Transcript Document

Lineární zobrazení
Zobrazení f množiny A do množiny B
f: A  B
je taková relace f mezi množinami A, B,
která splňuje vlastnost:
ke každému x  A existuje právě jedno y  B tak,
že f(x) = y
Zobrazení f: U  W je lineární
(U, W jsou vektorové prostory )
f(u + v) = f(u) + f(v)
f(au) = af(u)

u, v  U a
aR
Příklady lineárního zobrazení

Zobrazení, které přiřadí každé matici matici k ní
transponovanou.
(aA + bB)T = aAT + bBT

Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho
první derivaci.
(af + bg)´ = a (f´ ) + b (g´ )

Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho
druhou derivaci.
Obraz nulového vektoru
Obrazem nulového vektoru
je v lineárním zobrazení
opět nulový vektor
Nechť U, W jsou vektorové prostory,
f: U  W je lineární zobrazení.

f(U) = {y  W: y = f(x), x  U }
Označme f(U) = Im f

f(U) je podprostor ve W

Nazývá se obraz vektorového prostoru U
v zobrazení f a značí se Im f.

Jeho dimenzi nazveme
hodností lineárního zobrazení f.
Platí tedy: hod f = dim f(U).
Zobrazení je určeno obrazy
vektorů báze
Nechť B = b1, b2, …, bn je uspořádaná báze
vektorového prostoru U a
nechť w1, w2, …, wn jsou vektory z prostoru
W.
Pak existuje právě jedno zobrazení
f: U  W takové, že
f(bi) = wi, i = 1, 2, ..., n.

Lineární zobrazení přiřazuje lineárně
závislým vektorům opět lineárně závislé
vektory.

Lineární zobrazení může lineárně
nezávislým vektorům přiřadit vektory
lineárně závislé.
U, W jsou vektorové prostory,
f: U  W je lineární zobrazení

Množinu všech vektorů z U, které se zobrazí do
nulového vektoru prostoru W, nazýváme jádro
zobrazení f.

Značíme: Ker f = {x  U: f(x) = oW }

Jádro lineárního zobrazení je podprostor v U

Dimenze jádra lineárního zobrazení f se nazývá
defekt lineárního zobrazení f.
def f = dim Ker f
Matice lineárního zobrazení

Nechť f: U  W je lineární zobrazení,
B = b1, b2, …, bn je uspořádaná báze
vektorového prostoru U a F = f1, f2, …, fm
je uspořádaná báze vektorového prostoru W.

Vyjádřeme obrazy vektorů báze B v bázi F:
f(b1) = a11f1 + a12f2 + … + a1mfm
f(b2) = a21f1 + a22f2 + … + a2mfm  a a 

 a12
f(bn) = an1f1 + an2f2 + … + anmfm 


Matice lineárního zobrazení vzhledem 
 a1m
k bázím B, F
11
21
a 22
a2m
a n1 

 an2 
 

 a nm 
Lineární zobrazení f: R3  R3 je definováno
vztahem
f((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 – 3x2 + x3)
Najděte matici tohoto lineárního zobrazení
Najdeme obrazy vektorů kanonické
báze prostoru R3.
(1, 0, 0)  (0, 2, 1)
1 1
0


(0, 1, 0)  (1, 0, –3)
0 1
2
(0, 0, 1)  (1, 1, 1)
 1  3 1


Hodnost lineárního zobrazení
je rovna hodnosti matice A tohoto lineárního
zobrazení
hod f = dim f(U) = dim Im f
hod f = hod A
Hodnost lineárního zobrazení
hod f = hod A = dim f(U) = dim Im f
def f = dim Ker f
dim f(U) + dim Ker f = dim U
hod f + def f = dim U
Lineární zobrazení je definováno vztahy: f(1,
2) = (–2, 1), f(2, 1) = (6, –3).
Určete matici tohoto zobrazení
 Určete hod f, Ker f a def f
 Najděte všechny vektory u, které se zobrazí
do vektoru (4, –2),
tj. f(u) = (4, –2).

Na které vektory se při daném zobrazení
zobrazí vektory kanonické báze?
1,0   13 1,2  2 3 2,1
0,1  2 3 1,2  13 2,1

 13 – 2,1  2 3 6,–3  14 3 , 7 3 

2
3
– 2,1  13 6,–3   10 3 , 6 3 
 14 3  10 3  1  14  10

  

7
5

3 7 5 
3
 3
1  14  10

  7,5
37 5 
hod A = hod f = 1
def f = dim R2 – hod f = 2 – 1 = 1
Jádro zobrazení
1  14  10   x1   0 

.    
5   x2   0 
3 7
soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých
7x1 – 5x2 = 0  x = k.(5, 7), kde k  R
Ker f = {x  R2 : x = k.(5, 7), k  R}
Pro všechny vektory u, které se zobrazí
na vektor (4, –2) platí:
1  14  10  u1   4 

.    
3   7 5   u2    2 
soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých
7u1 – 5u2 = 6  u = (3, 3) + t.(5, 7), kde t  R
Změna matice lineárního zobrazení
při změně báze
Lineární zobrazení f: R3  R3 je určeno maticí A
vzhledem ke kanonické bázi E.
Najděte matici B tohoto zobrazení vzhledem
k bázi F = (0, 1, 1), (2, 0, –1), (–1, 1, 1).
 1

A  0
 1

1
2

1  1
0  2 
1. obrazy vektorů báze F
ve zobrazení f
 1

 0
 1

1
2 0
 
1  1. 1  
0  2   1 
 1 
 
 0 
  2
 
f(f2) = (0, 1, 4)

f(f1) = (1, 0, –2)
f(f3) = (0, 0, –3)
2. souřadnice obrazů vektorů báze
vyjádříme vzhledem k bázi F
(1, 0, –2) = –3.(0, 1, 1) + 2.(2, 0, –1) + 3.(–1, 1, 1)
(0, 1, 4) = 7.(0, 1, 1) – 3.(2, 0, –1) – 6.(–1, 1, 1)
(0, 0, –3) = –6.(0, 1, 1) + 3.(2, 0, –1) + 6.(–1, 1, 1)
matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F je
7  6
3


B   2 3
3
 3 6

6


Lineární zobrazení f: R3  R2 je určeno maticí A
vzhledem ke kanonickým bázím E, F. Najděte
matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H,
je-li
G = (1, 1, 1), (0, 1, 2), (2, –1, 1),
H = (1, 1), (2, 3)
 2  3 1

A  
1 1
1
1. obrazy vektorů báze G
ve zobrazení f
 1
 2  3 1  

.1 
1 1  
1
 1
0
 
 3
f(g2) = (–1, 3)

f(g1) = (0, 3)
f(g3) = (8, 2)
2. souřadnice obrazů vektorů báze
vyjádříme vzhledem k bázi H
(0, 3) = –6.(1, 1) + 3.(2, 3)
(–1, 3) = –9.(1, 1) + 4.(2, 3)
(8, 2) = 20.(1, 1) – 6.(2, 3)
matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H je
  6  9 20

B  
4  6
 3