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Transcript l`equazione della quantità di moto lungo x diventa
LA CONVEZIONE
Caratteri della convezione
Ci si riferisce fondamentalmente allo
scambio di calore tra un solido ed
un fluido in moto rispetto ad esso.
Tp
T ≠ Tp
Se il fluido fosse fermo:
q
x
k
L
y
T
p
T
Con il fluido in moto:
L
q h Tp T
Nusselt (1882-1957)
Nu
q convezione
q conduzione
hL
k
T
y
y0
T p T
L
T
k
y y 0
ADERENZA
DELLE
PARTICELLE FLUIDE
ALLA PARETE
CLASSIFICAZIONE
Origine del moto
Forzata
Naturale
Geometria del solido
Deflusso interno
Deflusso esterno
r
m
V
y
x
D
x
CLASSIFICAZIONE
Carattere del moto
Laminare
Turbolento
STRATI LIMITE
Velocità
u
y
(x )
x=0
Le particelle a contatto con la parete si arrestano e rallentano quelle sovrastanti
Lo spessore dello strato limite d = d(x) è il valore di y per cui u=0,99u
Si denomina coefficiente
d’attrito il valore:
C
f
s
u
2
2
con τs sforzo tangenziale alla
parete
STRATI LIMITE
Termico
u
T , u
(x )
t ( x)
T T
Parete riscaldata
Strato limite termico
Le particelle a contatto con la lastra si portano in equilibrio termico con essa e
scambiano energia con quelle sovrastanti
Lo spessore dello strato limite dt = dt(x) è il valore di y per cui:
In generale:
dt ≠ d
Tp T
T p T
0 ,99
Se Tp-T non varia con x, ne segue che dT cresce, diminuendo il
gradiente di temperatura e quindi il calore scambiato
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 1/12
VELOCITA’
y
v
v
y
V V u , v
Ipotesi di flusso bidimensionale
dy
Conservazione della massa nel volume di controllo:
u
u
dy
u
x
m
dx
me mu
u dy
v
v dx
dxdy
x
dx
u
v
u
dx
dy
v
dy dx
dx
dy
z
Lasciando cadere l’ipotesi di bidimensionalità, l’equazione si estende come segue:
u
x
v
y
w
z
notazione
D
D
0
vettoriale
D
D
V u , v , w
V 0
u
x
v
y
w
z
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 2/12
VELOCITA’
u
x
v
y
w
z
u
se r = cost
0
v r
In coordinate cilindriche:
r
vr
r
x
1 v
r
v
y
v z
z
w
z
0
0
II Legge di Newton nel volume di controllo:
M
MuMe
F
t
Forze esterne
DI MASSA
(ad es. campo
gravitazionale o
elettromagnetico)
Quantità di moto
DI SUPERFICIE
Flussi della quantità di moto
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 3/12
VELOCITA’
Rappresentazione delle forze di superficie
y
dy
xx
yy
y
dy
yy
yx
x, y
xy
dy
yx
y
xy dx
xy
x
xx
x
s = sforzo normale; t = sforzo tangenziale
1° pedice: orientamento della superficie su
cui agisce lo sforzo
2° pedice: direzione della componente
dello sforzo
xx dx
yx
yy
dx
x
z
Fs , x
xx
p yx
x
y
x
dxdy
Fs, y
yy
p xy
y
y
y
dxdy
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 4/12
VELOCITA’
y
v u
dy
u u
y
La portata in massa nel piano y-z è:
v u dy
u u
x, y
udy 1
x
u u dx
(altezza unitaria)
Il flusso della q.d.m. è pertanto: u udy
Analogamente, nel piano x-z:
v u
v udx
Il flusso netto nella direzione x è dunque:
u u
x
dx
x
x y
v u
y
z
L’incremento temporale della quantità di moto nel volume di controllo è:
y x
Operando le dovute sostituzioni nella II legge di Newton si ottiene, lungo x:
Forza di
volume
X
xx
x
p
x
yx
y
u
u u
x
v u
y
u dxdy
