Transcript Исследовательская работа

Исследовательская работа
«Симметрия вокруг нас»
Выполнил
ученик 9 класса
МБОУ «Егорьевская СОШ»
Басов Иван
2013г.
Общие сведения
 Понятие симметрии
 Симметрия в геометрии
 Симметрия в физике
 Симметрия в биологии
 Симметрия в химии
 Симметрия в высшей математике
 Симметрия в архитектуре
Понятие симметрии
Вокруг нас существует огромное количество предметов,
обладающих самыми разными свойствами: цветом, твердостью,
упругостью, формой и т.д.
В данном сообщении мы рассмотрим с вами одно замечательное
свойство, которым обладают многие тела как в пространстве, так и на
плоскости – симметрия. Для начала выясним, что из себя
представляет симметрия а научном понимании это слова!
Симме́три́я (др.-греч. συμμετρία «соразмерность», от μετρέω —
«меряю»), в широком смысле — соответствие, неизменность
(инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях,
преобразованиях (например: положения, энергии, информации,
другого). Так, например, сферическая симметрия тела означает, что
вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на
произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя
симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какойлибо плоскости выглядят одинаково. Нарушение или отсутствие
симметрии называется аритмией.
Симметрия в геометрии
Давайте рассмотрим симметрию с
геометрической точки зрения.
Геометрическая симметрия — это наиболее
известный тип симметрии для многих людей.
Геометрический объект называется симметричным,
если после того как он был преобразован
геометрически, он сохраняет некоторые исходные
свойства. Например, круг повёрнутый вокруг своего
центра будет иметь ту же форму и размер, что и
исходный круг. Поэтому круг называется
симметричным относительно вращения (имеет
осевую симметрию). Виды симметрий возможных для
геометрического объекта, зависят от множества
доступных геометрических преобразований и того,
какие свойства объекта должны оставаться
неизменными после преобразования.
Виды геометрической симметрии
 Зеркальная
 Осевая
 Вращательная
 Центральная симметрия
 Скользящая симметрия
 Винтовая симметрия
Зеркальная симметрия
Зеркальная симметрия или отражение
— движение евклидова пространства,
множество неподвижных точек которого
является гиперплоскостью (в случае
трехмерного пространства — просто
плоскостью). Зеркальная симметрия —
это тип симметрии объекта, когда объект
при операции отражения переходит в
себя. Это математическое понятие в
оптике описывает соотношение объектов
и их (мнимых) изображений при
отражении в плоском зеркале.
Проявляется во многих законах природы
(в кристаллографии, химии, физике,
биологии и т. д., а также в искусстве и
искусствоведении).
Осевая симметрия
Осевая симметрия.
Фигура называется
симметричной
относительно прямой А,
если для каждой точки
фигуры симметричная
ей точка относительно
прямой А также
принадлежит этой
прямой.
Вращательная симметрия
Вращательная симметрия
— термин, означающий
симметрию объекта относительно всех или некоторых
собственных
вращений
m-мерного
евклидова
пространства. Собственными вращениями называются
разновидности изометрии, сохраняющие ориентацию.
Таким образом, группа симметрии, отвечающая
вращениям, есть подгруппа группы E+(m) (см. Евклидова
группа).
Трансляционная симметрия может рассматриваться как
частный случай вращательной — вращение вокруг
бесконечно-удалённой точки. При таком обобщении
группа вращательной симметрии совпадает с полной
E+(m). Такого рода симметрия неприменима к конечным
объектам,
поскольку
делает
всё
пространство
однородным, однако она используется в формулировке
физических закономерностей.
Вращательная симмметрия
Совокупность собственных вращений вокруг
фиксированной точки пространства образуют
специальную ортогональную группу SO(m) —
группу ортогональных матриц m×m с
определителем, равным 1. Для частного случая m
= 3 группа носит специальное название — группа
вращений.
В физике инвариантность относительно
группы вращений называется изотропностью
пространства (все направления в пространстве
равноправны) и выражается в инвариантности
физических законов, в частности, уравнений
движения, относительно вращений. Теорема Нётер
связывает эту инвариантность с наличием
сохраняющейся величины (интеграла движения) —
углового момента.
Центральная симметрия
Центра́льной симме́трией (иногда центра́льной инве́рсией)
относительно точки A называют преобразование пространства,
переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′.
Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается
через Z_A, в то время как обозначение S_A можно перепутать с
осевой симметрией. Фигура называется симметричной относительно
точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A
называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура
обладает центральной симметрией. Другие названия этого
преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в
планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является
поворотом на 180 градусов.
Скользящая симметрия
Скользящая симметрия — изометрия
евклидовой плоскости. Скользящей
симметрией называют композицию симметрии
относительно некоторой прямой l и переноса
на вектор, параллельный l (этот вектор может
быть и нулевым). Скользящую симметрию
можно представить в виде композиции 3
осевых симметрий (теорема Шаля).
