Transcript Решение проблемы А. К. Циха

Решение проблемы А. К. Циха
о сумме внутренних телесных углов при
вершинах
выпуклого многогранника в трёхмерном
пространстве с применением в
вариационных задачах
Автор: Смирнов Михаил 11 класс
Научный руководитель:
Секацкая Е. Г., учитель математики и
информатики шк.№21
Научный консультант:
Степаненко В. А., доцент кафедры
высшей математики СФУ
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах
произвольной треугольной пирамиды («малая проблема Циха»),
а далее – и произвольного выпуклого многогранника в трехмерном
пространстве («большая проблема Циха»).
В данной работе мы предлагаем вам решение этих проблем.
Цель научной работы: вычислить сумму телесных углов при
вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве.
Применить полученные формулы при решении некой экстремальной
задачи.
Определение :
Телесный угол- часть пространства, ограниченная некоторой
конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный
углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими
гранями, сходящимися в вершине телесного угла.
Определение : Мерой многогранного угла называется
площадь, ограниченная сферическим многоугольником,
полученным пересечением граней многогранного угла
сферой с радиусом, равным единице и с центром – в вершине
многогранного угла.
Определение : Стерадиан – единица измерения телесного
угла.Стерадиан - телесный угол, вырезающий на сфере,
описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь
которой равна квадрату радиуса сферы. Полная сфера
образует телесный угол, равный 4
Идея решения. Отличие от подхода Циха
Цих советовал решать задачу геометрически, рассматривая разнотипные фигуры на сфере (три остроугольных и
три- трапециоподобных фигуры), не рассматривая диаметрально противоположную ситуацию
Мы же рассматриваем три однотипные тупоугольные фигуры- внешние углы к
сферическому треугольнику- “ломтики”, и рассматриванием диаметрально
противоположную ситуацию(на другом полюсе).
Лемма о площади “ломтика”. Следствие
Угол COD есть величина двугранного угла «ломтика» сферы ACBDA,
и он равен углу между касательными прямыми
к “меридианам” ABC и ADB в их общей точке A.
Он соответствует сферическому углуCAD, обозначает sCAD или sA.
Найдем площадь «ломтика» ACBDA.- внешнего сферического угла треугольника на
сфере.
Лемма 1: SABCDA=2
R
2
Доказательство:
Пусть COD= рад, тогда из простой
пропорции
2

- 4
получаем
SABCDA= 2 R
2
- ?
Что и требовалось доказать.
Следствие:
В случае единичной сферы (R=1) : SABCDA =2 
Лемма 2:
Величина трехгранного телесного угла
OABC вычисляется по формуле
OABC= S = 2-(++)
 ,  ,  - внешние сферические углы к внешнему сферическому треугольнику ABC.
Напомним, что площадьS  ABC измеряет в стерадианах величину искомого трехгранного угла
Доказательство:
Обозначим “ломтики” l1 , l 2 , l 3 . Как отмечалось выше, вся сфера состоит из трех ломтиков
l1 , l 2 , l 3 . и двух равных сферических треугольников.
Поэтому
S l1  S l 2  S l 3  2 S   S сф
(2+2+2)+2S =4.
Поделим на2 .
+++S  =2, где S  -мера трехгранного угла, тогда
OABC=S  =2-(++)=2---
Что и требовалось доказать
Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла
Лемма 3:
OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)
Доказательство:
S l1  S l 2  S l 3  S l 4  2 S 4  ник  S сф
(21+22+23+24)+2S4-ка= 4.
Поделим обе части равенства на 2.
1+2+3+4+S4-ка=2, где S4-ка-мера четырехгранного угла, то
OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)=2-1-2-3-4, где n – внешние углы.
Итак,
OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)
OABC= S =2-(++).
OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)
Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла.
Лемма 4:
OABCD= Sn=2-(1+2+…+n),
n
OA1A2...An=S n  2  

i 1
i
Решение «Малой проблемы Циха»
Выражение телесных углов через внешние
перпендикуляры граней
n-гранный (телесный) угол измеряется с
помощью двугранных, образованных его
гранями, а измерение двугранных углов мы
сводим к углам между внешними
перпендикулярами к его граням.
Посмотрим вдоль (навстречу) оси OA , мы
увидим ситуацию, изображенную на рисунке.
Очевидно, что двугранный  
  

