12, 2015

1
3
3
2

25


L =  ( .4  3.4  8.4)  ( .2  3.2  8.2)
1
3
3
2
3
1
3
 ( 643  48  32)  ( 83 12  16)
2
 ( 643 16)  ( 83  4)
 (  )  (20)
64
3
8
3
 ( )  ( )  
56
3
60
3
4
3

Jadi, luasnya adalah
Sunday, April 12, 2015
4
3
satuan luas
26
Soal 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
Kurva y = x3 – 1, sumbu X, garis
x = -1 dan x = 2 adalah…
Sunday, April 12, 2015
27
Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x3 – 1
diperoleh dengan menggeser
grafik y = x3 sejauh 1 satuan
ke bawah
Sunday, April 12, 2015
28
y = x3
Y
y = x3 – 1
–1 O
X
1 2
–1
x=2
x = –1
1
2
L =   ( x  1) dx   ( x  1) dx
3
3
1
1
1
 ( x  x)  ( x  x)
1
4
Sunday, April 12, 2015
4
1
1
4
4
2
1
29
2
1
L =   ( x  1) dx   ( x  1) dx
3
3
1
1
1
 ( 14 x  x)  ( 14 x  x)
4
1
4
2
1
 (  1)  (  1)  (4  2)  (  1)
1
4
Sunday, April 12, 2015
1
4
1
4
30
 (  1)  (  1)  (4  2)  (  1)
1
4
1
4
1
4
3


   2  (2  4 )
 2  2 34
4
3
4
Jadi,
luasnya adalah 4¾ satuan luas
Sunday, April 12, 2015
31
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
grafik fungsi y = 2 – x2, dan garis
y = x adalah…
Sunday, April 12, 2015
32
Penyelesaian:
Karena kedua titik batas pengintegralan
belum diketahui,
maka kita harus menentukannya,
dengan cara menentukan titik potong
kedua grafik fungsi
Sunday, April 12, 2015
33
Penyelesaian:
Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2
dan y = x sebagai berikut;
2 – x2 = x
x2 + x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0  x1 = -2 dan x2 = 1
Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:
Sunday, April 12, 2015
34
Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:
Y
2
X
–2
1
y = 2 - x2
Sunday, April 12, 2015
35
Y
2
X
–2
1
y = 2 - x2
L=
1
 (2  x
2
2
2 1
 x) dx  (2x  x  x )

3
1
3
1
2
2
 (2.1  .1  .1 )  2.(2)  .(2)  .(2)
1
3
Sunday, April 12, 2015
3
1
2
2
1
3
3
1
2
2

36

L = (2.1  13 .13  12 .12 )  2.(2)  13 .(2)3  12 .(2)2

 (2  13  12 )  (4)  83  2
 2  6  13  83  12
 8  93  12
 4 12
Jadi,
luasnya adalah 4 12 satuan luas
Sunday, April 12, 2015
37