Transcript Aula 07 de Resistência I – Flexão Pura

Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Aula 07
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
II.1. Introdução
II.2. Tração e Compressão de Barras
II.3. Flexão Pura de Barras
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
y
II.3. Flexão Pura de Barras
x
Mx
Supondo M x  0 e M y  0 :
dw   z dz : variacom y
dz   d x

AA'    y d x  dz  yd x
A
M
AA'  dz  dw

dw  y d x
M
dw (variável)
dz
dz
dθ x
dw
z 
y
dz
dz
Logo,  z  E z  Ey
d x
dz
A’
A
dz
eixo da barra

dx
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y
z
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
y
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo M x  0 e M y  0 :
d
N    z dA  0   Ey x dA  0
A
A
dz

A
x
Mx
M
ydA  0 S x  0
dw (variável)
dz
dz
A’
A
O eixo de flexão x é central
d
M y    x z dA  0   Exy x dA  0
A
A
dz
 xydA  0 I xy  0
A
M
dz
eixo da barra

A
Os eixos x e y são principais
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y
dx
z
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
y
II.3. Flexão Pura de Barras
x
Mx
Supondo M x  0 e M y  0 :
M
A
M
dw (variável)
Flexão Reta:
dz
dz
O momento resultante M = Mx
atua segundo um eixo principal
A’
A
dz
eixo da barra

dx
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y
z
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
y
II.3. Flexão Pura de Barras
x
Mx
Supondo M x  0 e M y  0 :
2 d x
M x   y z dA  M x   Ey
dA M
A
A
dz
d x
Mx  E
dz
A
M
dw (variável)
d x
d x M x
A y dA M x  E dz I x  dz  EIx
dz
dz
2
d x
Como  z  Ey
,
dz
A’
A
Mxy
Mxy
z 
z 
EI x
Ix
dz
eixo da barra

dx
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y
z
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
y
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo M x  0 e M y  0 :
y 
x
z
LN: Linha Neutra
Mx
z
x
Mx
M
A
M
dw (variável)
z
dz
dz
SN: Superfície Neutra
A’
A
dz
dz
Mxy
Mxy
As tensões variam
z 
z 
linearmente com y.
EI x
Ix
eixo da barra
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão
dx
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y

z
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
y
II.3. Flexão Pura de Barras
x
Mx
Supondo M x  0 e M y  0 :
Resumindo:
M
N    z dA  0  S x  0 
dw (variável)
A
y0
dz
Mx  
A
dz
Equação da LN
M y    x z dA  0 
A
A
M
I xy  0 Flexão Reta (os eixos x e y são principais)
y z dA   z 
Mxy
Ix
z 
Mxy
EI x
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z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
My
Supondo M x  0 e M y  0 :
Analogamente,
dw   z dz : variacom x
M
x
A
M
dw (variável)
dz
dz
dθ y
dw
z 
x
dz
dz
d y
 z  E z  Ex
dz
A’
A
dz
eixo da barra

dy
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x
z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo M x  0 e M y  0 :
d y
N    z dA  0   Ex
dA  0
A
A
dz
My
M
 xdA  0 S y  0
x
A
M
dw (variável)
dz
dz
A
M x    y z dA  0 
A

A
A’
A
O eixo de flexão y é central

A
xydA  0 I xy  0
Exy
d y
dz
dz
x
dA  0
eixo da barra
Os eixos x e y são principais
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
dy
z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
My
Supondo M x  0 e M y  0 :
M
A
M
dw (variável)
Flexão Reta:
dz
dz
O momento resultante M = My
atua segundo um eixo principal
M y    x z dA 
A
x
z 
 M yx
Iy
A’
A
dz
z 
x
 Myx
EI y
eixo da barra

dy
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z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo M x  0 e M y  0 :
y
x 
z
LN: Linha Neutra
My
z
My
M
A
M
dw (variável)
z
SN: Superfície Neutra
x
dz
dz
A’
A
dz
dz
 M yx
 Myx
As tensões variam
z 
linearmente com x.  z  I
EI y
y
eixo da barra
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão
dy
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x

z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
My
Supondo M x  0 e M y  0 :
Resumindo:
M
N    z dA  0  S y  0 
dz
dz
Equação da LN
M x   y z dA  0 
A
A
M
dw (variável)
A
x0
x
I xy  0 Flexão Reta (os eixos x e y são principais)
M y    x z dA   z 
A
 M yx
Iy
z 
 Myx
EI y
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z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo M x  0 e M y  0 :
Se o eixo de flexão não é um eixo
principal, obtém-se, do PSE,
Mx y M yx
z 

