Transcript mathesis 8 aprile 2014 - ISTITUTO COMPRENSIVO di

UN MONDO DI PROBLEMI,
MA … MATEMATICI
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
8 aprile 2014
1
IL BERSAGLIO
(da Relly matematico 1999/2000 F.Jaquet …)
Saverio ha ottenuto un totale di 11 punti lanciando le sue quattro freccette su
questo bersaglio
Egli sostiene che tirando ogni volta
quattro freccette può ottenere tutti i
possibili punteggi da 3 a 20
0
3
5
Che casa ne pensate?
Per ogni punteggio trovato, indicate
i calcoli
(Un po’ più difficile) Le frecce sono 7
(5,5,3,3,3,0,0) per un totale di 19, e i
possibili punteggi da 3 a 35
RISPOSTA OTTIMALE
Non si può ottenere né 4, né 7, né 17, né 19 con la giustificazione
dei casi possibili e dell’impossibilità di almeno 4 e 7.
2
IL BERSAGLIO
0
(da Relly matematico 1999/2000 F.Jaquet …)
Ambito concettuale
-Aritmetica
3
5
-Inventare addizioni con quattro addendi
Analisi del compito
-Comprendere che
3=3 + (3 x 0) è il punteggio minimo
20=5 x 4 è il punteggio minimo
- Verificare per tentativi la possibilità
di ottenere i numeri compresi tra 3 e
20:
Non si può ottenere né 4, né 7, né 17, né 19
3
Il gioco dei birilli
Dalla rivista :
MATH ECOLE n.168, agosto 1995, pag.39.
In questo gioco vi sono sette birilli che valgono:
28, 27, 19, 15, 25, 18 e 22 punti.
Nel corso del gioco, come vedi nella
figura, alcuni birilli sono caduti.
Quelli che sono rimasti in piedi
totalizzano 66 punti.
Trovare il valore di ciascuno di
questi birilli.
Soluzione: 19 – 25 - 22
4
Il gioco dei birilli … e se
In questo gioco vi sono sette birilli che valgono:
28, 27, 19, 15, 25, 18 e 22 punti.
Nel corso del gioco, come vedi nella
figura, alcuni birilli sono caduti.
Quelli che sono rimasti in piedi
totalizzano 56 punti.
Trovare il valore di ciascuno di
questi birilli.
Soluzione: 19 – 15 - 22
5
Il divertimento di
Tommaso ( Math-Ecole
n.169, ottobre 1995,
pag.12, n.1)
A questo gioco si
lanciano delle palle per
far cadere delle scatole,
tutte uguali e disposte
come in figura.
Quando una scatola cade trascina con sé, nella caduta,
tutte le scatole che stanno sopra di essa.
Alla fine del gioco si contano tutti i punti segnati sulle
scatole cadute.
6
a)Tommaso ha ottenuto esattamente 33 punti. Quali
scatole ha fatto cadere?
( Risposta: 7, 9, 4, 2, 6, 5)
b)Tommaso dice che ha ottenuto i 33 punti lanciando
solamente due palle. Quali sono le due scatole che ha
toccato con le sue due palle?
( Risposta : 7 , 5 )
7
NEL REGNO DI FLORA
Matematica Senza Frontiere – Accoglienza 2007/2008
La regina Flora viveva in un paese magico. Una parte del reame era sotto
l’influsso della strega Malefica. Flora sapeva che per sconfiggere Malefica era
necessario combattere contro una pianta carnivora.
Andò a chiedere consiglio ad un saggio che le disse:
“Questa pianta ha tre fiori capaci di divorarti e tre foglie avvelenate.
Tu puoi tagliare solo 1 o 2 fiori per volta; analogamente tu puoi tagliare solo 1 o
2 foglie contemporaneamente.
Attenzione però:
• se tagli 1 foglia, ne spunteranno 2,
• se tagli 2 foglie in un sol colpo,esse non rispunteranno ma spunterà un nuovo
fiore,
• se tagli 1 fiore, esso rispunterà,
• se tagli 2 fiori, allora non rispunterà alcunché.
Agisci in modo logico e potrai vincere.”
