Transcript Углы, вписанные в окружность

- познакомиться понятием плоского угла, дополнительного
плоского угла, центрального угла и угла, вписанного в
окружность;
- доказать теорему о градусной мере угла, вписанного в
окружность;
- познакомиться со следствиями из теоремы;
- отработать первичные навыки решения задач по
данной теме.
1. На сколько частей
разбивают плоскость 2
пересекающиеся прямые?
2. На сколько частей разбивают
плоскость два различных луча,
выходящие из одной точки?
Найти неизвестные углы треугольника АВС.
С
?
С
160º
?
?
А
120º
?
В
А
?
? В
Определить градусную меру угла АОС.
А
В
75º
А
50º
140º
35º
С
С
В
Любой угол разбивает плоскость на две части.
Каждая из полученных частей
называется плоским углом.
в
Полупрямые а и в – стороны
плоских углов.
Градусной мерой плоского угла является
градусная мера обычного угла.
а
Два плоских угла с общими сторонами называются
дополнительными.
Градусная мера дополнительных
плоских углов равна 360º.
α
360º - α
Если один из этих углов равен α,
тогда второй угол равен 360º - α.
Плоский угол, вершина которого расположена в центре
окружности, называется центральным углом в окружности.
О
●
центральный угол
Часть окружности, расположенная
внутри плоского угла называется
дугой окружности, соответствующей
центральному углу.
дуга окружности
Градусной мерой дуги окружности называется
градусная мера соответствующего центрального угла.
Построим окружность с центром О.
Отметим произвольную точку А,
лежащую на окружности.
А
●
О
●
В
Построим ∟ВАС, стороны которого
пересекают окружность.
∟ВАС – угол, вписанный в окружность.
С
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны которого
пересекают окружность, называется вписанным в окружность.
∟ВАС, ∟СЕК, ∟АСМ - углы, вписанные в окружность.
В
А
●
С
С
●
●
С
К
Е
А
М
Построим окружность и угол ВАС, вписанный в эту окружность.
А
В
●
О
●
●
С
Стороны угла ВАС пересекают
окружность в точках В и С.
Построим центральный угол ВОС, который
пересекает окружность в тех же точках, что и
угол ВАС.
∟ВОС – центральный угол, соответствующий
вписанному ∟ВАС.
1. Назовите вписанные углы.
2. Назовите центральные углы.
3. Назовите центральный
угол, соответствующий
вписанному ∟ВАС, ∟МКН.
●С
Н
●
В
●О
●
М
●
А
К
Угол, вписанный в окружность, равен половине
соответствующего центрального угла.
1. Докажем это утверждения для частного случая, когда одна из
сторон угла проходит через центр окружности.
В
О
∟АВС – вписанный,
∟АОС – соответствующий центральный угол.
●
С
Докажем, что ∟АОС = 0,5∙ ∟АВС.
А
Доказательство.
∆АОВ – равнобедренный ( АО = ВО – радиусы),
значит ∟ОВА = ∟ОАВ (углы при основании),
∟АОС – внешний угол ∆АОВ при вершине О,
значит ∟АОС = ∟ОВА + ∟ОАВ = 2 ∙ ∟ОВА,
откуда ∟АОС = 0,5∙ ∟АВС.
В доказательстве общих случаев используется рассмотренный
частный случай.
Возможны следующие варианты:
а) центр окружности принадлежит вписанному углу и
б) центр окружности не принадлежит вписанному углу.
А
а)
В
О
●
М
Проведем луч АМ, проходящий через
центр окружности.
∟ВАМ = 0,5∙ ∟ВОМ,
∟САМ = 0,5∙ ∟СОМ
С
Складывая почленно эти равенства, получаем:
∟ВАМ + ∟САМ = 0,5∙ ∟ВОМ + 0,5∙ ∟СОМ
= 0,5∙ (∟ВОМ + ∟СОМ) =
= 0,5∙ ∟ВОС.
Т. к ∟ВАМ +∟САМ = ∟ВАС, то
∟ВАС = 0,5∙ ∟ВОС.
б) центр окружности не принадлежит вписанному углу
М
Проведем луч АМ, проходящий через
центр окружности.
О
●
∟ВАС = ∟ВАМ - ∟САМ
А
С
В
∟ВАМ = 0,5∙ ∟ВОМ,
∟САМ = 0,5∙ ∟СОМ, тогда
∟ВАС = 0,5∙ ∟ВОМ - 0,5∙ ∟СОМ = 0,5∙ (∟ВОМ - ∟СОМ) = 0,5 ∙ ∟ВОС.
Теорема полностью доказана.
Все вписанные углы, стороны которых проходят через
данные точки А и В на окружности, а вершины которых
лежат по одну сторону от прямой АВ, равны.
А
●
С
●
Н
А и В – точки, лежащие на окружности,
●
О
●
С, Н, К, М – точки, лежащие на
окружности по одну сторону от
прямой АВ,
К●
●
М
●
В
тогда ∟АСВ = ∟АНВ = ∟АКВ = ∟АМВ.
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Рассмотрим окружность с
центром О.
А
АВ – диаметр.
●
О
∟АСВ = ∟АКВ = ∟АЕВ = 90º
С
В
К
Е
№ 48 (2), страница 190
Сумма двух дополнительных плоских углов равна 360º.
Пусть градусная мера меньшего угла хº,
тогда градусная мера второго угла (х + 100)º.
Составим и решим уравнение:
х + х + 100 = 360
2х + 100 = 360
2х + 260
х = 130
130º - градусная мера одного угла
130º + 100º = 230º - градусная мера второго угла
Ответ: 130º; 230º .
№50, страница 190
Точки А, В, С – лежат на окружности. Чему равен угол АВС,
если хорда АС равна радиусу окружности?
1-й случай
Дано: ω(О;r),
А
В
●
С●
●
60º
●О
точки А; В; С принадлежат окружности
АС = r.
Найти: ∟АВС.
Решение.
Достроим и рассмотрим ∆АОС
АО = СО = АС , тогда ∆АОС – равносторонний,
значит ∟АОС = 60º,
откуда ∟АВС = ½ ∟АОС = 30º
Ответ: 30º.