Transcript 1_04
1.4. Дискретное преобразование
Фурье
Обратное пространство.
Фурье-преобразование.
Быстрое фурье-преобразование
Обратное пространство
Фурье-преобразование играет важное значение в квантовой физике
конденсированного состояния
Все физические величины, определенные в периодическом пространстве
кристалла, такие как энергия электронов и дырок, дисперсия фононных и
фотонных возбуждений, волновые функции квазичастиц и др.,
периодичны в обратном пространстве с периодом обратной решетки
Для конечной дискретной системы обратное пространство также
дискретно
La
a
(L-1)a
Решение уравнения Шредингера для свободной
0
частицы на периодической решетке –
2a
...
плоские волны
3a
...
2
Обратное пространство
Граничные условия Борна – Кармана:
Разрешенные импульсы в дискретной периодической системе также
дискретны, количество неповторяющихся импульсов равно числу узлов;
при увеличении размеров системы соседние значения импульсов все
больше приближаются друг к другу:
Все неповторяющиеся импульсы размещены в области
Эта область называется первой зоной Бриллюэна
Часто точку отсчета удобно помещать в центр зоны, тогда первая зона
Бриллюэна заключена в интервале
3
Обратное пространство
Пространство разрешенных импульсов однозначно связано с прямым
дискретным пространством и называется обратным
Простой кубической решетке в прямом пространстве соответствует также
простая кубическая решетка. Объемно-центрированной кубической
решетке в прямом пространстве соответствует гранецентрированная
кубическая решетка в обратном пространстве, и наоборот
При изучении структуры твердых тел методами рентгеновской и
нейтронной дифракции сначала определяют обратное пространство, а уже
потом по нему восстанавливают вид кристаллической решетки в прямом
пространстве
4
Простая кубическая
решетка
Объемно-центрированная
кубическая решетка
Гранецентрированная
кубическая решетка
Фурье-преобразование
Для периодической функции с периодом 1:
Дискретная пространственная сетка:
Для этой сетки справедливо:
Теперь задача рассматривается только на одном периоде, разделенном на
отрезки ("узлы") длиной 2π/N. Для решения задачи нужно определить
коэффициенты Фурье Aq
5
Фурье-преобразование
Cкалярное произведение двух функций на дискретной сетке:
Ортонормированная система:
Коэффициенты Фурье:
В непрерывном пределе:
6
Фурье-преобразование
Свойство коэффициентов Фурье:
Используя это свойство, можно сдвинуть пределы суммирования:
Подобный сдвиг позволяет проводить суммирование в симметричных
пределах, что часто бывает удобно
Для численного расчета всех коэффициентов Фурье в общем случае
необходимо порядка N2 операций
Существует алгоритм, который позволяет проводить разложение в ряд
Фурье гораздо быстрее – за ~Nlog2N операций – быстрое
преобразование Фурье
7
Быстрое преобразование Фурье
Коэффициенты Фурье некоторой периодической функции:
Разобьем число N на два сомножителя:
Подставим в выражение для коэффициентов Фурье:
После преобразований:
8
Быстрое преобразование Фурье
Задача разбивается на две части:
Для расчета коэффициентов A(1) необходимо
При известных коэффициентах A(1)
операций
количество операций, необходимое
для расчета коэффициентов Aq, равно
В общем случае цена для r сомножителей фурье-операций будет
9
Алгоритм для двоичного разбиения
Наиболее эффективное разбиение достигается при по основанию 2:
Алгоритм для двоичного разбиения:
Последовательность
коэффициентов:
10
рекуррентных
соотношений
для
расчета