Ix
Iy
Mx y Myx
z 

EI x
EI y
M x
M
A
M
dw (variável)
dz
As tensões e as deformações
variam linearmente com x e com y
 Mx y M yx 

 x   y   

EI y 
 EI x
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dz
M  M x2  M y2
z
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II.3. Flexão Pura de Barras
M x
Supondo M x  0 e M y  0 :
M
A
M
dw (variável)
Flexão Oblíqua:
dz
O momento resultante M não
atua segundo um eixo principal
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dz
M  M x2  M y2
z
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II.3. Flexão Pura de Barras
M x
Supondo M x  0 e M y  0 :
Equação da LN:
M
Mx y Myx
Ix M y
z 

0  y 
x
Ix
Iy
Iy Mx
dw (variável)
dz
Se M x  M cos e M y  M sen  ,
 Ix


y
t an  x
I

y


ou
A
M
y  tan  x
A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão
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dz
M  M x2  M y2
y
M

LN

x
z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
M x
Supondo M x  0 e M y  0 :
Tensões Máximas:
M
M x y M y x é a equação de um plano que
z 

Ix
I y intercepta a seção na LN.
dw (variável)
dz
Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos
mais afastados da LN: A e B
x A  xt
y A  yt
A
M
xB  xc
yB  yc
dz
M  M x2  M y2
y
M
A
yA x A 
LN

yB
xB B
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x
z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
M x
Supondo M x  0 e M y  0 :
Tensões Máximas:


T
máx
C
máx
M
M x yt M y xt M x M y




Ix
Iy
Wxt Wyt
dw (variável)
dz
M x yc M y xc M x M y




Ix
Iy
Wxc Wyc
Ix
Wxt 
yt
Wyt 
Iy
xt
Ix
Wxc 
yc
A
M
onde
Wyc 
dz
M  M x2  M y2
y
M
A
yA x A 
Iy
xc
LN

yB
xB B
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x
z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
M x
Supondo M x  0 e M y  0 :
M

T
máx
Mx My


Wxt Wyt

C
máx
Mx My


Wxc Wyc
A
M
dw (variável)
dz
dz
 Mx y M yx 
Mx y Myx

z 

 x   y   


EI x
EI y
EI
EI
x
y


M  M x2  M y2
y
M
A
yA x A 
W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Barra
EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Barra
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LN

yB
xB B
x
z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
M x
Supondo M x  0 e M y  0 :
Se M x  M cos e M y  M sen  ,
M
T
 máx
 cos sen   M
Mx My



 M

 W
 W
Wxt Wyt
W
xt
yt
t



 cos sen   M
Mx My



 M

 W
Wxc Wyc
Wyc  Wc
 xc
C
máx
onde
A
M
dw (variável)
dz
1 Wi  cos Wxi  sen Wyi , i  t, c
dz
M  M x2  M y2
y
M
A
yA x A 
LN

yB
xB B
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x
z
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
1 d x M x



dz   d x
 dz EIx
y
M
x
 0 e M y  0:
M


v
1  v 
2
3
A
M
dw (variável)
Da Geometria Analítica,
1
x
Mx
dz
dz
(equação da curvatura)
A’
A
2
dz
S
y
Mx
z
v
eixo da barra
 x  v
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
dx
z
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
1 d x M x



dz   d x
 dz EIx
y
M
x
 0 e M y  0:
M


v
1  v 
2
3
dw (variável)
dz
(equação da curvatura)
dz
Como  x  1
(hipótese das pequenas deformações),
2
S
Mx
z
A
M
Da Geometria Analítica,
1
x
Mx
v
d 2v M x
 v  2 

dz
EI x
1
 x  v
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z
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
2
d v Mx

Equação Diferencial
2
dz
EI x da Linha Elástica (LE)
y
M
x
 0 e M y  0:
M
x
Mx
A
M
dw (variável)
dz
Integrando esta equação,
M
dv
  x   x dz  C1 (expressão da rotação)
dz
EI x
Mx
v  
dz  C1 z  C2 (expressão da flecha)
EI x
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dz
z
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
y
M
Mx
x  
dz  C1
EI x
M
v   x dz  C1 z  C2
EI x
As constantes de integração
são determinadas a partir de:
a)
condições de apoio;
b) condições de continuidade da LE
x
 0 e M y  0:
M
x
Mx
A
M
z
dw (variável)
dz
dz
Observação importante:
Não se deve utilizar condições
relacionadas ao carregamento; não são
gerais para a viga e sim particulares para
aquele carregamento específico.
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Exemplos:
S
a)
qL 2
z
q
M
x
 0 e M y  0:
M
x
Mx
dw (variável)
dz
L
 qL
q
Mx 
z  z2
2
2
Mx
x  
dz  C1
EI x
Mx
v  
dz  C1 z  C2
EI x
qL 2
A
M
dz
Condições de apoio:
em z  0, v  0 e
em z  L, v  0 .
Substituindo-se a expressão de
Mx e as condições de apoio nas
expressões da rotação e da
flecha, determina-se C1 e C2.
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z
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Exemplos:
b)
S1 P S2
y
M
x
 0 e M y  0:
M
x
Mx
A
M
dw (variável)
z
dz
dz
z
P2
L2
L2
P
P
PL
M xS1 
z , 0  z  L 2 e M xS2  z 
, L 2  z  L
2
2
2
M xS1
M xS2
 xS1  
dz  C1
 xS2  
dz  C3
EI x
EIx
M xS2
M xS1
vS2  
dz  C3 z  C4
vS1  
dz  C1 z  C2
EI x
EI x
P2
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z
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y
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Exemplos:
b)
P2
M
x
 0 e M y  0:
M
S1 P S2
x
Mx
A
M
dw (variável)
z
z
L2
Condições de apoio:
em z  0, v  0 e
em z  L, v  0 .
dz
L2
dz
P2
Condições de continuidade da LE:
em z  L 2 , xS1   xS2 e
em z  L 2 , vS1  vS2 .
Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões
da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3 e C4.
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z
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
y
M
d u My

