Transcript Рост трещины
Viktor M. Pestrikov Head of Informatics Department of The Saint Petersburg State University of Service and Economics, St. Petersburg, Russia.
© V. M. Pestrikov
Модели и критерии разрушения вязкоупругого тела с трещиной
Для получения качественных и количественных характеристик процесса разрушения тела с трещиной необходимо построить модель разрушения .
Модель разрушения вязкоупругого тела включает в себя: 1.
Реологическую модель (уравнения) материала.
2.
Модель трещины, дающую представление о форме трещины и структуре ее концевой области ( зона процесса (M.Wnuk) ).
3.
Критерий разрушения, представляющий условие начала роста трещины.
собой
В качестве критериев разрушения вязкоупругих тел с трещинами могут быть использованы энергетические, силовые и деформационные. При выборе критериев разрушения следует отдать предпочтение глобальному энергетическому критерию в вариационной формулировке (E.M.Morozov, 1969), так как он в сравнении с другими критериями, позволяет полнее учесть основные особенности разрушения различных типов полимерных материалов.
Глобальный критерий разрушения вязкоупругого тела с трещиной в вариационной формулировке, для трещины с тонкой зоной предразрушения перед трещиной имеет вид (Pestrikov, 1999):
l
0 (
t
) 2 (
t
)
dx
1
a
(
t
0 )
pu
2 (
x
1 , 0 , (
t
))
dx
1
l a
(
t
) (
t
) 0 (
t
)
u
2 (
x
1 , 0 , (
t
))
dx
1 0 , ( 1 ) где
a
(
t
)
l
(
t
)
d
(
t
) ,
l
(
t
) - полудлина трещины, зоны предразрушения, ( (
t
))
d
(
t
) - длина - удельная работа разрушения временного материала.
как функция фактора, от вызывающего воздействия старение
Если предположить, что работа сил в зоне предразрушения (зона процесса, Wnuk) определяет затрату энергии на образование всей трещины, то тогда в уравнении (1) второе слагаемое много меньше третьего. В этом случае уравнение можно записать в более простом виде 2 ( (
t
))
l
l a
t
0 (
t
)
u
2 (
x
1 , 0 , (
t
))
dx
1 0 .( 2 ) В результате получаем локальный энергетический критерий разрушения, записанный в вариационной форме. Если теперь, в (2) варьировать время, параметр (
t
)
const
d
t
, считая
dt
, то получим форму записи локального энергетического критерия, удобную для практических целей:
a l
0
t u
2 (
x
1 , 0 , )
dx
1 2 ( )
l
.( 3 )
Если в (2) варьировать длину трещины, при тех же допущениях, и учесть условие автомодельности, т.е.
неизменности формы зоны предразрушения,
du dl
2
du dx
1 2 , то получим: 2 ( (
t
)) 0 (
t
)
l l a t
u
2 (
x
1 , 0 , )
dx
1 0 .( 4 ) Отсюда следует соотношение, аналогичное известному соотношению 0
c
2 для неподвижной трещины: 0 ( (
t
))
c
( (
t
)) 2 ( (
t
)), ( 5 ) где
c
2
u
2 ( (
t
)) – критическое раскрытие трещины.
Из (5) после преобразований следует аналог силового критерия Ирвина в виде
K I
( (
t
))
K Ic
( (
t
)).( 6 ) При исследовании разрушения вязкоупругого тела с трещиной на основе критериев (1)-(6), сначала следует выбрать реологическую модель материала. После этого определить теория перемещения вязкоупругости, в берегов которой трещины связь в вязкоупругом материале. Если выбрана линейная между напряжениями и деформациями производится с помощью интегральных операторов Вольтерра II рода, то вертикальные перемещения берегов трещины могут быть найдены из упругого решения.
Вертикальные перемещения в вязкоупругом теле
В общем случае запишутся в виде: вертикальные
u
2
T
0 (
t
) (
x
1 ,
l
(
t
)) , перемещения где (
x
1 ,
l
(
t
)) - функция силовых и геометрических параметров, а
T
Вольтерра II рода.
- интегральный оператор типа
Реология материала
Интегральный материалов в представлен в виде оператор общем для случае вязкоупругих может быть
T
f
(
t
)
T
0
f
(
t
)
t
0
K
t
, ( )
f
( )
d
, ( 7 ) где
K
t
, ( ) - ядро ползучести вязкоупругого материала мгновенное равное
T
0 1
v
2 с нестабильными значение свойствами, интегрального при плоской деформации и
E
при плоском напряженном состоянии.
