Transcript Chapter 7 Derivatif

MATA KULIAH BERSAMA
FMIPA UGM
MATEMATIKA KONTEKSTUAL
PERTEMUAN KE-7
DERIVATIF
Oleh :
KBK ANALISIS
Derivatif:
Latar Belakang dan Beberapa
Penggunaan Derivatif
Pengertian derivatif (turunan) (1)


Di dalam matematika, pembahasan di dalam
kalkulus dikelompokkan menjadi tiga bagian
penting, yaitu: limit, derivatif, dan integral.
Derivatif merupakan salah satu gagasan
terbesar yang memungkinkan kita
menggambarkan dunia. Perlu beribu-ribu
tahun merumuskan gagasan tersebut
menjadi sesuatu yang berguna. Jadi tidak
perlu takut jika kita perlu beberapa hari
mengerti dan memahami derivatif.
Pengertian derivatif (turunan) (2)

Derivatif dapat dipandang dari beberapa
perspektif, tetapi semuanya mengarah pada
satu hal, yaitu:
“Derivatif menggambarkan pendekatan suatu
grafik di suatu titik dengan garis lurus”.

Derivatif (kalkulus diferensial) melibatkan
analisis fungsi, khususnya, penentuan laju
ubah (instantaneous rates of change).
Secara geometri, laju ubah dikaitkan dengan
grafik fungsi. Laju ubah garis lurus adalah
gradien atau arah garis tersebut.

Masalah menentukan garis singgung kurva telah
dipelajari oleh banyak matematikawan. Beberapa ahli
yang mempelajari penentuan garis singgung
diantaranya:



Gilles Persone de Roberval pada tahun1630 – 1640 menentukan
garis singgung kurva berdasarkan gerakan vektor di setiap titik
pada grafik.
Pierre de Fermat (pada saat yang hampir sama dengan
Roberval) menggunakan ekstrem (maksimum) dan infinitesimal
untuk menentukan garis singgung kurva. Fermat memberikan
andil penemuan diferensial.
Leibniz dan Newton secara tajam mendefinisikan metode
penentuan garis singgung yang diterima hingga sat ini.
Gilles Persone de Roberval (1)
Gambar di samping menyatakan grafik
parabola yang menunjukkan komponen
vektor gerak V1 dan V2 di titik P.
Roberval menentukan bahwa di titik P
pada parabola, terdapat dua vektor
terkait dengan gerak instantaneous.
Vektor V1 yang mempunyai arah sama
dengan arah yang menghubungkan titik
fokus parabola (titik S) dan titik P.
sedangkan Vektor V2 tegak-lurus
sumbu-y (garis yang tegak-lurus dengan
sumbu simetri parabola).
Garis singgung grafik di titik P
merupakan jumlahan kedua vektor, yaitu
V = V1 + V2.
Gilles Persone de Roberval (2)

Menggunakan metode jumlahan dua vektor
tersebut, Roberval berhasil menentukan garis
singgung sejumlah kurva, termasuk ellips dan
sikloida. Namun, Roberval mengalami
kesulitan menggeneralisasi metodenya untuk
sebarang kurva
Pierre de Fermat



Metode Pierre De Fermat untuk menentukan garis
singgung dikembangkan sejak 1630.
Meskipun metode yang digunakan tidak dirumuskan
dengan tegas, metode tersebut hampir sama dengan
metode yang digunakan Newton dan Leibniz.
Fermat sangat terkenal dengan masalah maksimum
Fermat dan Gradien garis singgung Fermat (Fermat’s
maxima and tangent). Permasalahan inilah yang
membawa pada derivatif.
 Pertama, Fermat memberikan teknik penentuan
maksimum (Fermat’s maxima).
 Kedua, teknik penentuan maksimum mendasari
penentuan gradien garis singgung.
Masalah maksimum Fermat

Permasalahan maksimum Fermat: “Suatu
segmen garis dibagi menjadi dua bagian.
Dicari ukuran masing-masing bagian
sehingga hasil kali panjang kedua bagian
maksimum”.
Suatu garis dengan panjang a satuan
panjang dibagi menjadi dua bagian.
Katakan panjang kedua bagian berturutturut sebesar x dan (a - x). Tujuan Fermat
adalah memaksimumkan x (a - x).
Pada saat itu, pendekatan yang dilakukan Fermat
dikategorikan misterius, tetapi metode Fermat
dipahami dengan cara sangat sederhana dengan
pengertian limit.
Fermat menyelesaikan permasalahan dengan
mengganti x dengan x + E dan menyatakan bahwa
saat nilai maksimum ditemukan, x dan x + E akan
bernilai sama.


