Transcript I paradossi della regola di maggioranza

Il Problema della Scelta di
Gruppo
Il Paradosso di Condorcet: Un insieme di
individui con preferenze razionali non ha
necessariamente preferenze razionali
quando agisce come gruppo.
La razionalità individuale non è sufficiente per
assicurare la razionalità di gruppo.
Individui razionali hanno ordinamenti di
preferenze completi e transitivi.
Attori Razionali
x  i y indica che x è preferito a y dall’individuo i nel
senso che, data una scelta tra x e y, l’individuo
sceglierebbe x.
Un attore ha un ordinamento completo di
preferenze se può confrontare ogni coppia di
elementi (che chiameremo x e y) in un insieme di
risultati in uno dei seguenti modi – l’attore preferisce
x a y, preferisce y a x, o è indifferente tra i due.
Un attore ha un ordinamento transitivo di
preferenze se, per qualsiasi x, y, e z nell’insieme di
risultati, è il caso che se x è preferito a y e y è
preferito a z, allora x deve essere preferito a z.
Il Paradosso di Condorcet:
Un Esempio
Immaginate un parlamento composto da tre
persone o tre gruppi coesi che devono
decidere se:
Incrementare l’impegno militare (I)
Diminuire l’impegno militare (D)
Mantenere i livelli correnti di impegno militare(C)
Supponiamo che i parlamentari
abbiano le seguenti preferenze:
D>I>C
I>C>D
Preferenze dei parlamentari
nei confronti dell’impegno militare
Parlamentare
“pacifista”
Parlamentare di
Centro
D>C>I
C>I>D
Parlamentare
vicino agli
interessi
dell’esercito
I>D>C
Nota: I = Incrementare l’impegno militare; D = Diminuire l’impegno militare;
C = Mantenere il livello corrente di impegno militare;
> : “è strettamente preferito a”.
Torneo Round Robin Girone all’Italiana
Supponiamo che i consiglieri votino su tutti i
possibili confronti a coppia delle alternative,
utilizzando la regola della maggioranza, e
l'alternativa che vince il maggior numero di
confronti è la scelta del gruppo.
Condorcet Paradox
ranking
Parlam.
pacifista
Parlam.
di
Centro
Parlam.
vicino
all’esercito
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
Parl.pacifista, e parl. vicino
all’esercito scelgono D contro C
ranking
Parlam.
pacifista
Parlam.
di
Centro
Parlam.
vicino
all’esercito
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
Parl.di centro, e parl. vicino
all’esercito scelgono I contro D
ranking
Parlam.
pacifista
Parlam.
di
Centro
Parlam.
vicino
all’esercito
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
Parl.pacifista, e parl. di Centro
scelgono C contro I
ranking
Parlam.
pacifista
Parlam.
di
Centro
Parlam.
vicino
all’esercito
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
Ma Parl.pacifista, e parl. vicino
all’esercito scelgono D contro C...
ranking
Parlam.
pacifista
Parlam.
di
Centro
Parlam.
vicino
all’esercito
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
Il gruppo “non può decidere":
ogni alternativa vince 1 giro
Esiti dei Girone all'Italiana
(Torneo Round Robin)
Giro
Confronto
Vincitore
Maggioranza
vincente
1
Diminuzione vs
Impegno corrente
D
Pacifista+vicino
interessi esercito
2
Incremento vs
Diminuzione
I
Centro+vicino
interessi esercito
3
Corrente vs.
Incremento
C
Pacifista+Centro
Queste preferenze, in combinazione con
questa procedura, produce “Maggioranze
Cicliche”
Il parlamentare pacifista
propone una diminuzione
dell’impegno e il parlamentare
Vicino all’esercito accetta
INCREMENTO
LIVELLO CORRENTE
RISULTATO: INSTABILITÀ
Il parlamentare pacifista
propone il livello corrente
ed il parlamentare di centro
accetta
Il parlamentare di centro
propone un aumento
e il parlamentare
vicino all’esercito accetta
DIMINUZIONE
Il Paradosso di Condorcet
Questo esempio dimostra che è possibile che un
insieme di individui razionali formi un gruppo con
preferenze intransitive.