  

равен углу между векторами OC A и OA B
- внешними перпендикулярами к соответственным
граням OAB и OCA ,
как углы с соответственно
перпендикулярными
сторонами
( и оба одновременно
тупые или острые).
A=A1,B=A3,C=A2,
По лучу OA1 пересекается
OA 1 A 2 , OA 3 A1
,(т.е.
OA 1 A 2  OA 3 A1  OA 1
)
Рассмотрим в точке A1 их внешние перпендикуляры

  
OA 1 A 2

  
Аналогично, в точке A2(=С):
и OA 3 A1
Косинус угла между ними определяется по формуле
cos  1 
   
 OA A
1
2


  


  




, OA 3 A1

  
OA 1 A 2
.
 1  arccos
.
  
OA 1 A 2
 2  arccos

   
 OA A
1 2


  

  

, OA 2 A3

  
OA 1 A 2





OA 2 A3
OA 3 A1
а сам внешний угол при вершине A1:
   
 OA A
1
2


OA 2  OA 1 A 2  OA 2 A 3

  

, OA 3 A1

  
OA 3 A1





И в точке A3(=B) : OA 3
 3  arccos
   
 OA A
2
3


  
OA 2 A 3

 OA 2 A3  OA 3 A1
  

, OA 3 A1

  
OA 3 A1





Обозначим для удобства векторы
  

 2 ,3
OA 2 A 3
  

 3 ,1
OA 3 A1
  

OA 1 A 2
 1, 2
Тогда
OA1A2A3= 2  (arccos
 1, 2
, 3 ,1
1, 2
3 ,1

 arccos
OA1A2A3=
 1, 2
, 2 ,3
1, 2
2 ,3
Последнюю запись формализуем:
3
OA1A2A3= 2   arccos
i 1

 arccos
, 2 ,3
1, 2
2 ,3

 2 ,3
, 3 ,1
2 ,3
3 ,1
 i  1, i
, i, i  1
i  1, i
i, i  1

.
Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:
n
=2 
OA1A2...An
 arccos
i 1
1  1,1  n ,1 , n , n  1  n ,1 .

 arccos

a , b   b , a 
Воспользуемся симметрией скалярного умножения
2   (arccos
 1, 2
 i  1, i
, i, i  1
i  1, i
i, i  1

, где

 arccos
 2 ,3 ,
3 ,1
2 ,3
3 ,1

и перепишем более удобно полученную формулу:
 3,1 ,
1, 2
3 ,1
1, 2

).
Сумма телесных углов при вершинах треугольной пирамиды
A1A2A3A4  2   arccos


  
 A A A
 1 2 3

, A1 A 4 A 2

  
 2   arccos
  

A4A1A3A2=  2   arccos
  
A 4 A3 A 2





  

 arccos




 arccos
  
  
A 4 A 2 A1







 arccos

  
 A A A
4 3 2


  
A 4 A3 A 2


  






  
  
A 4 A1 A3



, A 2 A1 A 4





 arccos

  
 A A A
4 1 3


  
A 4 A1 A3

  
A 2 A1 A 4

, A3 A1 A 2
A3 A 4 A1

  
  


  

  

  
 A A A
3 4 1






A1 A 4 A 2

  
 A A A
2 3 1


  
, A 4 A1 A3

 arccos
arccos

  

A 2 A3 A1
A3 A 4 A1





A 2 A 4 A3
, A3 A 4 A1
A3 A 2 A 4
 arccos

  
, A1 A 4 A 2
  
, A 2 A 4 A3



  
 A A A
 1 3 4

A1 A3 A 4
  
  