Jadi diperoleh:
x(a - x) = (x + E)(a - x - E).
Penyederhanaan yang dilakukan
memberikan:

Fermat mengambil E = 0, sehingga
diperoleh:

Jadi untuk memperoleh hasil kali panjang
kedua bagian maksimum, segmen garis
tersebut haruslah dibagi menjadi dua bagian
yang sama panjang.



Meskipun hasil yang diperoleh Fermat benar,
metode Fermat memuat lubang misterius. Fermat
menyederhanakan masalah dengan mengambil E
= 0, sehingga pada langkah pembagian dengan E,
Fermat melakukan pembagian dengan nol.
Sebenarnya, saat Fermat merumuskan metodenya
dengan mengambil E = 0, Fermat memperhatikan
nilai E mendekati (approaches) nol.
Metode Fermat di dalam penentuan ekstrem
maksimum tersebut dipahami dengan mudah
menggunakan derivatif (metode yang sekarang
dikenal).

Dengan mengambil substitusi x + E untuk
x, Fermat menyatakan bahwa f(x+E) = f(x),
atau f(x+E) - f(x) = 0.

Diperhatikan bahwa f(x) merupakan
polynomial yang dapat dibagi oleh E. Dengan
demikian, metode Fermat dapat dipahami
menggunakan pengertian derivatif untuk
penentuan maksimum, yaitu:

Selanjutnya, menggunakan E yang
misterius tersebut, Fermat melangkah
mengembangkan metode menentukan garis
singgung kurva. Diperhatikan grafik parabola
berikut. Fermat menggambar garis singgung
di titik x dan mengambil satu titik berjarak E
terhadap x. Dengan memanfaatkan
similaritas segitiga, diperoleh:
sehingga

Fermat kembali mengambil E = 0 (di dalam
kalkulus moderen, Fermat mengambil limit E
mendekati 0) dan penyebut di ruas kanan nilai s
identik dengan diferensialnya yang bersesuaian
dengan metodenya menentukan nilai minimum.

Dengan demikian, untuk menentukan gradien
kurva, Fermat menentukan f(x)/s.

Dengan metode tersebut, Fermat berhasil
menemukan aturan (rumus) umum
mendapatkan gradien garis singgung di titik x
untuk fungsi
mempunyai rumus
.
Namun untuk fungsi secara umum, Fermat
belum mampu.
Leibniz

Leibniz mendefinisikan derivatif fungsi y = f(x)
di x sebagai berikut:
Selain terkenal dengan
penentuan luas di bawah
kurva dengan integral, Leibniz
menemukan hubungan luas
dan derivatif menggunakan
konsep diferensial.
dy
area
 lim
dx x x
Perumumam (1)



Gradien didefinisikan sebagai rasio perubahan
vertikal dan perubahan horisontal yang terjadi
antara dua titik sebarang pada garis.
Gradien garis lurus antara dua titik pada garis
tersebut selalu sama, sehingga laju ubah fungsi
yang grafiknya berupa garis lurus bernilai
konstan.
Secara umum, laju ubah fungsi yang grafiknya
bukan garis lurus berubah-ubah. Laju ubah di
sekitar titik tertentu dapat didekati dengan
gradien garis lurus melalui dua titik di sekitar titik
tersebut.
Perumuman (2)

Diberikan grafik fungsi f. Penentuan laju ubah f di
titik (x,f(x)).