In altre parole, la razionalità individuale e la regola
della maggioranza non garantiscono che
un’alternativa emerga come un vincitore
Condorcet.
Un vincitore Condorcet è quell'alternativa che
batte tutte le altre in una serie di confronti a
coppie.
La regola della maggioranza è
problematica
Chi è la maggioranza? (ogni alternativa ha una sua
maggioranza)
A volte non c'è vincitore finale
Quando le preferenze del gruppo sono intransitive, non
c’è un risultato stabile o oppure il risultato è
determinato dalle regole del gioco.
1.
2.
3.
•
Tipicamente, la regola che designa chi organizza l’agenda
(agenda setter) è decisiva
Quanto serio è il problema del
paradosso di Condorcet?
Probabilità di intransitività di un gruppo =f(m, n)
dove
m è il numero di alternative e
n è il numero di votanti
In particolare:
Pr (intransitività) = # di configurazioni di preferenze “problematiche”
(m!)n
Quando il numero delle alternative o il
numero dei votanti è grande…
le maggioranze cicliche sono più probabili
Proporzione di Possibili Ordini Forti di Preferenze
senza un Vincitore di Condorcet
Numero di votanti
Numero di
alternative
3
5
7
9
11
3
0,056
0,069
0,075
0,078
0,080
0,088
4
0,111
0,139
0,150
0,156
0,160
0,176
5
0,160
0,200
0,215
6
0,202
Limite
0,251
0,315
↓
Limite
→
↓
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
L’Instabilità della Regola della
Maggioranza
Dal momento che molte decisioni in
democrazia includono molti “votanti" o un
gran numero di alternative, se le decisioni
vengono prese impiegando un torneo roundrobin, dovremmo osservare una grande
instabilità politica.
La maggior parte degli studiosi ritengono che si
osserva più stabilità politica di quanto il
paradosso di Condorcet suggerirebbe.
Le Istituzioni sono importanti
Un motivo per cui non osserviamo instabilità è
che in realtà i processi decisionali sono
incanalati da regole (istituzioni) che
riducono l’insieme delle alternative fra le
quali il gruppo sceglie o predispongono un
ordine di scelta finito. Un quest’ultimo caso
possono risultare cruciali l’agente che
predispone l’agenda (l’agenda setter)
Che cosa è un’Agenda?
Un piano che determina l'ordine in cui si
svolgono le votazioni (ordine del giorno). Ad
esempio:
Primo turno: I vs. D
Secondo turno: Vincitore del 1° turno vs. C
Chiunque controlli l’agenda controlla
l’esito finale

Si immagini che la votazione avvenga in due passaggi e
che il legislatore pacifista controlli l’agenda..
C
I
C
D
D
ranking
Leg. Leg. Leg.
pacif. Cen. eserc.
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
Chiunque controlli l’agenda controlla
l’esito finale

Si immagini che sia il legislatore di centro a controllare
l’agenda..
I
D
I
C
C
ranking
Leg. Leg. Leg.
pacif. Cen. eserc.
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
Chiunque controlli l’agenda controlla
l’esito finale

Si immagini che sia il legislatore vicino agli interessi
dell’esercito a controllare l’agenda..
C
D
D
I
I
ranking
Leg. Leg. Leg.
pacif. Cen. eserc.
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
Il Potere dell'Organizzatore
dell'Agenda
Pertanto, una ragione per la quale la politica
sembra essere più stabile di quanto si
potrebbe prevedere alla luce del paradosso
di Condorcet è che è data, ad uno o più
attori, la possibilità di organizzare l'agenda.
