Transcript Моментом импульса частицы относительно неподвижной точки O

ГЛАВА 6
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
6.1 Момент импульса частицы.
Момент силы. Уравнение моментов
http://prezentacija.biz/
http://lekcija.com/
Момент импульса частицы
относительно неподвижной точки


Пусть частица A движется со
скоростью v. Положение частицы
в пространстве зададим
радиусом-вектором r,
проведенным из неподвижной
точки O.
Моментом импульса частицы
относительно неподвижной
точки O называется вектор L:

 
L  [r  p ]
(где p = mv – импульс частицы).
L  rp sin   l p p
Угол  – угол между векторами p и r; lp –
кратчайшее расстояние от точки O до
линии, вдоль которой направлен вектор p
(плечо импульса).
Вектор L перпендикулярен плоскости, в
которой расположены векторы p и r.
Момент импульса частицы
относительно неподвижной оси

Моментом импульса Lz частицы относительно
неподвижной оси Z называется проекция на эту ось
момента импульса L частицы, вычисленная относительно
неподвижной точки оси Z.

Момент импульса Lz относительно неподвижной оси
является скалярной величиной
Значение Lz не зависит от выбора точки O на оси Z.

Момент силы


Пусть к частице A приложена сила
F.
Моментом силы F относительно
неподвижной точки O называется
вектор, равный:

 
M  [r  F ]
M  rF sin   Fh

Здесь  – угол между векторами r
и F, h = rsin - плечо силы –
кратчайшее расстояния между
линией действия силы F и точной
O.
Вектор M перпендикулярен
плоскости, в которой
расположены векторы F и r.
Момент силы относительно
неподвижной оси

Моментом силы Mz относительно неподвижной оси Z
называется проекция на эту ось вектора момента силы
относительно произвольной точки O на оси Z.

Величина Mz является скалярной и не зависит от выбора
точки O на оси Z.
Уравнение моментов

Найдем производную по времени момента импульса L:

dL



    dp   dr

 
d  
 dr

[r  p ]  
 p   r 
 
 p   [r  F ]

dt
dt
dt   dt
 dt
 


Производная:


d rO
d rA




( r A  rO ) 

 rO  const
dt
dt
dt
dt
dr

d


d rA

 v
dt
Тогда

dL


 

 v  p  v  p   0 
 
 

 v  p   [ r  F ]  
 M
 
dt
[r  F ]  M


Уравнение моментов

Таким образом, получаем уравнение моментов:


dL
 M
dt

Это уравнение показывает, что производная по времени
момента импульса частицы равна моменту действующей
на нее силы.
ГЛАВА 6
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
6.2 Момент импульса частицы при
движении в гравитационном поле.
Второй закон Кеплера
Момент импульса частицы при
движении в гравитационном поле


Пусть частица A движется в поле
неподвижного гравитационного центра
– тела C массы M.
Действующая на частицу сила равна:

Mm 
F гр   G 3 r
r
здесь r – радиус-вектор частицы,
проведенный из точки C, r –
расстояние между центром
гравитационного поля и частицей.
Поскольку в любой момент времени Fгрr, то ее момент
относительно точки C равен нулю, следовательно, момент импульса
L частицы относительно точки C сохраняется.
9
Основное свойство центрального
гравитационного поля

Таким образом, доказано основное свойство
центрального гравитационного поля: при движении в
центральном гравитационном поле момент импульса
частицы относительно центра поля сохраняется

Рассмотрим следствия, вытекающие из этого свойства.
Следствие 1

1. Траектория движения частицы в центральном
гравитационном поле является плоской кривой; плоскость
движения проходит через центр поля.

При движении частицы ее момент импульса относительно
поля L = [rp]. По свойству векторного произведения,
rL. А поскольку вектор L = const, его направление в
пространстве остается неизменным. Следовательно, при
движении частицы вектор r остается в одной плоскости,
перпендикулярной к L, которая проходит через центр
поля. Что и требовалось доказать.
Следствие 2 (2-й закон Кеплера)

2. (Второй закон
Кеплера): радиус-вектор
частицы при ее движении
в центральном
гравитационном поле за
равные промежутки
времени описывает
одинаковые площади

Докажем это свойство.
Следствие 2 (2-й закон Кеплера)
Момент импульса частицы:




 
 
m[ r  d r ]
  dr 
L  [ r  p ]  m r  v   m  r 
 
dt
dt


L


m
dS
[r  dr ] 
 2 dS  2 m
 2m
dt
dt
dt
m
Величина  = dS/dt называется секториальной скоростью (площадь,
описываемая за единицу времени радиусом-вектором частицы).
Поскольку L = const, то и  = const.
ГЛАВА 6
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
6.3 Закон сохранения момента
импульса системы частиц
Момент импульса системы частиц

Рассмотрим систему частиц, импульсы которых в
некоторой системе отсчета равны p1, p2, …, pi, …, pN.
Положения этих частиц в пространстве задаются
радиусами-векторами r1, r2, …, ri, …, rN, проведенными из
некоторой неподвижной точки O (неподвижного начала).

