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實驗 五
角加速度、外加力矩及轉動慣量之關係
Angular Acceleration、External Torque
and Moment of Inertia
一、目的（object）
驗證 角加速度
(angular acceleration, a )，
外加力矩 (external torque, t ) ，
轉動慣量
三者之關係。
(moment of inertia, I )
二、理論（theory）
當剛體 (rigid body) 繞一定軸 (axis of rotation) 轉動時，
可將物體細分為甚多之質點，每一質點之質量乘以其距
軸距離之平方並累加，此結果稱為該物體對轉軸之轉動
慣量 I：
I
 mi i
2
i
轉軸之合力矩τ:
τ＝Iα,
α: 角加速度
剛體內質點 i，其切線方向之加速度可由牛頓第二定律求出
Fti  mi ati
兩邊乘上質點至轉軸的距離 ri
ri Fti  ri mi ati
利用力矩定義(t = rF sinf = rFt)，上式可改寫
t i  mi ri a i
2
剛體上所有質點之力矩相加
 t i   mi ri a i
2
i
i
剛體上所有質點之角加速度相同

2
t    mi ri a
 i

I   mi ri
i
2
t  Ia
不同形狀剛體的轉動慣量（轉軸位置不同，轉動慣量會變）
空心薄圓筒
ICM =
MR2
中空圓柱
ICM =1/2 M(R12+R22)
空心圓柱或圓盤
矩形板
ICM = 1/2 MR2
ICM =1/12 M(a2+b2)
細長棒以中心
為轉軸
ICM = 1/12 ML2
細長棒以一端
為轉軸
I = 1/3 ML2
實心球
薄球殼
ICM = 2/5 MR2
ICM = 2/3 MR2
對於不規則物體要如何找出它的轉動慣量？
下圖的三滑輪支架就是不具備特定形狀的物體，
實驗中支架是用來固定圓盤或掛載各附加物，並以支架
的中軸為轉軸來轉動，
三
滑
輪
支
架
α
a
轉軸之合力矩τ可改寫成：
mg
掛
重
，
t  I a  ( I  I 支架 ) a  Fr  ( mg  ma ) r  mgr
*
三滑輪之支架
滑輪
圓盤
空氣墊基座
砝碼和載重盤
圖二、儀器裝置圖
記錄不同  , 所需時間 t , 與力臂 r
 
1
at
2
→
a  2 / t
2
2
t  I a  ( I  I 支架 ) a  Fr  ( mg  ma ) r  mgr
*
(一) 證明在定力矩t 下角加速度a 為定值。
 
1
at
2
a  2 / t
→
2
2
(二) 證明角加速度a 與外加力矩t 成正比。
a  2 / t
t  mgr
2
→
t  Ia
(三) 分析角加速度與轉動體質量分佈之關係。
t  Ia
a  2 / t
2
t  mgr
I
 mi i
2
i