1. Dipilih titik (x+h, f(x+h)) yang dekat dengan (x,f(x)).
2. Dihitung gradien garis yang menghubungkan titik
(x,f(x)) dan (x+h, f(x+h)) , yaitu [f(x+h) - f(x)] / [(x+h) - x].
Pendekatan menjadi lebih akurat diperoleh dengan
mengambil h semakin kecil.
Dengan menggunakan limit, untuk h mendekati nol,
gradien garis pendekatan menjadi laju ubah fungsi di
titik (x,f(x)). Laju ubah fungsi f di titik x, yang dikenal
sebagai derivatif fungsi f di titik x, didefinisikan oleh
dy
f ( x  h)  f ( x)
 lim
,
dx h0
h
asalkan nilai limit ada.
Perumuman (3)

Permasalahan laju ubah garis
lurus (gradien garis singgung)
berkembang menjadi laju ubah
suatu kuantitas terhadap
kuantitas lain. Masalah tersebut
dikenal sebagai derivatif dari
kuantitas pertama terhadap
kuantitas kedua. Sebagai
contoh, penentuan kecepatan
jatuhnya bola pada saat tertentu
merupakan permasalahan
penentuan laju ubah posisi bola
terhadap waktu.
Diperhatikan bahwa derivatif fungsi f
merupakan fungsi, sehingga masih
dimungkinkan mempunyai derivatif
yang dikenal sebagai derivatif kedua
fungsi f.
Penggunaan Derivatif (1)
Derivatif digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan terkait laju ubah dan optimisasi.
Derivatif sebagai laju ubah dapat diterapkan
pada sebarang masalah laju ubah suatu
kuantitas terhadap kuantitas lain. Pemakaian
pada masalah teknik dan sains mempengaruhi
kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh:
Laju ubah satelit komunikasi ditentukan
berdasarkan letaknya yang tergantung waktu.
Transformational Communications
Satellite System (TSAT) milik USA
Penggunaan Derivatif (2)
 Percepatan jatuhnya suatu partikel
ditentukan dari penurunan kecepatan
terhadap waktu, sedangkan kecepatan
jatuhnya partikel tersebut dihitung dari
penurunan posisi partikel terhadap waktu.
 Gaya yang digunakan untuk
mengalirkan gas alam melalui pipa untuk
jarak yang panjang dilakukan dengan
menurunkan tekanan gas terhadap jarak.
Penggunaan Derivatif (3)

Aplikasi penting dari derivatif pada grafik melibatkan
informasi dari derivatif pertama dan kedua, serta interpretasi
geometrik yang terkait.

Derivatif pertama memberikan laju ubah. Nilai
derivatif pertama di suatu titik memberikan
gradien garis singgung grafik (kurva) di titik
tersebut. Dalam hal derivatif bernilai positif,
fungsi merupakan fungsi naik. Dalam hal
derivatif bernilai negatif, fungsi merupakan fungsi
turun. Dalam hal derivatif bernilai nol di titik
dengan absis x, garis singgung kurva di x berupa
garis horisonal sejajar sumbu-x, sehingga terjadi
perubahan naik – turun fungsi di x (tergantung
derivatif kedua).
Penggunaan Derivatif (3)

Derivatif kedua memberikan laju ubah dari laju
ubah, sehingga memberikan informasi
kelengkungan (curvature) grafik fungsi.

Derivatif kedua positif, fungsi cembung ke bawah
(convex downward atau concave upward). Saat
derivatif kedua negatif, grafik cekung ke bawah
(concave downward atau convex upward).

Informasi derivatif pertama dan kedua fungsi
memampukan menggambar grafik tanpa
melakukan plot beratus-ratus titik.
Penggunaan Derivatif (4)

Derivatif mempunyai aplikasi pada masalah
penentuan ekstrem (maksimum atau minimum)
fungsi. Sebagai contoh, jika volume benda
ditentukan, maka dapat ditunjukkan bahwa bola
mempunyai luas permukaan terkecil daripada
sebarang bentuk geometri di ruang dimensi-3.
Hal ini memberikan interpretasi bentuk optimum
air hujan berupa bola pejal dengan luas
permukaan terkecil tetapi volume air terbesar.
Contoh masalah derivatif (1)

Diambil kubus dengan panjang setiap sisi
sebesar 8 satuan. Berapakah diferensial
volumenya jika Anda mempunyai kubus
dengan panjang sisi sebesar 7,99?
Contoh masalah derivatif (3)