Винтовая симметрия
Винтовая симметрия — это симметрия объекта
относительно группы преобразований, являющихся
композицией преобразования поворота объекта вокруг оси
и переноса его вдоль этой оси. Примером из биологии
может послужить вирус табачной мозаики.
Симметрия в физике
Симметрия (симметрии) — одно из фундаментальных понятий в
современной физике, играющее важнейшую роль в формулировке современных
физических теорий. Симметрии, учитываемые в физике, довольно разнообразны,
начиная с симметрий обычного трёхмерного «физического пространства» (такими,
например, как зеркальная симметрия), продолжая более абстрактными и менее
наглядными (такими как калибровочная инвариантность).
Исторически использование симметрии в физике прослеживается с
древности, но наиболее революционным для физики в целом, по-видимому, стало
применение такого принципа симметрии, как принцип относительности (как у
Галилея, так и у Пуанкаре — Лоренца — Эйнштейна), ставшего затем как бы
образцом для введения и использования в теорфизике других принципов
симметрии (первым из которых стал, по-видимому, принцип общей
ковариантности, являющимся достаточно прямым расширением принципа
относительности и приведшего к общей теории относительности Эйнштейна).
Симметрия в физике. Теорема
Нётер
Симметрия в физике
Преобразование
Соответствующая
инвариантность
Соответствующий
закон
сохранения
↕ Трансляции времени
Однородность
времени
…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии
Изотропность
времени
…чётности
↔ Трансляции пространства
Однородность
пространства
…импульса
↺ Вращения пространства
Изотропность
пространства
…момента
импульса
⇆ Группа Лоренца
Относительность
Лоренц-инвариантность
…4-импульса
~ Калибровочное преобразование
Калибровочная инвариантность
…заряда
Согласно
этой теореме
отдельному
виду
симметрии
соотвествует
отдельный
закон
сохранения
Симметрия в физике.
Суперсимметрия.
Суперсимме́трия или симметрия Ферми́ — Бозе́ — гипотетическая симметрия,
связывающая бозоны и фермионы в природе. Абстрактное преобразование суперсимметрии
связывает бозонное и фермионное квантовые поля, так что они могут превращаться друг в
друга. Образно можно сказать, что преобразование суперсимметрии может переводить
вещество во взаимодействие (или в излучение), и наоборот.
По состоянию на начало 2009 года суперсимметрия является физической гипотезой,
не подтверждённой экспериментально. Совершенно точно установлено, что наш мир не
является суперсимметричным в смысле точной симметрии, так как в любой
суперсимметричной модели фермионы и бозоны, связанные суперсимметричным
преобразованием, должны обладать одинаковыми массой, зарядом и другими квантовыми
числами (за исключением спина). Данное требование не выполняется для известных в
природе частиц. Предполагается, тем не менее, что существует энергетический лимит, за
пределами которого поля подчиняются суперсимметричным преобразованиям, а в рамках
лимита — нет. В таком случае частицы-суперпартнёры обычных частиц оказываются очень
тяжёлыми по сравнению с обычными частицами. Поиск суперпартнёров обычных частиц —
одна из основных задач современной физики высоких энергий. Ожидается, что Большой
адронный коллайдер сможет открыть и исследовать суперсимметричные частицы, если они
существуют, или поставить под большое сомнение суперсимметричные теории, если ничего
не будет обнаружено.
Трансляционная симметрия
Трансляционная симметрия — тип симметрии, при которой
свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге
на определённый вектор, который называется вектором
трансляции. Например, однородная среда совмещается сама с
собой при сдвиге на любой вектор, поэтому для неё
свойственна трансляционная симметрия.
Трансляционная симметрия свойственна также для
кристаллов. В этом случае векторы трансляции не
произвольны, хотя их существует бесконечное число. Среди
всех векторов трансляций кристаллической решётки можно
выбрать 3 линейно независимых таким образом, что любой
другой вектор трансляции был бы целочисленно-линейной
комбинацией этих трёх векторов. Эти три вектора составляют
базис кристаллической решётки.
Симметрия в биологии
Симметрия в биологии — это закономерное расположение подобных
(одинаковых, равных по размеру) частей тела или форм живого организма,
совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии. Тип
симметрии определяет не только общее строение тела, но и возможность развития
систем органов животного. Строение тела многих многоклеточных организмов
отражает определённые формы симметрии. Если тело животного можно мысленно
разделить на две половины, правую и левую, то такую форму симметрии называют
билатеральной. Этот тип симметрии свойственен подавляющему большинству видов, а
также человеку. Если тело животного можно мысленно разделить не одной, а
несколькими плоскостями симметрии на равные части, то такое животное называют
радиально-симметричным. Этот тип симметрии встречается значительно реже.
Асимметрия — отсутствие симметрии. Иногда этот термин используется для
описания организмов, лишённых симметрии первично, в противоположность
диссимметрии — вторичной утрате симметрии или отдельных её элементов.