Quale strategia d’attacco dovrà usare Flora affinché la pianta non abbia più
alcuna foglia né alcun fiore alla fine del combattimento? Illustrate il vostro
ragionamento.
8
CATENELLA DI NUMERI
Matematica Senza Frontiere – Accoglienza 2007/2008
Anna utilizza i numeri ad una cifra per formare una “catenella di
numeri”: addiziona, come rappresentato nella figura, due numeri
consecutivi per ottenere il successivo (se la somma supera 9 prende
solo la cifra delle unità). Ecco come comincia la “catenella” di oggi:
Ecco la catenella che ha fatto ieri
1???????639213
Individuate i numeri mancanti e
scrivete la catenella completa
illustrando il ragionamento che avete
seguito.
9
I SASSI COLORATI
Cinque bambini Marco, Lucio, Anna, Carla e Rosa hanno raccolto, lungo la spiaggia
dei sassi colorati.
•Chi ha raccolto più sassi?
Marco ha raccolto diciassette sassi
Lucio ha raccolto otto sassi
•Chi ha raccolto meno sassi colorati?
Anna ha raccolto dodici sassi
Ogni bambino ha messo in un
Carlo ha raccolto tredici sassi
sacchetto i sassi raccolti
Rosa ha raccolto diciotto sassi
L
Carlo
A
M
R
•Disegna i sassi che sono nel sacchetto di Carlo
•Scrivi sotto al sacchetto giusto il nome degli altri bambini
•Vi sono più sassi nel secondo sacchetto o nel quinto? (Da sinistra a destra)
•Carlo dice a Rosa:”Se mettiamo insieme i sassi che noi abbiamo raccolto, avremo più di 32
sassi, ma meno di 34”. È vero? Perché?
10
Marco
Lucio
Anna
Carlo
Rosa
ha raccolto diciassette sassi
ha raccolto otto sassi
ha raccolto dodici sassi
ha raccolto tredici sassi
ha raccolto diciotto sassi
Il giorno dopo i bambini hanno deciso di distribuire in parti uguali i loro
sassi in due sacchetti:
Anna ha fatto due sacchetti, ognuno di essi contiene …. sassi (Continua tu)
Due bambini, però, si trovano in difficoltà: Chi sono? Perché?
Questi due bambini che cosa potrebbero fare per poter distribuire i loro
sassi in parti uguali in due sacchetti?
11
CRIPTOARITMETICA
• Completare la seguente addizione in tutti i modi possibili
3 a 7
2 b c
5 4 1
N.B. Lettere diverse non “nascondono” necessariamente
numeri diversi.
Sicuramente è c=4.
Poiché le centinaia sono a posto la somma delle decine non
deve avere riporto.
Ragioniamo sulle decine :
1+a+b=4 allora a+b =3 , cioé a,b sono gli ¨amici del 3 ¨
in addizione, precisamente:
a=0
b=3
a=3
b=0
a=1
b=2
a=2
b=1
Le possibili addizioni sono quindi quattro:
307
234
____
541
337
204
____
541
317
224
___
541
327
214
___
541
12
E se ......
nell’addizione data inizialmente si eliminasse anche il 2 quante
diventerebbero le soluzioni ,
se il secondo addendo resta di tre cifre?
3 a 7
d b c
5 4 1
Per d= 2 valgono le quattro soluzioni già
trovate.
Se fosse d=1?
Allora avremmo:
1 + a + b = 14
quindi
a + b = 13
a=9
a=8
a=7
b=4
b=5
b=6
a=4
a=5
a=6
b=9
b=8
b=7
In totale avremo dieci soluzioni che soddisfano i dati.
13
Caccia al tre
Isidoro sta scrivendo la successione dei
numeri a partire da 1:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Ad un certo punto Isidoro scrive la cifra 3 per
la venticinquesima volta.
Quale numero sta scrivendo Isidoro a quel
punto?
Mostrate come lo avete trovato.
10° Rally Matematico Transalpino
14
Caccia al tre
Ambito concettuale
Numerazione: distinzione fra cifra e numero
Analisi del compito
Capire che si deve contare quante volte compare la
cifra 3 nella successione dei numeri.
