Transcript 波動學基礎

主要內容：
1、振動與波的區別和聯繫，描述簡諧波的各物理量；
2、平面簡諧波的規律；
3、波的疊加原理—波的干涉。
波動是振動狀態的傳播過程。它也是能量傳播的過程。
可分為兩大類：
機械波—機械振動在彈性介質中的傳播過程。
電磁波—變化的電場和變化的磁場在空間的傳播過程。
雖然各類波的本質不同，但是都伴有能量的傳播，都
能產生反射、折射、干涉和衍射等現象，作為波動的物理
共性是相同的，且有相似的數學描述。本章重點：機械波
的特徵及基本規律。
§1、
機械波的產生和傳播
一、機械波產生的條件
波源和彈性媒質
（兩者缺一不可）
二、機械波的分類
橫波：質點的振動方向與波的傳播方向垂直。
（如繩子上的波）
縱波：質點的振動方向與波的傳播方向平行。
（如聲波）
橫波的波動
波的傳播方向
y
振
動
方
向
x
特點：具有波峰和波谷
縱波的波動
波的傳播方向
質點振動方向
疏
密
疏
疏
特點：具有疏密相間的區域
密
疏
2.橫波和縱波
橫波：質點的振動方向和波的傳播方向垂直。
縱波：質點的振動方向和波的傳播方向平行。
波谷
波峰
振動方向
傳播方向
波密
波疏
三、波的形成和傳播（以橫波為例）
1、過程分析：由於媒質內各質點間存在相互作用力，故
當一個質點振動後，在媒質內部的彈性力作用下，將帶動
其周圍其它的質點也相繼振動起來………如此依次帶動，
振動狀態由近及遠地傳播開去
形成機械波。
t0
t 
1 2
3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13
8
（振動狀態
傳至4）
9 10 11 12 13
T
4
1 2
3
4
5
6 7
（靜止）
t 
T
2
t 
1 2
3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13
（振動狀
態傳至7）
9 10 11 12 13
（振動狀
態傳至10 )
3T
4
t T
1 2
1 2
3
3
4
4
5
5
6 7
6 7
8
8
（振動狀
9 10 11 12 13 態傳至13
）
2. 特點
（1）各質點僅在自己的平衡位置附近振動，並不
隨波前進。
（2）振動狀態以一定的速度傳播—波速。（注意
波速不是質點的振動速度）
（3）波的週期與質點的振動週期相同。
沿波的傳播方向，各質點的相位依次落後。
（4）波形在空間移動—行波。
§2、 描述波動的物理量 波長 波速 波的週期
1、波長（ ）— 在同一條波線上，周相差為2的兩質
點間的距離，即一個完整的波的長度。或波源完
成一次全振動波前進的距離。
2、波的週期 （T）—波 傳播一個波長所用的時間。
與波源的振動週期相同。
頻率 （ ）—單位時間通過某一觀察點的完整波數目
即每秒鐘波沿傳播方向前進的波長數，
波源1秒鐘完成全振動的次數。
頻率和週期只決定于波源，和媒質無關。
3、波速（u）—單位時間 內一定的振動狀態（相位）
傳播的距離，故又稱為相速。（與介質有關）
 、 T ( )、 v 之间的关系
u 
  
T
F
波速取決於介質密度和彈性模量：
φ
G
s
F
G 切變彈性模量
ρ密度（單位體積品質）
F
橫波波速
（固體）
v

G 
S
波的頻率取決於振源（波源）
波的速度取決於媒質（取決於媒質的力學性質）
在固體中可以傳播橫波或縱波，
在液體、氣體(因無剪切效應)中只能傳播縱波。
4、波的幾何描述
波射線--代表波的傳播方向的射線。
波陣面--波場中同一時刻振動位相相同的點的軌跡
。
波前--某時刻波源最初的振動狀態
傳到的波面。
各向同性均勻介質中，波射線恒與波陣面垂直
.
沿波射線方向各質點的振動相位依次落後。
平面波
波線
波面
波線
波面
球面波
波線
波線
波
面
波面
描述平面波動的基本模型---平面簡諧波
平面簡諧波
媒質中各個質點都做同頻率同振幅的簡諧振動，
所不同的是先後起振的次序不同，也即位相不同。
波動方程：描述介質中各質點的位移隨時間的變
化關係。
平面簡諧波
y
x
X：表示媒質中各個質點的位置
Y：表示各個質點離開平衡位置的位移
波動方程：y = f (x)
平面簡諧波的波動表式
平面簡諧行波，沿x 軸的正方向傳播，波速為u 。取
任意一條波線為x 軸，取O 作為x 軸的原點。O點處質
點的振動表式為
y 0 ( t )  A cos(  t   0 )

u
y
P
O
x
x

u
y
y 0 ( t )  A cos(  t   0 )
P
x
O
x
考察波線上任意點P，P點振動的相位將落後於O點。
若振動從O 傳到P所需的時間為t，在時刻t，P點處質點
的位移就是O 點處質點在t – t時刻的位移，從相位來說，
P 點將落後於O點，其相位差為 t。
P點處質點在時刻t 的位移為：
y P ( t )  A cos   t  t '    0 