Моментом импульса L системы частиц относительно
неподвижной точки O называется векторная сумма всех
моментов импульса Li всех частиц системы относительно
той же точки:

L 
N

i 1

Li 
N
 
 [ r1  p i ]
i 1
Момент импульса системы,
состоящий из 2-х частиц
Данный рисунок иллюстрирует, как вычисляется
момент импульса системы, состоящей из двух частиц

Вывод уравнения моментов для
системы частиц

Чтобы найти физическую величину, которая определяет
скорость изменения момента импульса системы частиц,
продифференцируем по времени обе части формулы для L:

dL
dt

d
N

dt
i 1

Li 
N

i 1

d Li
dt
N


i 1

Mi 
N

i 1
N


M внутр i   M внеш i
i 1
(поскольку на каждую частицу действуют как внутренние, так
и внешние силы).
Вывод уравнения моментов для
системы частиц

Рассмотрим любые две частицы
системы 1 и 2. По III закону Ньютона
F1 = – F2. Вычислим сумму моментов
этих внутренних сил:










M 1  M 2  [ r1  F1 ]  [ r2  F2 ]   [ r1  F2 ]  [ r2  F2 ] 






 [( r2  r1 )  F2 ]  ( r2  r1 )  F1  0 .



Поскольку все внутренние силы – это
силы попарного взаимодействия
частиц друг с другом, и момент
каждой пары сил равен нулю, то
суммарный момент всех внутренних
сил, действующих в системе, равен
нулю:
N


M внутр i  0
i 1
18
Вывод уравнения моментов для
системы частиц

Таким образом, получаем уравнение моментов для
системы частиц:

dL
dt

N



M внеш i
i 1
В соответствии с этим уравнением, производная по
времени момента импульса системы частиц равна сумме
моментов всех внешних сил, действующих на частицы.
Закон сохранения импульса системы
частиц

Из уравнения моментов вытекает закон сохранения
импульса системы частиц: момент импульса L замкнутой
системы частиц с течением времени не изменяется (т.е.
сохраняется).

Действительно, если система замкнута, т.е. внешние силы
отсутствуют, то:

M внеш i  0 
N

i 1


M внеш  M внеш  0 

dL

 0  L  const
dt
Однако, в некоторых случаях момент импульса незамкнутой
системы частиц может сохраняться. Рассмотрим эти случаи.
Частные случаи закона сохранения момента
импульса незамкнутой системы частиц

1. Если система не замкнута, но моменты внешних сил,
вообще говоря, отличны от нуля, но при этом сумма
моментов внешних сила равна нулю, то момент импульса
системы сохраняется:

M внеш i  0 , но
N

i 1

M внеш  M внеш  0 

dL
dt

 0  L  const
Частные случаи закона сохранения момента
импульса незамкнутой системы частиц

Пример. Летевшая горизонтально пуля со скоростью v0
массой m застревает в небольшом деревянном шаре
массой M, подвешенном на вертикальном стержне,
который может свободно вращаться вокруг
горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса O.

На пулю и шар действуют внешние силы mg, Mg и N
(сила N в момент удара пули может быть очень
большой). Однако, если за время удара стержень не
успевает значительно отклониться, то моменты всех
внешних сил относительно точки O равны нулю (линии
действия этих сил проходят через точку O), то момент
импульса системы сохраняется:




[ r  m v0 ]  [ r  ( M  m ) v ]
Частные случаи закона сохранения момента
импульса незамкнутой системы частиц

2. Если проекция на некоторую неподвижную ось Z
момента всех внешних сил равна нулю, то в проекции на
ось Z момент импульса Lz сохраняется:
N

i 1

M внеш  M внеш  0 , но M
z
0
dL z
dt
 0  L z  const
Частные случаи закона сохранения момента
импульса незамкнутой системы частиц



Пример. Подвешенный на нити шарик
вращается с постоянной скоростью в
горизонтальной плоскости по окружности. В
этом случае проекция на проходящую через
точку подвеса O вертикальную ось Z момента
импульса шарика сохраняется в процессе
движения.
Действительно, на шарик действуют: сила
натяжения нити T (не создающая момента, т.к.
линия ее действия проходит через точку O);
сила тяжести, момент которой M = [rmg] в
проекции на ось Z равен нулю (см. рисунок).
Поэтому Lz = const.
Вектор L имеет постоянную длину и
вращается в пространстве вместе с шариком,
описывая поверхность кругового конуса, в то
время как его проекция на ось Z остается
постоянной.
Частные случаи закона сохранения момента
импульса незамкнутой системы частиц

3. Момент импульса системы приблизительно
сохраняется, если момент Mвнеш ограниченной по модулю
внешней силы действует в течение короткого
промежутка времени t (т.е. t  0):

dL



 M внеш  d L  M внеш dt ;
dt



 L  L 2  L1 
t



 M внеш dt  M внеш  t  0  L  const
0