Hukum Newton untuk pemanasan (atau pendinginan)
menyatakan bahwa laju ubah temperatur T suatu benda
(misal kentang) proporsional terhadap selisih temperatur
antara obyek dengan sekitarnya (misal oven), yaitu,
dT
 k (Toven  T )
dt
Pada saat suhu oven 350o dan suhu kentang di ruangan
( 70o ) dimasukkan ke dalam oven saat t = 0. Diketahui
termometer pengukur suhu pembakaran dimasukkan ke
dalam kentang. Setelah 3 menit, suhu kentang menjadi
150 o. Berapa waktu yang diperlukan agar suhu kentang
mencapai 350o ?
Contoh masalah derivatif (4)
Diketahui V (t) menyatakan volume tumor saat
t. Pertumbuhan tumor diketahui memenuhi
persamaan Gompertzian, yaitu
dV
 ae btV
dt
dengan a dan b konstanta positif. Tunjukkan
bahwa volume tumor naik monoton terhadap
waktu dan mempunyai nilai berhingga untuk t
mendekati1. Tentukan nilai limit tersebut.
Contoh masalah derivatif (5)
Jika banyaknya radioaktif isotop
uranium-232 berkurang 25%
setelah 30 tahun, berapa banyak
radioaktif tersebut setelah 100
tahun? Berapa waktu paruh
radioaktif tersebut?
Contoh masalah derivatif (3)

OPTIMISASI


Masalah optimisasi mengacu pada masalah ekstrem
(maksimum atau minimum).
Hendak dibuat persegi-panjang dengan keliling 1000
cm. Tentukan ukuran panjang dan lebar persegipanjang tersebut sehingga luasnya maksimum!
Contoh masalah derivatif (4)

Cara terbaik menyelesaikan permasalahan adalah
dengan membuat sketsa persegi-panjang yang
hendak ditentukan ukurannya.
Contoh masalah derivatif (5)
(i) Katakan panjang p cm dan lebar ℓ cm. Luas
dinyatakan dengan A dan keliling dinyatakan
dengan K.
(ii) Diperhatikan bahwa A= p ℓ dan K = 2 ℓ +2p.
(iii) Menurut yang diketahui, 2 ℓ +2p = 1000.
(iv) Diperhatikan bahwa A merupakan fungsi
dengan dua perubah. Menggunakan (iii), A
dapat diubah menjadi fungsi satu perubah,
katakan dalam ℓ (Saudara juga dapat
menyatakan ke dalam perubah p saja).
1000  2 p

2
Contoh masalah derivatif (6)
(v) Subtitusi nilai ℓ ke A, diperoleh
A  p
 1000 2 p 
A
p
2


 1000 2 p 2 
  500p  p 2
A


2


(vi) A merupakan fungsi dengan perubah bebas p.
Grafik fungsi A merupakan parabola dengan titik balik
maksimum (p, A), dengan
2
p  250 & A  (500)(250)  (250)  62500.
Contoh masalah derivatif (7)
(vii) Untuk mendapatkan
maksimum p, derivatif A
terhadap p bernilai 0.
(viii) Diperoleh panjang 250
cm dan lebar 250 cm.
(ix) Dengan demikian luas
maksimum sebesar 62.500
centimeter persegi.
A  500p  p 2
dA
 500 2 p  0
dp
500  2 p
250  p
1000 2 p

2
1000 500

 250
2
A  (250)(250)  62500
Derivatif lanjut

Permasalahan di dalam kehidupan sehari-hari
tidak hanya melibatkan fungsi satu perubah.
Permasalahan derivatif untuk fungsi dua
perubah atau lebih membawa diselesaikan
dengan derivatif parsial.
Contoh masalah derivatif fungsi dua
perubah atau lebih

Kimia Fisika (Physical chemists):
sifat-sifat termodinamika dari sistem
kimia menggunakan konsep integral
dan derivatif (derivatif parsial dan
persamaan diferensial).
 Entropy
 The Maxwell relations for the Gibb’s
energy state function
Contoh masalah derivatif fungsi dua
perubah atau lebih

Gibbs free energy and corresponding
Maxwell’s relation
Pustaka

The History of the Calculus and the
Development of Computer Algebra
Systems

http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/cal
ctoc.html

Brendenberger, B.M.Jr., Mathematics, Vol. 1
Ab-Cy, Macmillan reference USA, Thomson
Gale, 2002.