 A cos  t   0   t ' 
因 t'
 

x
y P ( t )  A cos   t     0 
u
 

x
u
平面簡諧波的波動方程


x

y ( t )  A cos   t     0 
u



利用關係式   2 T  2 和 uT   ，得
x
 t

y ( x , t )  A cos 2      0
  T  

x
 

y ( x , t )  A cos 2   t     0
 


y ( x , t )  A cos(  t  k x   0 )
其中 k  2 
 

x
波動表式的意義： y ( x , t )  A cos   t     0 
u
 

x 一定。令x=x1，則質點位移y 僅是時間t 的函數。
2 x1 

)
即 y (t )  A cos  t  (0 





上式代表x1 處質點在其平衡位置附近以角頻率
作簡諧運動。 y
A
O
t
t 一定。令t=t1，則質點位移y 僅是x 的函數。
2 x


x


y ( x )  A cos  t1  
  0   A cos  t1 
 0 
u





它是t1時刻波線上各個質點偏離各自平衡位置的位移
的波形曲線(波形圖)。

u
y
A
x

沿波線方向，任意兩點x1、x2的簡諧運動相位差為：
   2  1  2
x2  x1

 2
x

x、t 都變化。
實線：t1 時刻波形；虛線：t1 +t時刻波形

u
y
x
x=u t
波的傳播
x
 

當t=t1時，y  A cos   t1     0 
u
 

x
 

當t= t1+Δt時， y  A cos   t1   t     0 
u
 

在t1和t1+Δt時刻，對應的位移用x(1) 和x(2)表示，則
y ( t1 )
x (1 ) 
 

 A cos   t1 
  0 
u 
 

y ( t1   t )
x( 2 ) 
 

 A cos   t1   t 
  0 
u 
 

由
x(2)=x(1)+uΔt，得
y ( t1   t )
x (1 )  u  t 
 

 A cos   t1   t 
  0 
u

 

x (1 ) 
 

 A cos   t1 
   0   y ( t1 )
u 
 

在Δt 時間內,整個波形向波的傳播方向移動了
Δx=x(2)-x(1)=uΔt，波速u 是整個波形向前傳播的速
度。
波速u 有時也稱相速度。
沿x 軸負方向傳播的平面簡諧波的運算式

u
y
P
o
x
x
O 點簡諧運動方程：
y0  A cos  t  0 
P 點的運動方程為：
x


y  A cos( t     0 )  A cos  (t  )  0


u
y

u
P
o
l
已知P 點簡諧振動方程：
那麼O 點的振動方程？
x

y p  A cos  t  p

l


yo  A cos (t  )   p 
u


l


波動方程呢？yo  A cos [(t  t ' )  ]   p 
u



u
y
P
o
x
l
x
已知P 點簡諧振動方程： y  A cos t  p 
p
直接給出波動方程

y ( x, t )  A cos  (t  t ' )   p
xl


 A cos (t 
) p
u




u
y
P
o
x
l
x
已知P 點簡諧振動方程：

y p  A cos  t  p
直接給出波動方程

y ( x, t )  A cos  (t  t ' )   p
lx


 A cos (t 
) p
u




 

x
y ( x , t )  A cos   t     0 
u
 

波動方程？
對y  A cos t  x u   0  求x 、t 的二階偏導數,
得到
2
 y
x
 

2
  A cos   t    0 ,
2


t
 

 y
2
u

2
x
 



A
cos

t



,


0
2
2
 

x
u
u
 y
2
x
2
1  y
2

u
2
t
2
平面波的波動
微分方程
任何物理量y ，若它與時間、座標間的關係滿足上
式，則這一物理量就按波的形式傳播。
例1、已知波源在原點的平面簡諧波的方程為
y  A cos( Bt  Cx )
式中A、B、C為正值恒量。
試求：
（1）波的振幅、波速、頻率、週期與波長；
（2）寫出傳播方向上距離波源 l 處一點的振動方程；
（3）任何時刻，在波傳播方向上相距為D的兩點的周相差
（與標準方程相比較）
解：（1）波動方程的標準形式
x  A cos 2 ( t  x )
y  A cos  ( t  )

u
x
 y  A cos( Bt  Cx )  A cos B ( t 
)
B
C
B
x
 A cos 2 (
t
)
2
2
C
2
B
B


, 波長
波的振幅為A, 波速 v  , 頻率  
C
2
C
（2） 已知 x  l ，
y  A cos( Bt  Cl )
（3）    2  r  2 D  2