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 5/12
VELOCITA’
Per La semplificazione delle equazioni del moto si ipotizza un comportamento newtoniano del fluido:
GLI SFORZI VISCOSI SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI AI GRADIENTI DI VELOCITA’
Introducendo la viscosità m, le equazioni che esprimono tale dipendenza sono:
xx
u v
2
x 3 x y
u
2
u v
2
y 3 x y
v
yy
2
xy yx
v u v
y y x
La sostituzione delle relazioni citate nella II legge di Newton prima ricavata, si
ottengono le equazioni di NAVIER (1785-1836) – STOKES (1819-1903)
(V )
V V p V V
t
F
trasposta
T
L’espressione si semplifica notevolmente per fluidi incomprimibili e con viscosità costante
Du
D
Dv
D
p
x
p
y
u X
2
v Y
2
Ovvero in
notazione
vettoriale
DV
D
P V F
2
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 6/12
TEMPERATURA
Si vuole descrivere l’andamento della temperatura all’interno dello strato limite termico
EQUAZIONE DELL’ENERGIA
E vc E conv E sc E si L vc
volume di controllo
sorgenti interne
convezione per l’ingresso del fluido
E vc
e dxdy
superficie di controllo
e = energia cinetica + energia potenziale
ue dx dy ue dxdy
E conv , x uedy ue
x
x
E conv , y
T
T
T
T
E sc , x k
dy k
k
dx dy
k
dxdy
x
x
x
x
x
x
solo convezione, si trascura l’irraggiamento
E sc , y
y
ve dydx
T
k
dydx
y y
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 7/12
TEMPERATURA
E si q dxdy
L vc , x Xudxdy
x
p xx u dxdy
y
yx
u dxdy
L vc , y Yvdxdy
y
p v dydx
yy
x
xy
v dydx
Sostituendo nell’equazione dell’energia:
T T
k
q Xu Yv
e ue ve k
u v xx u xy v yy v xy u
y
x
y
x x y y
x
y
x
y
Ricordando la definizione di entalpia per unità di massa del fluido:
iu
L’equazione dell’energia, sfruttando l’equazione di continuità, diventa:
T T p
p
p
k
q
u
v
u
v
k
x
y x x y y
x
y
i
dove:
i
i
2
2
u
u 2 v 2 2 u
v
v
2
y
x
y
x
y 3 x
p
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 8/12
TEMPERATURA
Ricordando l’espressione dell’operatore D:
Di
D
D
D
k T
u
Dp
D
x
v
y
w
z
si ottiene:
q
Dalla definizione di entalpia per una sostanza pura monofase:
1
1
di c p dT T
T
dp c dT 1 1 T dp
p
p
L’equazione si trasforma come segue:
Se il fluido è un gas ideale (bT=1):
Se il fluido è incomprimibile (b = 0):
c p
con
1
T p
coeff.
di dilatazione
termica
Dp
k T T
q
D
D
DT
c p
Dp
k T
q
D
D
DT
c p
k T q
D
DT
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 9/12
TEMPERATURA
Se la conducibilità termica del fluido è costante con la temperatura, non c’è generazione
interna di calore ed è trascurabile la comprimibilità, insieme alla dissipazione viscosa m:
c p
DT
D
k T
2
ovvero:
2
2
2T
T
T
T
T
T
T
k
c p
u
v
w
2
2
2
x
y
z
x
y
z
o in coordinate cilindriche:
2
2
1 T
v T
T
T
1 T
T
T
c p
vr
vz
k
r
2
2
2
r
r
z
r
r
r
r
z
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 10/12
Condizioni particolari
• Regime stazionario;
• proprietà fisiche del fluido (k, m, cp, …) costanti;
• fluido incomprimibile;
• forze di massa trascurabili (X = Y = 0);
• assenza di generazione interna di calore;
u >> v
u
y
T
• approssimazione di strato limite
y
u v v
,
,
x y x
T
x
u
