Transcript Презентация
«Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике. Часть 2. (Анализ итогов заочного этапа XVI Ломоносовского турнира в секции математики 5 11 классы)»
Часть 1
Структура заданий и их оценивание
Количество заданий Форма ответа Оценивание 5 4 кода (1, 2, 3 и 4)
только один верный
Верный ответ – 1 балл; неверный – 0 баллов
Часть 2
10 Свободный ответ
Целое число или конечная десятичная дробь
без единиц измерения (!) Верный ответ – 2 балла; неверный – 0 баллов
Идеи решения некоторых задач
5 класс
5.
Маша говорит правду только один день в неделю. Однажды она сказала: "Я лгу по понедельникам и вторникам".
На следующий день она сказала: "Сегодня или четверг, или суббота, или воскресенье".
Еще на следующий день она сказала: "Я лгу по средам и пятницам". В какой день недели Маша сделала первое свое заявление?
1)
вторник
2)
четверг
3)
пятница
4)
воскресенье
Решение.
Краткая запись условия: 1 – я лгу по ПН и ВТ 2 – сегодня или ЧТ, или СБ, или ВС 3 1 – я лгу по СР и ПТ и 3 не может говорить правду в ЧТ, в СБ и в ВС, так как 1 и 3 будут правдой.
Значит, заявление 2 всегда ложно.
Перебор: правду говорит в ПН, ВТ, СР или ПТ, т.е. четыре варианта.
Вывод: правду говорит во вторник (3-й день), а первое заявление - в воскресенье.
15.
На Новогоднем празднике дети пытались угадать, сколько подарков в мешке у Деда Мороза.
Предлагались следующие варианты: 41, 46, 60, 45 и 55. Все эти варианты были неверные, отличались от правильного ответа причем на 8, 12, 7, 2 и 7 (порядок сумму.
необязательно соответствует порядку исходных чисел, а также неизвестно: угадываемое число на столько больше или меньше). Сколько подарков в мешке у Деда Мороза? Если возможны несколько вариантов ответов, то в бланке укажите их
Решение.
Умение выдвигать гипотезы, подмечая закономерности.
Варианты: 41, 46, 60, 45 и 55.
Отличия: на 8, 12, 7, 2 и 7.
Дважды отличие на 7, но при этом среди предположений нет одинаковых вариантов.
Какой вывод можно сделать?
Одно из предположений на 7 больше, а другое – на 7 меньше, т.е. разница между ними 14.
Возможны два варианта: 1) 46 и 60, тогда угадываемое число (количество подарков) – 53.
2) 41 и 55, угадываемое число – 48.
Проверка отличий приводит только к одному верному ответу.
Ответ. 53.
6 класс
10.
Вес соснового бруска 27 кг, а дубового бруска – 45 кг. На весы положили 10 брусков, их общий вес оказался равным 396 кг. Сколько было дубовых брусков?
• • Идея: перебор по последней цифре.
Если количество дубовых брусков нечетно, то число сосновых брусков должно равняться трем.
27 3 + 45 7 = 81 + 315 = 396 Если количество дубовых брусков четно, то число сосновых брусков должно равняться восьми.
27 8 + 45 2 = 216 + 90 ≠ 396 Ответ.
7
12.
За круглым столом сидят 14 человек – рыцари (которые всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут). Каждый из сидящих за столом произнес: "Напротив меня сидит лжец". Сколько всего лжецов сидит за столом?
Решение.
В каждой паре сидящих напротив друг друга – один рыцарь и один лжец.
Ответ.
7
лжецов.
7 класс
4.
Скорость течения реки от
А
составляет 3 км/ч, а от
В
до
С
до
В
— 1км/ч,
АВ =
14 км,
ВС
течению от
А
= 15 до
В
км. Катер плыл по на 15 минут меньше, чем от
В
до
С.
Определите собственную скорость катера.
1) 3)
10 км/ч 12 км/ч
2) 4)
11 км/ч 13 км/ч
14.