  
, A 4 A 2 A1



  
A 2 A3 A1

  
 A A A
3 2 4






A1 A 2 A3
  
A3 A1 A 2



  
 A A A
2 3 1


A 2 A1 A 4
, A3 A1 A 2


  

, A1 A 2 A3
  
, A 2 A1 A 4
  
A3 A 2 A 4

  
 A A A
4 3 2


 arccos

  
A1 A3 A 4
  

  
A 2 A 4 A3
A3A1A2A4



  
 A A A
 1 3 4

A1 A 4 A 2

  
 A A A
2 4 3



  
 A A A
3 2 4







  
A1 A 2 A3
A2A1A4A3  2   arccos

  





  
A3 A1 A 2

  

, A 4 A 2 A1

  
A 4 A 2 A1









Искомая сумма:
A1A2A3A4+
 arccos
A2A1A4A3+

  
 A A A
1 3
4


  

  
A3A1A2A4+

, A1 A 4 A 2

A1 A 3 A 4
  





 arccos
A4A1A3A2=

  
 A A A
2
4
3


  
A1 A 4 A 2
A 2 A 4 A3


  
 A A A
1 2 3


8  2 

  
A1 A 2 A3




  
, A 2 A1 A 4






  
 arccos

  
, A1 A 4 A 2






  
 arccos

  
 A A A
2 3 1


A 2 A3 A1

  

  

A 2 A 4 A3




 arccos
, A1 A 2 A3

 arccos
 214
(2143)+
, 243
(3124)+
  arccos  243
, 231
(4132)= 8  2 arccos  142 , 123   arccos  123 , 134
  arccos  324
, 341
.





  

A1 A 2 A3

  
 A A A
3 2 4


  

  

  
A3 A 2 A 4
  arccos  134
, 142

, A3 A 4 A1
A3 A 4 A1
Перепишем еще более удобно:
(1234)+

  
A1 A3 A 4
, A 2 A 4 A3



  
 A A A
1 3 4


  
A1 A 4 A 2
  
A 2 A1 A 4











Пример 1:
Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные векторы внешних
перпендикуляров к ее граням:
142  ( 0 ,  1, 0 ),
123  ( 0 , 0 ,  1)
134  (  1, 0 , 0 ),
243  (
1
3
4

i 1
,
1
3
,
1
).
3




Ai= 8  2        3 arccos   1    8  2  3   3 arccos   1    8  3  6 arccos   1  
2



2
2
3 
3 
3




2
1 

 5  6 arccos  
.
3

Пример 2: (усложненный пример 1)
Рассмотрим октаэдр с центром в начале координат, тогда
(1,1,1);(-1,1,1);(-1,-1,1);(1,-1,1) координаты внешних перпендикуляров его граней.
Нормируем эти векторы:
Вычислим сумму арккосинусов соответствующих попарных скалярных произведений:
1
 1 2
 2 1
2 1
2 1
arccos      arccos      arccos     arccos     4 arccos
, тогда
3
 3 3
 3 3
3 3
3 3
= 2   4 arccos
6

i 1
1
-величина одного телесного угла. Таким образом, искомая сумма всех телесных углов равна
3
Ai 12   24 arccos
1
3
.
Заметим, что октаэдр состоит из 8 одинаковых пирамид из примера 1,
тогда должно выполняться тождество:

1 
1

8  5  6 arccos  
   4   12   24 arccos ,
3
3 


  arccos
.

1 
 2 arccos  
 ,
3
3

1
которое сводится к более простому
1
1
а последнее эквивалентно  3   3 .
Решение «Большой проблемы Циха»
Сумма телесных углов n – гранника
С учетом соотношения Эйлера: Г+В-Р=2 , где Г- количество граней,
В-вершин, Р-ребер многогранника, для задания выпуклого n-гранника
мало задать число граней, нужно указать еще и число вершин.
Например, у куба и фигуры, составленной из двух треугольных пирамид
число граней одинаково (6), а числа вершин различны ( 8 и 5, соответственно).
Пусть в трехмерном пространстве задан выпуклый n-гранник с m-вершинами,
тогда сумма всех его телесных углов при
m вершинах представляется следующей формулой:
m
A
i 1
i
 mn2