оператора,
T
0 1
E T
0 -
Рост трещины в стареющем вязкоупругом материале
Для считать, ряда что конструкционных материалов применение деформационного критерия приводит к большим погрешностям, так как во время роста трещины не соблюдается условие . Изменение раскрытия трещины во время ее роста происходит из-за деформации вблизи вершины трещины. Если затраты энергии на процесс разрушения в основном критерию (Knauss 1969, Wnuk 1971).
равны работе пластических деформаций в вершине трещины, то можно прийти к локальному энергетическому
Критерий разрушения стареющего вязкоупругого тела с трещиной
Локальный энергетический критерий разрушения вязкоупругого тела с трещиной, для материала с изменяющимися свойствами во времени вид (Pestrikov 1983) : имеет
l L
( (
t t
) ) 0
x
1
t
t u
2 (
x
1 ,
l
(
t
))
dx
1 2
l
(
t
) , ( 8 ) где
L
(
t
)
l
(
t
)
d
(
t
) ,
d
(
t
) - длина зоны предразрушения (зона процесса Внука)
Уравнение роста трещины в вязкоупругом теле с учетом особенностей старения материала
Для модели трещины с тонкой структурой концевой зоны (зона процесса Внука) 4
T
0 0 2
l
(
t
)
tg
ln sec 1 1 2
l
(
t l
(
t
) ) (
t
) (
t
) ( 2 sec 2 (
tg
ln
tg
sec ) ) 1 4
l
(
t
)
l
(
t
)
tg
ln sec
t t
0
l L
( ( ) )
R
(
t
, ) (
x
1 ,
l
( ))
dx
1
d
, ( 9 ) где определяется из уравнения .
0 0
Критическая длина трещины
Для трещин у которых , критическая длина находится из условия и
c
(
t c l
(
t
)
l c
4
T
0 0 2
tg
ln sec
.( 10 ) Если в уравнении (9) провести преобразования и оставить величины не выше второго порядка малости, то получим уравнение роста макротрещины (
d
l
) в виде
l c l
(
t
) 1 4 3
d
(
t
)
l
(
t
) (
t
) (
t
) 2
l
(
t
)( 1 2 (
t
) / 2 )
t t
0
l
( ) 2 ( )
R
(
t
, ) (
r
)
d
Анализ уравнений роста трещины по двум критериям
Уравнение кинетики макротрещины, полученное, исходя из локального энергетического критерия (Knauss,Wnuk 1971), отличается от уравнения, полученного по деформационному критерию COD, только на величину 4 3
d
(
t
)
l
(
t
) (
t
) (
t
) .( 11 ) Это различие имеет место только при переменных нагрузках. При постоянных нагрузках 0 и уравнения роста трещин совпадают.
Рост трещины
Диаграммы роста трещин по критерию COD (кривые 2,4) и локальному энергетическому критерию (кривые 3,5) при переменной нагрузке.
Кривая 1 макротрещине при постоянной внешней нагрузке
const
Критерий завершающего натяжения и медленный рост трещины в вязкоупругом материале
Желание критерия (COD) расширить критического привели М.
область Внука к применимости раскрытия трещины критерию где
u
u P
точке Р,
t P
u
x
t
t
,
P t
c
структурный
t
,
t
c
4
E
t
- критическая разность смещений в
t
t
x
u P
x P
,
d
параметр,
u
x P
,
t
x P
,
t
1
t
,
t
dl dt
определяемый , и из эксперимента.
Схематическое изображение процесса разрушения по критерию «завершающего натяжения». 1 – контур трещины в момент времени , 2 – контур трещины в момент времени t. Пунктиром показаны границы зон предразрушения (зона процесса Внука)
Формулировка критерия Внука
Приращение нормального перемещения v в некоторой точке Р, находящейся внутри области предразрушения перед концом трещины, сохраняется постоянным в течение медленной стадии роста трещины.
Уравнение докритического роста трещины исходя из критерия Внука
d c
d
t
Q
t
x P
d
,
где d(t) длина пластической зоны в момент времени t, и d c
K
8
c
2 2
.
t
0
K
8 2 2
ВЫВОД:
Критерий «завершающего натяжения» может быть использовать при исследовании разрушения более широкого класса вязкоупругих материалов, нежели COD, в частности, для наноматериалов.