Transcript 1_11
1.11. Возбуждения в
сверхпроводниках
Спектр возбуждений. Щель в спектре
возбуждений. Основное уравнение БКШ.
Критическая температура перехода
Низшие возбужденные состояния
.
Рассмотрим основное состояние системы с N частицами и добавим
к ней еще одну частицу, описываемую плоской волной:
Соответствующая производящая функция:
В терминах операторов вторичного квантования:
Для кинетической энергии имеем:
2
Низшие возбужденные состояния
.
Для потенциальной энергии имеем:
Полная энергия:
Представим волновую функцию с одним возбуждением в виде
Положим
Тогда с помощью новых операторов можно построить набор
3
взаимно ортогональных возбужденных состояний. Возбуждения,
порождаемые этими операторами, будут квазичастицами
Квазичастичный спектр
.
Распределение квазичастиц:
Средняя кинетическая энергия:
Потенциальная энергия:
Оставляя только поправки, зависящие от температуры, получаем:
Энтропия системы:
4
Квазичастичный спектр
.
Свободная энергия системы:
Введем
Минимизируя F относительно fk, получаем:
Находим распределение:
Получен вид функции распределения для свободных фермионов,
однако здесь εk и Δk зависят от температуры
5
Квазичастичный спектр
.
Спектр элементарных возбуждений сверхпроводника и плотность
состояний
6
Щель в спектре
.
Условие самосогласованности:
Если взять в качестве взаимодействия выражение из БКШ, то
Критическая температура определяется из условия равенства щели
нулю:
В пределе низких температур получаем:
7
Щель в спектре
.
Энергетическая щель отделяет область энергетических уровней
элементарных возбуждений от уровня основного состояния
(уровня конденсации электронных пар)
8
Щель в спектре
.
Найдем зависимость энергетической щели от температуры при
низких температурах и температурах, близких к критической
При малых температурах используя метод перевала получаем:
2
2
d
exp[
E
/
T
]
/
E
,
E
0
0
0 1 ; 1 2T 0 exp( 0 / T)
При температурах близких к критической имеем:
1
th( ) 2 T ( in ) 4 T ( 2 n2 ); n T (2n 1)
2T
n
n 0
2 Tc ( Tc T ); 8 2 / 7(3);
1
(2n 1) s (1 2 s )(s);
n0
(3) 1.202
9
3.06;
Щель в спектре
.
Зависимость энергетической щели от температуры:
10
Термодинамика
сверхпроводников
.
Полная энергия системы:
Энтропия:
Для теплоемкости получаем:
11
Термодинамика
сверхпроводников
.
Для свободной энергии в приближении БКШ имеем:
Получаем термодинамическое критическое поле:
Точный расчет дает
Скачок теплоемкости:
Численный расчет:
12
Термодинамика
сверхпроводников
.
Теплоемкость при низких температурах:
C 2 / T 2 f (E)[1 f (E)][E 2 T d dT]
k
2N(0) 2 0 [20 / T 3 / 2 ] exp( 0 / T );
f (E) [1 exp{E / T }]1 ; E k2 2
Теплоемкость при температурах близких к критической:
[C s ( T) C N ( T)] / C N ( T) [1 (1 T / Tc )(2 )];
12 / 7(3); 93(5) / 48 2 (3)
Для вычисления свободной энергии имеем:
2k [uk2nk vk2 (1 nk )] V ukuk ' vk vk ' (1 2fk )(1 2fk ' )
k
k k'
F E TS [k k2 / E k 2fk E k ] 2 / V
k
13
Термодинамика
сверхпроводников
;
.
Свободная энергия при низких температурах:
Fs ( T) FN ( T) [N(0)20 / 2][1 22 T 2 / 320 ] dF
dF N(0) 0 2T 0 exp( 0 / T)
Свободная энергия при температурах близких к критической:
2
Fs ( T ) FN ( T ) N(0)
D
0
21N(0)4 (3)
th[ ]d
J;
2 2
2T
16 T
J V ukuk ' v k v k ' (1 2fk )(1 2fk ' )
k k'
Используем теперь уравнение БКШ
D
1 / V N(0) th[ / 2 Tc ]d
0
Получаем:
Fs ( T ) FN ( T ) 2N(0)
14
Tc T
21N(0)4 (3) /(4 T ) 2
Tc
Термодинамика
сверхпроводников
;
.
Окончательно для свободной энергии получаем:
Fs ( T) FN ( T) 42N(0)( Tc T) 2 / 7(3)
Скачок теплоемкости в критической точке:
(C s C N ) / C N 12 / 7(3) 1.43
Разложение свободной энергии вблизи критической температуры:
2
Fs ( T ) FN ( T ) N(0)
D
0
21N(0)4 (3)
th[ ]d
J;
2T
162 T 2
J V ukuk ' v k v k ' (1 2fk )(1 2fk ' )
k k'
Точный расчет:
Fs ( T ) FN ( T ) 2N(0)
15
T Tc
7N(0)4 (3) /(4 Tc ) 2
Tc