誤差橢圓方位與半徑的計算
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Transcript 誤差橢圓方位與半徑的計算
誤差橢圓
誤差橢圓的概念
誤差橢圓計算
誤差橢圓
前言
橢圓方位與半徑的計算
標準誤差橢圓計算舉例
其他舉例
誤差橢圓的信心水準
誤差橢圓的優點
前言
最小自乘法平差後,可獲
得點位坐標的估計標準差,
此標準差提供了在坐標軸
方向的誤差估值。
根據標準差所預估的誤差
範圍,與實際的誤差範圍
並不相符。
實際的誤差範圍應該由方
向與距離來推估,而不是
在坐標軸的方向上。
點位誤差範圍應遵循雙變
數的常態分配。
y
2Sy
B
N
2Sx
αAB
A
x
前言
要推估點位誤差,需要知道誤
差橢圓的橢圓的方位與兩個半
徑。
即右圖中的t與Su, Sv
圖中u與v為兩正交軸,u軸為代
表點位最弱的方向,換言之,
是代表點位誤差最大的方向。
而v軸為點位最強的方向(點位
誤差最小的方向)。
誤差橢圓的正確機率與自由度
有關,其大小可由F分配機率百
分比的表列值來調整。
簡單的閉合導線其誤差橢圓的
機率只有35%。
標準誤差橢圓
Sy
y
Sx
v
Su
t
Sv
u
x
標準誤差矩形
誤差橢圓方位與半徑的計算
由於最小自乘法平差
所獲得的點位誤差
是在x軸與y軸方向
的,故需進行下列
程序:
1. 利用坐標轉換方式,
轉換成在u軸與v軸
方向的誤差。
2. 根據誤差傳播定律
求得坐標轉換後的
誤差大小。
θ
90 t
u i cos
v sin
i
Z RX
Q ZZ RQ xx R T
sin xi sin t cost xi
cos y i cost sin t y i
誤差橢圓方位與半徑的計算
3. 將矩陣展開
sin 2 ( t )q xx cos( t ) sin( t )q xy
2
sin( t ) cos( t )q xy cos ( t )q yy
Qzz
cos( t ) sin( t )q xx sin 2 ( t )q xy
2
cos ( t )q xy sin( t ) cos( t )q yy
quu quv
quv qvv
sin( t ) cos( t )q xx cos2 ( t )q xy
2
sin ( t )q cos( t ) sin( t )q
xy
yy
2
cos ( t )q xx sin( t ) cos( t )q xy
2
cos( t ) sin( t )q sin ( t )q
xy
yy
(18.6)
誤差橢圓方位與半徑的計算
4.
quu sin 2 t q xx 2 cost sin t q xy cos2 t q yy
quu sin 2 t q xx cos2 t q yy 2
quu
quu
quu
q xx q yy
2
q xx q yy
2
q xx q yy
2
sin 2t
q xy
2
2
2
2
q
cos
t
q
sin
t q xx cos2 t
q
sin
t
yy
yy
2
2
xx
sin t cos t
sin 2t q xy
2
2
2
2
q yy
q
cos2 t sin 2 t xx cos2 t sin 2 t q xy sin 2t
2
2
q yy q xx
cos 2t q xy sin 2t
2
誤差橢圓方位與半徑的計算
表18.1 (18.4)式中2t角之象限
dquu q yy q xx
2 sin 2t q xy 2 cos 2t 0
分子
分母
2t角之象限
dt
2
+
+
1
q yy q xx sin 2t 2q xy cos2t
+
2
2q xy
sin 2t
3
tan 2t
cos 2t
q yy q xx
+
4
先選2t之象限,再除以2而求t角。
由上式可求得quu最大的誤差橢圓方位t。
所計算的t值,構成誤差橢圓長短半徑,即相當於將協變方
矩陣旋轉至對角線外的元素不為零。
因此,點位誤差的u與v坐標值為非相關,即quv為零。
quv
q xx q yy
2
sin 2t q xy cos 2t 0
2q xy
sin 2t
tan 2t
cos 2t
q yy q xx
誤差橢圓方位與半徑的計算
誤差橢圓方位與半徑計算公式
2q xy
tan 2t
q yy q xx
quu q xx sin 2 t 2q xy cost sin t q yy cos2 t
qvv q xx cos2 t 2q xy cost sin t q yy sin 2 t
S20quu的平方根即為誤差橢圓的長半徑Su,S20qvv的平方
根則為短半徑Sv。
S u S 0 quu
S v S 0 qvv
誤差橢圓計算例
由13.5節的三邊測量計算例中,計算得
So=± 0.1359
未知數與其協變方矩陣為
dXW
dY
W
X
dX C
dY
C
1.198574 -1.160249 -0.099772 -1.402250
Qxx= -1.160249 2.634937 0.193956 2.725964
-1
N = -0.099772 0.193956 0.583150 0.460480
4,4 -1.402250 2.725964 0.460480 3.962823
2( 1.160249 )
tan( 2t )
1.6155
2.634937 1.198574
2t=tan-1(-1.6155)+360°=301°45.5´ t=150°53´
誤差橢圓計算例
點位誤差橢圓的長短半徑分別為
點 2t(rad.) t(deg.) 度 分 秒
Su
Sv
Sx
Sy
W 5.266654 150.879 150 52 43 0.246 0.101 0.149 0.221
C 0.266040 7.621
7 37 17 0.273 0.098 0.104 0.271
誤差橢圓的繪製
利用CAD軟體可協助
繪製誤差橢圓
因為t與長短半徑均已
知道,故僅需決定繪圖
比例尺,即可很容易地
繪製誤差橢圓。
誤差橢圓的信心水準
誤差橢圓可利用F統計
表18.2 選定機率水準之F α ,2, 自由度 統計
子,來進行調整其大
機率
小,及利用在α信心水
自由度
90%
95%
99%
準下分子為2個自由度, 1
49.50
119.50
4999.50
2
9.00
19.00
99.00
分母則為平差時自由
3
5.46
9.55
30.82
度的F統計子,來調整
4
4.32
6.94
18.00
5
3.78
5.79
13.27
誤差橢圓。
10
2.92
4.10
7.56
F統計子為兩個不同自
15
2.70
3.68
6.36
20
2.59
3.49
5.85
由度的變異數比,因
30
2.49
3.32
5.39
此,自由度增加將可
60
2.39
3.15
4.98
提高精度。
誤差橢圓的信心水準
誤差橢圓的信心水準
可利用乘因子c,增加
到任意的水準。
由前述可清楚地看出,
自由度增加,則誤差
橢圓大小會減小。
乘因子c可由表18.1求
得,此表並未包含所
有情況。
c 2 F , 2,deg ree of
freedom
S u % S u 2 F , 2,deg ree of
S v% S v c
freedom
Su c
誤差橢圓的優點
誤差橢圓可提供的優點
平差點位的精度重要資訊
各點位的相對精度比較
根據誤差橢圓的形狀、大小以及方位,可很快地了
解各個點位的誤差狀況。
測量網形設計
誤差橢圓的形狀、大小與方位受下列因素影響
使用的控制點
觀測量的精度
測量的幾何性質,即網形的幾何強度。
觀測量的精度與網形的幾何強度,因受測區的情
況與使用的設備等因素影響,變化相當大。
爲了獲得合理的結果,通常會對測區的可用控制
點,並進行初步的選點(測量的幾何性質)以及所要
使用的設備(觀測量的精度)等因素,進行模擬平差,
此過程稱之為網形設計。
再根據模擬平差的結果,來調整網形的設計。