D
2
C
 DC
[ 例2] 以P 點在平衡位置向正方向運動作為計時零點，
寫出波動方程。
y
o
解：
u
P
x
x
d
φ p= π2
y p= A cos (ω t
在X軸任取x點，則波動方程：

y ( x, t )  A cos  (t  t ' )   p
 A cos 
π
2

xd

 (t 
)
u
2

)
[ 例3 ] 波速 u =400m/s, t = 0 時刻的波
形如圖所示。寫出波動方程。
y(m)
4
2
o
d
p
u
5
3
A
y
解：t = 0{ 0 = 2 = 2
(o點)
v0 ＞ 0
yp = 0
t =0 {
vp ＜ 0
(p點)
x(m)
得：
φ0 = π
3
π
φp=
2
φ0 =
π
φp=
3
π
2
φp φ0
=
λ
d
2π
2π d
2π ×
5
3
λ =
=
=
4
(m)
φp φ0 π ( π )
2
3
u
ω = 2πν = 2π λ = 2π 400= 200π ( S
4
x

y  4 cos  200  ( t 
)   (m )

400
3 
1
)
例4、一橫波在弦上傳播，其方程是
y  0 . 02 cos  ( 5 x  200 t )
式中x、y以米計，t與秒計。
（1）求波長、週期、波速；
（2）畫出 t=0, 0.0025s, 0.005s時弦的形狀。
解：（1）方法一：與標準方程相比較

y  0 . 02 cos  ( 200 t  5 x )  0 . 02 cos 200  ( t 
 0 . 02 cos 2 (
波長   0 . 4 m ,
x
)
40
t
x

)
0 . 01 0 . 4
週期 T=0.01S, 波速 v  40 m 。
s
方法二、依各量的物理意義求解 y  0 . 02 cos
 ( 5 x  200 t )
    ( 5 x 2  200 t )   ( 5 x1  200 t )  2
波長
  x 2  x1  0 . 4 m
 ( 5 x 2  200 t 2 )   ( 5 x1  200 t1 )
波速
v
x 2  x1
t 2  t1
 40 m
s
（2）方法一：根據各時刻的波形方程逐一畫出波形。
方法二：只畫出t=0的波形，然後採用移動波形的方法。
y
o
0.2
0.4
x
例5、一平面簡諧波在空間以速度u 傳播，已知p點的振
動方程為
y  A cos(  t   ),
就下面四種選定的坐標系，寫出各自的波函數。
y
u
u
p
o
x
x
y  A cos  ( t  )   


u
y
p
o
l
y
p
o
x
x
y  A cos  ( t  )   


u
y
u
u
p
x
xl
y  A cos  ( t 
)


u
x
o
l
xl
y  A cos  ( t 
)


u
例6、沿x軸負向傳播的平面簡諧波在t=2s時的波形曲線
求原點0的振動運算式。
如圖，設波速 u  0 . 5 m
s,

u
y
t=2s
0.5
-1 0
1
2
x

x

y  0 . 5 cos  ( t  )  
 2
u
2 
t=0
解：由圖知   2 m ,  T    4 s ,   2  
u
在 t  2 s 内，波形移动的距离



t=0原點0:
2
T
rad
s
2
 x  ut  0 . 5  2  1m ,
y 0  0 . 5 cos(
 t)
2
2
,
例7、 一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為
A、  , 波速為 u，設t=0時的波形曲線如圖。
（1）寫出該波的方程；
（2）求距0點為 3  處的質點的振動運算式；
8
（3）求距0點為
y
0

8
處的質點在t=0時的振動速度。
u
x
 ,
解：（1）t=0時，0點的相位，即初相位 2
故波方程
x


y  A cos  ( t  )  

u
2 
3


（2） y
8)  