работа Сизиф обязан каждый день втаскивать большой камень на вершину горы. В первый день он потратил на подъем в гору и спуск с нее 7 часов. Эта утомительна, понадобилось 8 часов?
и в каждый следующий день он поднимается вдвое медленнее, чем в предыдущий, но зато спускается вдвое быстрее. Сколько времени он потратил на подъем и спуск в третий день, если во второй день ему
П С 2П С 2 П 5 С 2
Решение.
Половина спуска – 2 часа, тогда С – 4 часа, П – 3 часа.
Третий день: 4П + С/4 = 4 3 + 1 = 13.
Ответ. 13.
8 класс
2 4 183 5 6 199 181 2 183 7 194 199 35 199
2 4 183 5 6 199 181 2 183 7 194 199 35 199
15.
На покраску большого деревянного куба размером 2014 краски. Покрашенный куб распилили на кубики размером 1 покраски 2014 1 1.
2014 неокрашенных ушел 1 кг Сколько ещё килограммов краски необходимо для граней маленьких кубиков?
Решение.
Чтобы получить необходимо маленькие сделать кубики, 2013 параллельных распилов в каждом из трех перпендикулярных направлений.
При таком распиле красить надо две грани размером 2014 2014.
2013 3 2 граней –
х кг
6 граней 1
кг.
Ответ. 2013.
9 класс 11.
Окружность, проходящая через вершины
А
,
В
,
С
ромба
ABCD
, пересекает продолжение его стороны
AD
в точке
M
.
Найдите
ABCD
, если площадь
AB=5
, DM=6.
ромба
Решение.
A M
6
K D
5
B C
Ответ. 20.
12.
Валера выкладывает «домики» из спичек (на рисунке изображены такие домики в два и три этажа).
Сколько спичек понадобится Валере, чтобы построить дом из 10 этажей?
Решение.
между Определим количеством количеством этажей: 1 этаж: 1 + 2 спички взаимосвязь спичек 2 этажа: (1+2)+3+4 спичек 3 этажа: (1+2+3+4)+5+6 спичек … и 10 этажей: (1+2+…+18)+19+20=210.
Ответ.
210.
10 класс 6.
Вычислите: 3 2 3 5 3 4 3 10 3 25 6 3 3 1 3 3 4 (2 - 5) + 2 = -1
Ответ. -1.
12.
Перед вами четыре двери, на каждой из них Известно, что за каждой дверью находится либо дракон, либо несметные сокровища (общее число драконов и сокровищ не регламентировано; может быть, там везде драконы, а может, везде сокровища). Что именно находится за дверью, зависит от надписи на ней (за дверью сокровища тогда и только написано тогда, по одному когда утверждению.
надпись истинна, дракон - тогда и только тогда, когда надпись ложна). Какую дверь (по номеру) нужно открыть, чтобы не попасть в лапы дракона?
Если такой двери нет, напишите в ответе 0.
Дверь 3: ложь.
Дверь 2: ложь.
Дверь 4: ложь.
Дверь 1: правда.
Ответ. 1.
11 класс
13.
В теннисном клубе 189 членов: 8 состоят в клубе меньше трёх лет, 11 моложе 20 лет, 70 носят очки, 140 - мужчины. Какое наименьшее возможное число членов клуба удовлетворяет сразу четырём условиям: состоят в клубе не меньше трёх лет, их возраст не меньше 20 лет, носят очки и являются мужчинами?
Решение.
Не меньше трех лет в клубе – 181 Возраст не меньше 20 лет – 178 Носят очки – 70 Мужчины – 140 остаток 8 11 119 49 Принцип наихудшего варианта: 70 21 10 – 49 = 21 – 11 = 10 – 8 = 2.
Ответ. 2.
15.
Клим выкладывает «домики» из спичек (на рисунке изображены такие домики в два и три этажа). Сколько этажей будет в «домике», построенном из 11 325 спичек?