 2   n  2   arccos  j  1, j  ,  j , j  1  


 j 1

где n- число граней , а индекс j пробегает количество всех ребер.
Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых
n- гранников (m- вершинников) найти те, сумма телесных углов которых
минимальна и максимальна.
Пример 1: Дана прямоугольная пирамида с вершинами на осях координат. Три вершины фиксированы:
(1;0;0), (0;1;0) и (0;0;0), а четвертая движется по оси OZ и имеет координаты (0;0;h).
Выпишем внешние единичные нормали для всех трех координатных граней :
(0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0) и для наклонной грани:




h
2h  1
,
2
h
2h  1
,
2

.

2
2h  1 
1

A1 равен
Заметим, кроме того, что угол
2
A2 и
( очевидно), углы
A2и угол A .
4
A3 равны, поэтому достаточно найти только угол
Вычислим их.




A2= 2  arccos

0  arccos  




  arccos  


2
2h  1 

 3
    arccos

2
2h  1  2
A4= 2  arccos

0  arccos  




  arccos  


2
2h  1 


3
    2 arccos

2
2
2h  1 
1
h
h
h





  arccos

2
2h  1 
1





.

2
2h  1 
h

.

2
2h  1 
h
Находим искомую сумму углов ( как функцию параметра h):
  3

 2  arccos



 5  2 arccos  








  arccos  


2
2h  1 

1

  4 arccos

2h  1 
1
2




 
3
 
   2 arccos
 2
2
2
2h  1  
h

.

2h  1 
h
2







2
2h  1 
h

l

2 2
2h  1
2

4

h  1 2h  1
2
1
arccos x ` 
Используем формулу
2


2

1 x
2h  2  2
2

2
тогда производная всей суммы равна:
.
h  1 2h  1
2
,
2

Так как знаменатель строго положителен, знак производной определяет только числитель.
Решим уравнение:
2h  2  2  0.
Его корни есть h=1 и h=-1, второй корень не имеет геометрического смысла (0<h<+∞).
2
При h  (0;1) функция монотонно убывает, а при h
h=1 минимум, равный 5  6 arccos   1 .


(1;+∞) функция монотонно возрастает, имея в точке
3
И, наконец, рассмотрим два предельных случая, когда h  0 и
. При h  0 , когда пирамида сплющивается
к своему основанию- треугольнику  A1 A 2 A3 сумма углов равна:
.h  
.
5  2 arccos   1   4 arccos 0   .

При h
, когда пирамида вытягивается в вертикальную бесконечную
треугольную призму, сумма углов также равна
.
Заметим, что при h =1 ответ, как и ожидалось, совпадает с полученным(*).
1 

5  6 arccos  

3

Пример 2.
Рассмотрим правильную пирамиду с вершинами в точках
A, B, C, D. Тогда
A= B= C.
Достаточно вычислить A и затем утроить его.
D вычисляется самостоятельно.
Выпишем внешние единичные нормали

  
A B D
Тогда:

  
,
AC D

A  2   2 arccos  



  
, B C D
и
1
 
l
12

4 h
h 1 
2
2
1

h
2

  6 arccos

2
4h  1 
1

 1
h 1 
 1  2h 2 


 4h 2  1 


3
h   2
корень 
при h  0 ,
не имеет геометрического смысла.
2  функция убывает
2
и возрастает при h   2 ,  
3

2 
 1 

   8  6  arccos 0  arccos      8  6      8  3  4  
 2 
2 3 

Знак определяется
величиной
2
Решим уравнение: h 2  1 
 1  2h 2 


 4h 2  1 


 1  2h 2 

 2   3 arccos 
2

 4h  1 

 8  6 arccos  



 0 , 0 ,  1 -основание.
A B C

 1  2h 2 
  arccos 

 4h 2  1 

2
4h  1 




1
  3 arccos
 6   6 arccos  


2
4h  1 

D

  
 0  8  6 arccos  1  arccos 1  8  6   0   2
3
 min(
2)


 1
 3 
 1 
 1
 8  6  arccos     arccos      8  6  2 arccos      8  12 arccos     
 3
 9 
 3 
 3


Рассмотрим пирамиду АBCO.