A
cos

(
t

x 3
u
2
8



3


2
8   
 A cos  t 
 A cos(  t 
T
u
2




（3）
)
4
y
x

v
  A  sin  ( t  )  

t
u
2 
2



A
将 t  0, x 
代入上式， v   A  sin
4
2
8
例8、一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅為A=10cm,
圓頻率   7 rad s . 當t=1s時，x1  10 cm 處質點的振動
 dy 
狀態為 y1  0 ,    0；x 2  20 cm 處質點的振動狀態為
 dt  1
 dy 
y 2  5 cm , 
  0； 若波長   10 cm , 求波的運算式。
 dt  2
解：設t=0時，座標原點的初相為  , 波的運算式為
x
y  A cos  ( t  )   


u
2
2
 A cos(  t 
x   )  0 . 1 cos( 7 t 
x )


t=1s時，x=0.1m處，
（質點1正過平衡位置向著負向運動，相位
)
2
y1  0 . 1 cos( 7 
 7 
2

2

 0 .1   )  0
 0 .1   

2
同理 t=1s時， x=0.2m 處，

質點2向著 y軸正向運動， 相位

 
  (   )  5
2

由 7 
2


3
 
又
6
  2  6  0 . 1  0 . 24 m
5
 0 .1   
 有
2
y  0 . 1 cos( 7  t 

3
2

x

   6 
3
 x
0 . 12

)
3
例：已知波長為l 的平面簡諧波沿x軸負方向傳播．
x = l /4處質點的振動方程為
2π
y  A cos
 ut
(SI)

寫出該平面簡諧波的運算式..
§ 4 波的能量 能流密度
一、能量密度
dm
取體積元dV，
dV
dm = ρ dV
體元品質為
y  A cos  ( t 
x
)
u
y
x
v
  A  sin  ( t  )
t
u
dE K 
1
2
可以證明：
dmv
2

1
 dVA  sin  ( t 
2
dE k = dE p
2
2
2
x
u
)
dE = dE k +dE p = 2 dE k
1
dE  2 
dmv
2
  dVA  sin  ( t 
2
2
2
2
能量密度:
w
x
)
u
dE
  A  sin  ( t 
2
2
2
dV
x
)
u
平均能量密度：
T
w 
 wdt
0
T


 A  sin  ( t 
2
2
2
u
0
1
w = ρ A2ω
2
x
2
) dt
二、能流密度
能流P :單位時間通過某一面積的波能。
P = S w u
平均能流
P : 能流在一個週期內的平均值。
P  Sw u
u
S
u
波的強度 I（能流 密度）: 通過垂直於波的傳播方向
的單位面積的平均能流。
2 2
1
I = w u = 2 ρ Aω u
總結：波動是能量傳播的過程。
波真正傳播的是振動狀態、波形和能量。波形傳播是
現象，振動狀態傳播是本質，能量傳播是量度。
§ 5 惠更斯原理
一、惠更斯原理：波動所到達的媒質中各點，都可以看
作為發射子波的波源，而後一時刻這些子波的包跡決定新
的波陣面。
uΔt
t+Δ t
t 時刻波陣面
t+Δ t
uΔt
t 時刻波陣面
二、波的衍射：當波在傳播過程中遇到障礙物時，其傳播
方向發生改變，並能繞過障礙物的邊緣繼續向前傳播。
t 時刻波面 t +t 時刻波面
·
·
·
·
·
ut
平面波
·
a·
·
波傳播方向
t + t
t· · ·
·
·
·
·
·
·
· ·
· ·
·
球面波
·
波的衍射
當波在傳播過程中遇到障礙物時，其傳播方向繞
過障礙物發生偏折的現象，稱為波的衍射。
波在窄縫的衍射效應
§ 6 波的疊加原理
一、波的疊加原理
1、波的獨立傳播原理: 有幾列波同時在媒質中傳播時，
它們的傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不會因其它
波的存在而受影響。
2、波的疊加原理: 在幾列波相遇的區域內,媒質質點同
時參與這幾列波,其位移為各波單獨存在時在該點所引起
振動的合振動。
二.波的干涉
相干波
相干條件： 振動方向相同
頻率相同
相位差恒定
相干波：滿足相干條件的幾列波稱為相干波。
相干波源：能發出相干波的波源稱為相干波源。
強弱分佈規律
兩個相干波源波源S1
和 S2的振動方程分別為：

S1
S1 P  r1
P
yS 1  A10 cos( t  10 )
yS 2  A20 cos( t   20 )
S2
S 2 P  r2
S1和 S2單獨存在時,在P點引起的振動的方程為:

y1  A1 cos( t  10  2r1  )
y2  A2 cos( t   20  2r2  )
P 點的合方程為:
y  y1  y2  A cos(t  0 )
振幅A和相位 0
A
A  A  2 A1 A2 cos  20   10  2 ( r2  r1 )  
2
1
2
2
2 r1 
2 r2 


