Transcript 棋盘上的数学

骑士周游问题简介
A Brief Introduction of Knight’s Tour Problem
08级 数学科学学院 李沐西
棋盘上的数学
棋盘上的数学
棋盘上的数学
30 21 6 15 28 19
7 16 29 20 5 14
22 31 8 35 18 27
9 36 17 26 13 4
32 23 2 11 34 25
1 10 33 24 3 12
22 25棋盘上的数学
50 39 52 35 60 57
27 40 23 36 49 58 53 34
24 21 26 51 38 61 56 59
41 28 37 48 3 54 33 62
20 47 42 13 32 63 4 55
29 16 19 46 43 2 7 10
18 45 14 31 12 9 64 5
15 30 17 44 1
6 11 8
• 8×8棋盘上，一共有26,534,728,821,064
条不同的骑士周游回路。
• 6×6棋盘上，一共有19,724条不同的骑士
周游回路。
• 其他大小的棋盘？长方形棋盘？
m,n-马图
Hamilton问题
• （无向）图中的Hamilton圈是指一条经过每
个点仅一次的回路。存在Hamilton圈的图被
称作Hamilton图。
• 判断图的Hamilton性的问题被称作Hamilton
问题。
骑士周游问题的实质就是m,n-马
图的Hamilton问题。
Schwenk定理
• m,n-马图(m<=n)不是Hamilton图当且仅当
下列三种情况之一成立：
• 1) m与n同为奇数，除m=n=1外
• 2) m=1,2或4，除m=n=1外
• 3) m=3，n=4,6或8
Schwenk定理的证明——必要性
Schwenk定理的证明——必要性
Schwenk定理的证明——充分性
• 大跨度数学归纳法
• 归纳起点：3×8、3×10、5×6、5×8、
6×6、6×7、6×8、7×8、8×8
• 若m,n-马图是Hamilton图，则(m+4),n-马图
和m,(n+4)-马图也都是Hamilton图。
Schwenk定理的证明——充分性
3
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骑士周游问题的推广
• (m,n)-跳跃者周游问题
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n格
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m格
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骑士周游问题的推广
• (2,3)-跳跃者和(1,4)-跳跃者在10×10棋盘
上存在周游回路。
• (3,4)-跳跃者在14×14棋盘上存在周游回路。
• 即使是对于这些棋子，也没有像Schwenk
定理那样完全的结论。
第26届IMO竞赛备选题
• (2,3)-跳跃者在12×12棋盘上是否存在周游
回路？
答：否！
染色法
谢谢大家！
• 参考资料与延伸阅读：
• Schwenk定理的完整证明：
• http://qing.weibo.com/1656002220/62b496
ac330004q7.html
• John J. Watkins, “Across the Board: The
Mathematics of Chessboard Problems”
• Jelliss, G. “Leapers at Large”