Понятия симметрии и асимметрии альтернативны. Чем более симметричен
организм, тем менее он асимметричен и наоборот. Небольшое количество организмов
полностью асимметричны. При этом следует различать изменчивость формы (например
у амёбы) от отсутствия симметрии. В природе и, в частности, в живой природе
симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Например,
симметричные листья растений при сложении пополам в точности не совпадают.
Виды симметрии в биологии







У биологических объектов встречаются следующие
типы симметрии:
сферическая симметрия — симметричность
относительно вращений в трёхмерном пространстве
на произвольные углы.
аксиальная симметрия (радиальная симметрия,
симметрия вращения неопределённого порядка) —
симметричность относительно поворотов на
произвольный угол вокруг какой-либо оси.
симметрия вращения n-го порядка — симметричность
относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какойлибо оси.
двусторонняя (билатеральная) симметрия —
симметричность относительно плоскости симметрии
(симметрия зеркального отражения).
трансляционная симметрия — симметричность
относительно сдвигов пространства в каком-либо
направлении на некоторое расстояние (её частный
случай у животных — метамерия (биология)).
триаксиальная асимметрия — отсутствие симметрии
по всем трём пространственным осям.
Метамерия
Симметрия вращения n-го порядка
Аксиальная симметрия
Сферическая симметрия
Симметрия в высшей математике
Вы́сшая симме́трия (обобщённая симметрия) — одно из
фундаментальных понятий раздела математики — группового
анализа.
Группа симметрии - некоторого объекта (многогранника или
множества точек из метрического пространства) ― это группа
всех движений, для которых данный объект является
инвариантом (свойство некоторого класса (множества)
математических объектов оставаться неизменными при
преобразованиях определённого типа), с композицией
(применение одной функции к результату другой) в качестве
групповой операции. Как правило, рассматриваются множества
точек n-мерного евклидова пространства и движения этого
пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой
смысл и в более общих случаях.
Симметрия в в высшей
математике





Группа симметрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и
отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4
движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным
множеством симметрий (элементами группы симметрии будут, в частности, повороты на произвольный угол
вокруг прямой, содержащей этот отрезок).
Группа симметрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования,
поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае
группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин
треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симметрической группе S3. Однако группа симметрии
квадрата имеет порядок 8, а симметрическая группа S4 изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.
Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента ―
тождественного преобразования.
Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов:
тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг
другу правую и левую части.
Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент) имеет группу симметрии, элементы которой
всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным
ему элементом
Группы точечной симметрии
Симметрия в архитектуре
 Симметрия в искусстве и декоративных ремеслах
преобладает на протяжении всей истории. Концепции
симметрии применимы в дизайне объектов всех
форм и размеров. Но в живописи (в двухмерной
композиции) она относительно простая, выявление
типов симметрии в трехмерных объектах сложнее,
поскольку наше восприятие объекта изменяется,
когда мы его рассматриваем с разных сторон. В
случае с архитектурой мы не только можем обойти
объект со всех сторон, но и пройти сквозь него. Это
означает, что архитектура предоставляет уникальную
возможность не только видеть симметрию, но
«испытать» её, благодаря тому, что она состоит из
двух частей: «пустоты» и «твердости».
Симметрия в архитектуре




Осевая симметрия
Типы симметрии Сколько существует архитектурных
стилей, столько есть типов симметрии. В целом они
разделены на две категории: точечные группы и
пространственные группы. Точечные группы
характеризуются их отношением, по крайней мере, к
одному важному ориентиру. Пространственные группы не
имеют определенного ориентира.
Двусторонняя симметрия в архитектуре, безусловно,
наиболее распространенная форма, встречаемая во всех
культурах и во все эпохи. В ней две половины композиции
зеркально отражают друг друга (пример - фасад Пантеона
в Риме). Она может присутствовать не только в масштабе
единственного здания, но и в городском пространстве:
такой прием может быть найден в дизайне Праса-дуКомерсиу (Торговая площадь) в Лиссабоне (большая
городская площадь, монументальные ворота, широкая
торговая улица вне ворот симметричны относительно
длинной горизонтальной оси, которая управляет
визуальной перспективой).
Вращательная и отражательная симметрии создают
ощущение движения и ритма, акцентируясь на
центральную точку архитектурного пространства.
Цилиндрическая симметрия в архитектуре может быть
найдена главным образом в башнях и колоннах.
Киральная симметрия, возможно, менее известна, но
часто и эффективно используется в архитектуре.
Симметрия в архитектуре
Осевая и центральная
симметрии
Симметрия подобия в настоящее время
привлекает большое внимание и хорошо
известна, прежде всего, из-за идентификации с
фракталами. Спиральная или винтовая
симметрия в архитектуре может считаться
специальным видом симметрии подобия.
Поступательная симметрия попадает в
пространственную группу, и после двухсторонней
симметрии – это наиболее распространенный
тип симметрии в архитектуре. При всем том, в
большинстве зданий находится более чем один
вид симметрии. К примеру, китайская пагода, в
которой есть и цилиндрическая, и симметрия
подобия.
Спасибо за внимание!