Transcript Лекция - FAITO.RU

Лекция 12
Прогнозирование с помощью
моделей
Проверка адекватности модели
Имеем оценку линейной модели множественной регрессии
~
~
~



yt  ~
x
x
a 0 a 1 1t a 2 2 t a 3 x 3 t  u t
         
a0
a1
a2
a3
(12.1)
u
Параметры модели получены по выборке {y,X} и
предполагаем, что все предпосылки теоремы ГауссаМаркова выполнены
Обозначим символом z0 «точку», в котрой необходтмо
вычислить прогнозное значение эндогенной переменной
Это значение обозначим y(z0)=y0
При этом:
 1
 

z1
z0   
 z2 
 z3 
Элементы выборки связаны между собой системой
уравнений наблюдений с неколлинеарной матрицей
коэффициентов Х
1. Точечный прогноз
Согласно теореме Гаусса – Маркова наилучший точечный
прогноз эндогенной переменной вычисляется по
формуле:
~
y0  ~
a0  ~
a 1 z1  ~
a2 z2  ~
a3 z3
(12.2)
Стандартная ошибка прогноза (СКО) есть

y0

~

u
1  q0
где
1 
T
T
q0  z  X X  z
(12.3)
Пример 1
Исходная выборка
ВНП
С
I
(млрд.долл) (млрд.долл) (млрд.долл)
14,00
8,00
1,65
16,00
9,50
1,80
18,00
11,00
2,00
20,00
12,00
2,10
23,00
13,00
2,20
23,50
14,00
2,40
25,00
15,00
2,65
26,50
16,50
2,85
28,50
17,00
3,20
30,50
18,00
3,55
Задача
Построить модель и
получить прогнозные
значения ВВП при
С=14.5 ; i=4.0
В результате применения МНК оценка модели приняла
вид:
ВНП  0 . 696  1 . 462 * С  0 . 902 * I;

u
 0 . 66
Подставляя в оценку модели значения С=14.5 ; i=4.0,
получим
~ ~
В Н П  0 . 696  1 . 462  14 . 5  0 . 902  4 . 0  25 . 3
Оценка стандартной ошибки прогноза соответственно
есть:

~

1

где

q
q
z X
 
С
I
T
y0
(млрд.дол (млрд.до
л)
лл)
Х=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8,00
9,50
11,00
12,00
13,00
14,00
15,00
16,50
17,00
18,00
1,65
1,80
2,00
2,10
2,20
2,40
2,65
2,85
3,20
3,55
0
u
 1 


~
z 0  14 . 5 ;
 4 .0 


X X 
T
1
T
0
T
z 0  (1
14 . 5
 1 . 919  0 . 114 0 . 112
   0 . 113 0 . 161  0 . 838
  0 . 112 0 . 838
4 . 652

q0=8.74
σy=2.06
Точечный прогноз – ВНП=25.3 σВВП=2.06
X
1

z
4 .0 )




Прогнозирование в условиях гетероскедастичности
В условиях гетероскедастичности исходной модели (12.1)
оценка параметров модели осуществляется ВМНК
Что, в частности, может быть сведено к модели вида:
y
1 ~ x 1t ~ x 2 t ~ x 3 t
~
 a0
 a1
 a2
 a3
 t
y *t 
Pt
Pt
Pt
Pt
Pt
       
a0
a1
a2
a3
 
(12.4)

Имея точку z0=(1, z1, z2,…)Т, в которой нужно получить
прогнозное значение переменной y, необходимо
преобразовать исходную точку z0, получить прогнозное
значение y* оценить стандартную ошибку ε
Имея значения y* σε ,легко получить значения прогноза
для переменной y и σu
~y     P ~ *
y
z0
~ u    P     P 
~

2
2
2
2
(12.5)

Соотношения (12.5) представляют собой точечную оценку
эндогенной переменной y исходной модели
2. Интервальное прогнозирование
В отличие от точечного метода прогнозирования
интервальный позволяет в качестве прогноза получить
числовой интервал, внутри которого может лежать
прогнозное значение эндогенной переменной
Для построения такого прогноза образуется дробь
Стьюдента в виде:
t 
~
y0  y0

(12.4)
y0
Знаем, что в схеме Гаусса-Маркова дробь (12.4) имеет
закон распределения Стьюдента с числом степеней
свободы η=n-к-1
где к – количество регрессоров в модели
Задав уровень доверительной вероятности Рдов (α=1Рдов), легко оценить границы интервала (y-0:y+0), внутри
которого с вероятностью Рдов лежат значения прогноза

y0  ~
y 0  t крит  y 0 ;

y0  ~
y 0  t крит  y 0
(12.5)
Значение ошибки прогноза рассчитывается по формуле
(12.3)
В примере 1 интервальный прогноз получает вид:
При tкрит(0.05,7)=2.36 имеем
ВНП