A1 sin   10 
  A2 sin   20 

 
 


tg  0 
2 r1 
2 r2 


A1 cos   10 
  A2 cos   20 

 
 


對於P點     20   10  2 ( r2  r1 )  為恒量，
因此 A 也是恒量，並與 P點空間位置密切相關。
當     20   10  2 ( r2  r1 )   2 k  時，得
A  A1  A2 （合振幅最大）
當     20   10  2 ( r2  r1 )   ( 2 k  1) 時，得
A  A1  A2 （合振幅最小）
當 為其他值時，合振幅介於
A  A1  A2和
A  A1  A2
之間
若10=20，上述條件簡化為：
  r1  r2  k  , k  0 ,  1,  2 , （合振幅最大）
  r1  r2   k  1 / 2  , k  0 ,  1,  2 , （合振幅最小）
波程差   r1  r2
兩列相干波源為同相位時，在兩列波的疊加的區
域內，在波程差於零或等於波長的整數倍的各點，振
幅最大；在波程差等於半波長的奇數倍的各點，振幅
最小。
因 I  A 2  A12  A22  2 A1 A2 cos  
I  I 1  I 2  2 I 1 I 2 cos  
若I1=I2，疊加後波的強度：
I  2 I 1 [1  cos(   )]  4 I 1 cos
2

2
   2 k  , I  4 I ;    ( 2 k  1) , I  0
干涉現象的強度分佈
三、駐波
駐波 ： 一對振幅相同的相干波，在同一條直線上，
沿相反方向傳播時，疊加而成的波。
實驗——弦線上的駐波：
t0
t T 4
波節O B D F H
t T 2
波腹A C E G
t  3T 4
OA B C D EF GH
沿x軸的正、負方向傳播的波
x
 t
y1  A cos 2   
T  
合成波
x
 t
y 2  A cos 2   
T  
t
x
t
x 

y  y1  y 2  A cos 2 (  )  cos 2 (  )

T 
T  
2
2
 ( 2 A cos
x ) cos
t

T
2
合成波的振幅 2 A cos
x 與位置x有關。

波腹位置 2 A cos
x k
2


2
x 1
2

x  k
( k  0 ,  1,  2 ,....)
波節位置 2 A cos
2

x 0
x  ( 2 k  1)

2

x  ( 2 k  1)

2
( k  0 ,  1,  2 ,....)
4
相鄰兩個波腹(節)間的距離為  2 。
能量分佈
在駐波形成後，各個質點分別在各自的平
衡位置附近作簡諧運動。能量(動能和勢能)在
波節和波腹之間來回傳遞，無能量的傳播。
相位分佈
振幅項2 A cos 2x 可正可負,時間項 cos(t )
對波線上所有質點有相同的值，表明駐波上相鄰
波節間質點振動相位相同，波節兩邊的質點的振
動有相位差 。
y

3λ
4

λ
2

λ
4
O
相位分佈圖
λ
λ
3λ
4
2
4
x
弦線上的駐波
弦線長度等於半波長的整數倍時形成駐波。

L  n , n  1,2    —— 駐波條件
2
兩端
固定
一端
固定
n 1
n2
n4
n 1
n2
n4
波腹
波節
駐波的特點：
1. 有波節、波腹；
2. 波節兩側質點的振動周相相反，相鄰兩波節之間的
質點振動周相相同。
3. 不發生能量由近及遠的傳播，是一種特殊的振動狀
態。
對於波沿分介面垂直入射的情形,把密度 與波速u
的乘積u 較大的介質稱為波密介質，u較小的介質稱
為波疏介質。
當波從波疏介質傳播到波密介質，分介面反射點
是波節，表明入射波在反射點反射時有相位 的突變
相當於在波程上突變  2 。這一現象稱為半波損失。
波疏
波密
波密
波疏
四、半波損失
若
ρ 2u 2＞ρ 1u 1
媒質1
ρ u
1
稱媒質 1 為 波疏媒質；
媒質 2 為 波密媒質。
媒質2
1
媒質1
ρ u
2
2
當波從波疏介質傳播到波密介質，分介面反射點
是波節，表明入射波在反射點反射時有相位 的突變
相當於在波程上突變  2 。這一現象稱為半波損失。
波疏
波密
波密
波疏