Equação Diferencial
2
dz
EI y da Linha Elástica (LE)
2
x
 0 e M y  0:
M
My
A
M
dw (variável)
dz
Integrando esta equação,
My
du
y   
dz  C1 (expressão da rotação)
dz
EI y
My
u  
dz  C1 z  C2 (expressão da flecha)
EI y
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x
dz
z
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
y
M
x
d u My

2
dz
EI y
2
2
d v Mx

2
dz
EI x
 0 e M y  0:
M
dw (variável)
du
y 
dz
   x2   y2
(expressão da rotação)
  u 2  v2
(expressão da flecha)
A
M
dz
dv
x 
dz
M x
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dz
z
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Convenção de Sinais:
qz 
V y z   dVy z 
V y z 
M x z 
M x z   dM x z 
dz
x  0
v0
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Analogia de Mohr:
d 2v M x

2
dz
EI x
q
equação diferencial da LE
v
2
d Mx
dz2
Viga Real:
d 2v M x

2
dz
EI x
viga real
equação fundamental da
Estática
Viga Conjugada:
dv dz   x
M x EI x
d 2M x
q
2
dz
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viga conjugada
Mx
dM x dz  Vy
q
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
A viga conjugada é construída a partir das condições
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
q
x  0
v0
viga conjugada
v
Analogia de Mohr:
viga real:
viga real
x  0
v0
Mx
dv dz   x
dM x dz  Vy
q
M x EI x
q
x  0
v0
M x EIx
x  0
v0
M x EIx
viga conjugada:
Vy  0
Mx  0
Vy  0
Mx  0
Vy  0
Mx  0
Vy  0
Mx  0
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
v
Analogia de Mohr:
A viga conjugada é construída a partir das condições
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
q
viga real:
x  0
v0
viga real
dv dz   x
M x EI x
 xesq   xdir  x  0
v0
v0
M x EIx
viga conjugada:
Vy  0
Mx  0
Vyesq  Vydir Vy  0
Mx  0
Mx  0
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viga conjugada
Mx
dM x dz  Vy
q
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
v
Analogia de Mohr:
A viga conjugada é construída a partir das condições
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
q
viga real:
x  0
v0
viga real
 xesq   xdir
v esq  v dir
dv dz   x
M x EI x
x  0
v0
M x EIx
viga conjugada:
Vy  0
Mx  0
Vyesq  Vydir Vy  0
M xesq  M xdir M x  0
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
viga conjugada
Mx
dM x dz  Vy
q
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
v
Analogia de Mohr:
A viga conjugada é construída a partir das condições
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
q
viga real:
x  0
v0
viga real
dv dz   x
M x EI x
 xesq   xdir  x  0
v0
v0
M x EIx
viga conjugada:
Vy  0
Mx  0
Vyesq  Vydir Vy  0
Mx  0 Mx  0
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
viga conjugada
Mx
dM x dz  Vy
q
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
II.3. Flexão Pura de Barras
Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor
Resistência e
Estabilidade:
y
M x
A
 lim
M
M
onde
d 
dw (variável)
R
dz
dz
 d é a máxima tensão de cálculo
 lim é a tensão limite (função do estado limite considerado) e
 R é o coeficiente de resistência
T
M

T
 d   dT,máx  d  lim  M d  Wt  lim
R e
Wt
R
C
M

C
R
 d   dC,máx  d  lim  M d  Wc  lim
Wc
R
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z
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
y
II.3. Flexão Pura de Barras
M x
Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor
Rigidez:       
lim
2
x
2
y
e/ou
onde
  u  v   lim
 lim é a rotação limite e
 lim é a flecha limite
2
2
q
Ex:
qL 2
L
vmáx
qL 2
M
A
M
z
dw (variável)
dz
dz
5qL4
L
  vmáx 


384EI x 300
EI
q  0,256 3x
L
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Fim da Aula 07
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