Se questo è vero, allora la stabilità è stata
raggiunta a scapito dell'equità (in quanto
l'organizzatore dell'agenda si comporta come
un dittatore – viene sempre scelta la sua
alternativa preferita)
Stabilità attraverso restrizioni
sulle preferenze:
Un altro modo con cui si potrebbero produrre
risultati stabili, nonostante la presenza di
molti votanti ed un gran numero di
alternative, è quello di imporre delle
restrizioni alle preferenze che gli attori
possono avere.
Teorema del Votante Mediano
Se,
1. In un confronto tra due alternative
2. Disposte lungo una singola dimensione
politica
3. Ci sono un numero dispari di votanti
4. Con preferenze a picco singolo
5. Che votano in modo sincero
Allora, la proposta in corrispondenza del punto
ideale del votante mediano batterà tutte le
altre alternative
1. Confronto tra due alternative
Nella versione di Black (1948), queste erano alternative
presentate da un comitato. I membri del comitato erano
liberi di proporre qualsiasi modifica dello status quo, ma
eventualmente, se veniva presentato il punto ideale del
votante mediano del comitato, questo avrebbe vinto,
sarebbe diventato il nuovo status quo e nessuna
alternativa l'avrebbe battuto.
In quella di Downs (1957), le alternative erano pensate
come proposte politiche di due partiti che contendevano
un'elezione. Sebbene i partiti potessero proporre
qualsiasi punto sulla linea, qualsiasi partito che avesse
proposto una politica diversa da quella corrispondente al
punto ideale del votante mediano poteva essere
sconfitto da un concorrente che l'avesse fatto.
2. Una singola dimensione
politica
La stabilità trovata nel Teorema del Votante
Mediano dipende molto dal presupposto
secondo il quale la politica è
"unidimensionale". Se gli elettori hanno a
cuore differenze distribuite su più di una
dimensione politica, abbiamo bisogno di
cambiare la natura delle restrizioni sugli
assunti per ottenere una soluzione unica.
3. Un numero dispari di votanti
Questo presupposto è comodo per la
modellazione.
Senza di esso non ci sarebbe un "votante
mediano", vale a dire non ci sarebbe un
votante posizionato in modo tale che ci siano
un numero uguale di votanti su ciascun lato
dello spazio politico.
4. Preferenze a Picco Unico
Votanti con preferenze a picco unico hanno un punto ideale nello
spazio politico e la loro utilità (benessere) declina se la
politica si allontana da tale punto.
Alcuni ordinamenti razionali di
preferenze violano il principio del
picco unico
Quando le alternative possono essere disposte su una sola
dimensione ossia quando le curve di utilità di ciascun votante sono a
picco singolo allora c’è un vincitore : il votante mediano
Utility
1°
ranking
Leg.1 Leg.2 Leg.3
1°
D
C
D
2°
C
D
I
3°
I
I
C
2°
3°
I
D
C
Quando le alternative possono essere disposte su una sola
dimensione ossia quando le curve di utilità di ciascun votante sono a
picco singolo allora c’è un vincitore : il votante mediano
Utility
ranking
Leg.1 Leg.2 Leg.3 1°
1°
D
C
D
2°
I
D
C
3°
C
I
I
2°
3°
I
D
C
Quando c’è il paradosso di Condorcet (nessun vincitore) allora le
alternative non possono essere disposte su una sola dimensione
ossia le curve di utilità di ciascun votante non sono tutte ad un solo
picco.
2 peaks
Utility
1°
2°
3°
ranking
Leg.1 Leg.2 Leg.3
1°
D
C
I
2°
C
I
D
3°
I
D
C
D
C
I
Quando c’è il paradosso di Condorcet (nessun vincitore) allora le
alternative non possono essere disposte su una sola dimensione
ossia le curve di utilità di ciascun votante non sono tutte ad un solo
picco.
2 peaks
Utility
1°
ranking
Leg.1 Leg.2 Leg.3
1°
D
I
C
2°
C
D
I
3°
I
C
D
2°
3°
I
C
D
Su 2 o più dimensioni l’equilibrio (il vincitore) non è garantito, è anzi
improbabile.