Organizzare le ricerca: scrivere la successione dei
numeri oppure scrivere solo i numeri contenenti la
cifra 3 oppure procedere esaminando
successivamente le diverse decine.
Fermarsi al numero che contiene la venticinquesima
cifra 3, e cioè a 131.
15
LA COMBINAZIONE DELLA CASSAFORTE
Il signor Gianni Smemorini ha dimenticato la combinazione della sua cassaforte;
chiama a raccolta tutta la famiglia per vedere se mettendo insieme i loro ricordi si
riesce a ricostruire la combinazione.
Il signor Gianni ricorda che il numero è formato da 5 cifre tra loro diverse
la moglie dice che la prima cifra è 9
il figlio ricorda che l’ultima cifra è 8
la figlia è certa che la somma dei valori delle cifre della combinazione è 22.
Con queste informazioni la famiglia Smemorini riesce a trovare alcune
possibili combinazioni.
* Scrivi tutte le possibili combinazioni che rispettano le informazioni date.
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Le informazioni date esplicitamente consentono di fissare la prima e l’ultima
cifra della combinazione della cassaforte:
9
8
La somma dei valori delle cifre della combinazione è 22, quindi la somma dei
valori delle cifre mancanti è 22 – (9 + 8) = 5. Tale somma deve essere
ottenuta con tre addendi distinti; si hanno i casi
16
90148
90418
90238
90328
91048
91408
92038
92308
93028
93208
94018
94108
Nella seconda parte del
problema viene data
un’ulteriore informazione
(l’ordine decrescente dei
valori delle prime quattro cifre
della combinazione) che
permette di ridurre le
soluzioni possibili alle due
seguenti
93208
94108
Dato che il signor Gianni ha a disposizione tre tentativi per aprire la
cassaforte prima di fare scattare l’allarme, ora può provare
entrambe le combinazioni senza correre rischi.
17
NUMERI "CROCIATI"
(cat. 4, 5)
7o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999
Completate questo schema di numeri disponendo
una cifra per ogni casella, in base alle seguenti
indicazioni:
Orizzontali
1. Multiplo di 4
2. Le tre cifre di questo numero sono numeri naturali
consecutivi (che si susseguono in ordine crescente)
3. Le due cifre di questo numero sono numeri la cui
differenza è un multiplo di 2
Verticali
A. Le due cifre di questo numero sono numeri
dispari consecutivi (che si susseguono in ordine
crescente)
B. Multiplo di 9
C. Multiplo di 7 e di 11
Spiegate come avete ragionato
18
NUMERI "CROCIATI"
(cat. 4, 5)
7o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999
Campo concettuale:
- aritmetica: numerazione, multipli
- organizzazione dei dati
Analisi del compito:
- leggere tutte le definizioni e scegliere quella che permette di definire un
numero in modo univoco: C verticale (77);
- capire che, di conseguenza, anche il 2 orizzontale risulta definito in
modo univoco (567) etc.;
- formulare le ipotesi necessarie per individuare l'1 e il 3 orizzontale e il B
verticale
19
IL RITARDATARIO
Rally 1997/98 pag. 105
Nella classe di Luca molti bambini hanno preso la brutta
abitudine di arrivare a scuola in ritardo.
La maestra propone un patto per i 25 giorni di scuola che
mancano alle vacanze di Pasqua. Alla fine del periodo
stabilito darà ad ogni bambino 3 caramelle per ogni
giorno in cui è arrivato puntuale e ne chiederà 12 per ogni
giorno di ritardo.
Luca, che è stato presente 25 giorni, non riceve
nemmeno una caramella ma neanche ne deve dare alla
maestra.
Quanti giorni Luca è arrivato in ritardo a scuola?
Spiegate il vostro ragionamento.
20
IL RITARDATARIO
Rally 1997/98 pag. 105
Campo concettuale:
- Aritmetica, logica.
Analisi del compito:
- Ipotizzare che per circa metà giorni (12 oppure 13) Luca sia arrivato
in orario, per poi aumentare tale numero fino a trovare la soluzione: 20
giorni in orario e 5 giorni in ritardo.
- Oppure considerare multipli di 3 e multipli di 12 fino a trovare il valore
comune 60
- Oppure osservare che 1 giorno di ritardo "pareggia" 4 giorni di
puntualità, e che tale situazione si può ripetere 5 volte in 25 giorni.