 25 . 3  2 . 36 * 2 . 06  20 . 44
ВНП

 25 . 3  2 . 36 * 2 . 06  30 . 16
Определение. Адекватность – возможность получения
результата с удовлетворительной точностью
Применительно к построению эконометрических моделей
следует сказать, под точностью результата понимается
абсолютное значение разности между прогнозом,
полученным с помощью модели и реальным значением
эндогенной переменной
Тогда модель считается адекватной, если эта разность не
превосходит некоторого наперед заданного значения
Отсюда вытекает алгоритм процедуры проверки
адекватности
Алгоритм процедуры проверки адекватности
1. Вся имеющаяся в распоряжении выборка наблюдений
делится на две неравные части: обучающую и
контролирующую
Обучающая выборка включает основную (большую) часть
наблюдений
Контролирующая выборка содержит до 5% от общего
объема выборки
2. По обучающей выборке оценивается модель
(рассчитываются оценки параметров модели и их
стандартные ошибки)
3. Задается значение доверительной вероятности Рдов
=1-α и определяется критическое значение дроби
Стьюдента tкрит
4. Для каждой «точки» из контролирующей выборки по
известным значениям экзогенных переменных строится
доверительный интервал прогнозного значения
эндогенной переменной (12.5)
5. Проверяется попадает ли соответствующее значение
эндогенной переменной внутрь полученного интервала
Пункты 5 и 6 проводятся для каждой точки выборки
персонально!
Вывод. Если все значения эндогенных переменных из
контрольной выборки накрываются соответствующими
доверительными интервалами, то полученная модель с
вероятностью Рдов считается адекватной, т.е. пригодной
для дальнейшего использования в целях решения
экономических задач
Пример
Исходная выборка
ВНП
С
I
(млрд.долл) (млрд.долл) (млрд.долл)
14,00
8,00
1,65
16,00
9,50
1,80
18,00
11,00
2,00
20,00
12,00
2,10
23,00
13,00
2,20
23,50
14,00
2,40
25,00
15,00
2,65
26,50
16,50
2,85
28,50
17,00
3,20
30,50
18,00
3,55
Точки для проверки
адекватности
 1 


 y  16 . 0
z 01  9 . 50
01
 1 . 80 


 1 


 y  30 . 5
z 02  18 . 00
01
 3 . 55 


ВНП
С
I
(млрд.долл) (млрд.долл) (млрд.долл)
14,00
8,00
1,65
18,00
11,00
2,00
20,00
12,00
2,10
23,00
13,00
2,20
23,50
14,00
2,40
25,00
15,00
2,65
26,50
16,50
2,85
28,50
17,00
3,20
Результаты оценки
-0,12
2,37
0,98
141
155
1,6
0,4
0,74
5
2,75
1,35
1,37
#Н/Д
#Н/Д
#Н/Д
Х=
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
8,00
11,00
12,00
13,00
14,00
15,00
16,50
17,00
1,65
2,00
2,10
2,20
2,40
2,65
2,85
3,20
3,43 0,14 -2,17
(ХТХ)-1= 0,14 0,29 -1,66
-2,17 -1,66 10,2
Q01=
Q02=
2,149
σ01= 1,316
0,373
σ01= 0,869
Адекватность в т. Z01
q
01

 3 . 43 0 . 14  2 . 17
 1 9 . 5 1 . 8    0 . 14 0 . 29  1 . 66
  2 . 17 1 . 66 10 . 2

01
 0 . 74
  1 
   9 . 5   0 . 374
  1 .8 
 

1  0 . 374   0 . 87
Прогноз в точке Z01 ~
y 1  1 . 35  1 . 6  9 . 5  0 . 12  1 . 8  16 . 298
1. Точечная проверка адекватности
t кр 0 . 05 ;5   2 . 57
y 1  16 . 0
t
16  16 . 298
0 . 87
 0 . 34  t кр
Доверительный интервал

Вывод
Модель в т. Z1 адекватна
y 1  16 . 298  2 . 57  0 . 87  14 . 06

y 1  16 . 298  2 . 57  0 . 87  18 . 53
1. Спецификация модели
2. Подготовка исходной информации
3. Оценивание параметров модели
4. Тестирование качества параметров модели:
- гомоскедастичность
- автокорреляция
5. Проверка адекватности