xy yx
y
Per gli sforzi tangenziali si ottiene:
u
l’equazione di continuità assume la forma:
x
v
y
l’equazione della quantità di moto lungo x diventa:
l’equazione della quantità di moto lungo y diventa:
l’equazione dell’energia diventa:
u
T
x
v
T
y
u
p
y
T
0
u
x
y
2
y
0
2
a
v
u
u
c p y
1 p
x
u
2
y
2
velocità disaccoppiata
dalla temperatura
2
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 11/12
Parametri di similitudine
L’obiettivo è di trovare equazioni rappresentative del moto in cui compaiano solo gruppi adimensionali
Si introducono le variabili adimensionali seguenti:
x
*
x
y
y
*
u
*
u
L
Sostituendo nelle
u
v
u
L
u
x
v
u
y
*
v
T
v
1 p
u
*
2
x
y
2
u
T Tp
p
*
p
u
2
T T p
T
x
T
v
T
2
a
y
y
2
u
c p u
Parete
si ottiene:
STRATO LIMITE DI VELOCITA’
u
*
u
*
x
*
v
*
u
*
y
*
p
*
x
*
u
*
u L y *
2
STRATO LIMITE TERMICO
u
*
T
x
*
*
v
*
T
y
*
*
a
T
2
u L y
*
*2
2
con le
condizioni
al contorno:
u
*
x ,0 0
*
*
*
Corrente libera
u
con le
condizioni
al contorno:
v x ,0 0
*
x
*
, 1
Parete
T
*
x ,0 0
*
T
*
x
*
, 1
2
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 12/12
Parametri di similitudine
Introducendo i numeri adimensionali
Re
L
u L
Pr
a
le equazioni si trasformano come segue:
u
*
x
*
v
*
y
*
0
u
*
u
*
x
*
v
*
u
*
y
*
p
*
x
*
u
2
1
Re
L
y
*
u
*2
*
T
*
x
*
v
*
T
*
y
*
Re
1
T
*
Pr y *
2
L
2
EQUAZIONI ADIMENSIONALI
Lo sforzo tangenziale alle parete è:
da cui si ricava il coefficiente di attrito:
s
u
y
C
f
u
L
y0
s
2
u
2
Re
L
u
*
y
u *
y *
2
Il numero di Nusselt si esprime come:
T *
Nu
*
k
y
hL
y* 0
*
y* 0
y* 0
EFFETTI DI TURBOLENZA 1/3
Si tratta di una distorsione delle linee di corrente del deflusso laminare.
Se Re è piccolo, i disturbi vengono dissipati, altrimenti si amplificano e il moto
diventa turbolento.
Il deflusso turbolento dà luogo a fluttuazioni nel tempo delle proprietà P del
moto:
La grandezza P è data, istante per istante, da:
P P P'
Componente fluttuante
Valore medio temporale
EFFETTI DI TURBOLENZA 2/3
Nelle ipotesi di deflusso stazionario, fluido incomprimibile a proprietà costanti,
le equazioni della conservazione della quantità di moto (lungo l’asse x) e
dell’energia diventano:
u
u
x
v
u
p
u
u ' v'
y
x y y
c p u
T
x
v
T
T
u
k
c p v 'T '
c p u ' v'
y y
y
y y
u ' v'
y
u
Lo sforzo tangenziale si esprime
pertanto come segue:
tot
e il flusso termico totale:
T
q tot k
c p v 'T '
y
Uno dei modelli più semplici
per la spiegazione della
turbolenza chiama in causa
i vortici
Si
intensificano
i
trasferimenti
di
quantità di moto e di
energia al fluido
Porzioni del fluido in moto
nello strato limite prima di
dissolversi nella matrice
fluida
EFFETTI DI TURBOLENZA 3/3
Si introduce la viscosità turbolenta eM come:
e la diffusività termica turbolenta eH come:
H
u
M
y
T
y
u 'v'
vT ' '
tot M
q tot c p a H
u
y
T
y
La maggiore intensità di mescolamento rende i profili di velocità più uniformi nel moto turbolento
il gradiente di velocità
(quindi gli sforzi alle
pareti) e il gradiente di
temperatura (quindi il
flusso termico) risultano
superiori
nel
moto
turbolento rispetto al
moto laminare