(0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0), 

bc
b c a c a b
2
2
2
2
2
ac
,
b c a c a b
2
2
2
2
2
2
,
2




ab
b c a c a b
2
2
2
2
2
2
Будем варьировать три вершины.
Вычислим углы:
A  2 

 arccos  

2



 arccos  

2



C  2 
 arccos  

2


O 
2
B  2 



  arccos  




ac
b c a c a b
2
2
2
2
2
2

  arccos
2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 

bc
  arccos
2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 
ab








ab
b c a c a b
2
2
2
2
2
2






2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 

ac

2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 
bc
Данная сумма углов инвариантна относительно круговой подстановке переменных a, b, c:

   5  2  arccos  


Найдем производные :


2 2
2 2
2 2
a b  a c  b c 

ac
l

 b  2 2 2
2 2
2 2
a b  a c  b c 
 a  2
l
bc


  2 2 2
2 2
2 2
a b  a c  b c 
l
c


  arccos  

2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 

ab
ab
b
2
a b
2
a
b a

2
a c
c
2
2
2
c b
2

2
b c
b


2
2 
b c 
2
2
a c 


2
2 
a c 
b c
2
2

2
2
2
2
c a
2
2
c
2
2
a

2

2
2






2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 
ac
2


2
2 
a b 
a b

  arccos
2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 
bc
Обозначим A  a , B  b , C  c тогда:
2
B
AB
A
B A
A
C  A



C
AC
C
BC
B
C B



2
BC
BC
AC
AC
AB
AB
0
0
0
2

Тогда:
B
AB
A
B A
A
C  A
C

AC
C

BC
B

C B

BC

AC

AB
3
2
4 AB C
 4 AB C
2
4 BC A  4 BC
3
2
2
3
 4B C
3
2
2
 A B  C A  2 A BC  4 A B C  4 A BC
4
2
A  4C A  B C
3
3
3
4 CA B  4 CA B  4 A B
3
3
3
3
4
2
2
4
4
3
2
3
 A B  2 B CA  4 B C A  4 B CA
2
C A B C
3
4
2
2
4
4
4
3
2
3
 2 C AB  4 C A B  4 C AB
4
3
2
3
2
2
2
Данная система инвариантна относительно круговой подстановки переменных. Следовательно, она имеет
решение с одинаковыми координатами, т.е. A=B=C=t, тогда для переменной t получается одно тождество,
справедливое при всех значениях t:
4t  4t  4t
6
6
6
 t  t  2t  4t  4t
6
6
общее решение нашей задачи будет
получаем a=b=c=
t
6
6
6
a  A.  t, b  B  t, c (t>0)
C и,
 окончательно,
t
2
2
2
Вывод: сумма внутренних углов пирамиды с тремя вершинами на осях координат и четвертой- в начале
координат, минимальна только тогда, когда вершины, лежащие на осях, равноудалены от начала координат.
Сравнительный анализ
S  2         , где  ,  ,   внешние углы сферического треугольника.
S   1   1   1    , где  1 ,  1 ,  1  внутренние углы сферического треугольника.
Аналогично и для n-угольника:
S  2   1   2 ...   n .
S    1   2  ...   n    .
Заключение
• В ходе работы мы рассматриваем вспомогательные
задачи, формулируем и доказываем ряд лемм о
вычислении телесных углов; получаем новые
формулы, выражающие телесные углы через
внешние перпендикуляры граней; вычисляем сумму
телесных углов при вершинах треугольной
пирамиды, а также получаем формулу для
вычисления суммы всех телесных углов выпуклого nгранника с m-вершинами. Вводим ряд новых
обозначений.
• Показываем применение нашего подхода к решению
вариационных задач