21
IL NASO DI PINOCCHIO
Rally 1999/2000 pag. 140
Il naso di Pinocchio è lungo 5 centimetri. Quando
Pinocchio dice una bugia la Fata dai capelli turchini glielo
fa allungare di 3 centimetri, ma quando Pinocchio dà una
risposta sincera la Fata glielo fa accorciare di 2 centimetri.
Alla fine della giornata Pinocchio ha il naso lungo 20
centimetri e ha detto 7 bugie.
Quante risposte sincere ha dato Pinocchio alla Fata nel
corso della giornata?
Spiegate come avete fatto a trovare la risposta.
22
IL NASO DI PINOCCHIO
Rally 1999/2000 pag. 140
Campo concettuale:
-Aritmetica: linea dei numeri e spostamenti su di essa, le quattro
operazioni
Analisi del compito:
- stabilire che per le 7 bugie dette il naso di Pinocchio si allunga di 21
cm (7x3), che aggiunti ai 5 iniziali porterebbero ad una lunghezza
totale di 26 cm (21+5); se il naso di Pinocchio è lungo solo 20 cm,
significa che si è accorciato di 6 cm a causa di 3 risposte sincere che
ha dato (26-20) : 2
- disegnare una linea dei numeri e, partendo dal numero 5, procedere
in avanti di 3 in 3 per 7 volte arrivando al numero 26; da qui tornare
indietro di 2 in 2 fino al numero 20 (3 volte)
- effettuare per tentativi spostamenti alternati per arrivare a 20
23
Numeri in incognito (soluzione non unica) (da “Nel mondo della matematica”
vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)
(58  ) +  = 300
si deduce che
- il numero che corrisponde al simbolo  deve essere un
numero minore di 6, dato che 58  6  300
- il prodotto 58   è un numero pari, che può essere 0, 58 o
maggiore di 58
- il numero che corrisponde a  deve essere un numero pari,
diverso da 0 e non maggiore di 300.
Conviene procedere per sostituzioni a partire da , dato che
il valore di  si ottiene semplicemente per differenza:


0
1
2
3
4
300 242 184 126 68
5
10
24
E se fosse…
(58  ) + 2   = 301
Non ho soluzioni perché la somma di due numeri pari
non può essere un numero dispari
25
La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
Giacomo ha nove cubi, di materiali differenti, che pesano: 1, 3, 5, 7, 8,
10, 11, 13, e 15 grammi. Ne mette quattro sul piatto di destra di una
bilancia e quattro su quello di sinistra. Per ristabilire l’equilibrio, sul
piatto di destra deve aggiungere un peso di 30g.
?
Quale può essere il cubo che non si trova sulla bilancia? Spiega il
ragionamento che fai.
E se mettessi 5 pesi sul piatto di sinistra e 3 su quello di destra, senza
modificare le altre condizioni, potrei raggiungere l’equilibrio scartando un
cubetto?
26
La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
Soluzione
30g
?
p.p.
peso per piatto
p.c.d.
peso cubetti destra
c.s
peso cubetto scartato
4c. ?
4 cubetti?
Peso in grammi dei cubetti
1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15
Peso totale in grammi: 103
I pesi sono in grammi
30g
27
La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
 Avendo 7 addendi dispari potevamo prevedere che la
somma fosse dispari! (1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15
30)
 103 è dispari quindi non può essere diviso in due parti
uguali da mettere sulla bilancia.
Perché l’equilibrio sia possibile dobbiamo:
• scartare un peso dispari
• controllare se i pesi rimanenti possono
essere disposti come indicato nel disegno:
quattro cubetti su ogni piatto più il peso da 30g
 Esaminiamo tutti i casi possibili notando che il peso
minimo di 4 cubetti è, in grammi, 1+3+5+7=16 Conviene
fare uno schema:
28
La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
c.s.
p.p.
p.c.d.
4c.?
1
102 : 2 = 51
51-30=21
21
. . . . no
3
100 : 2 = 50
50-30=20
20
. . . . no
5
98 : 2 = 49
49-30 =19
19
1+3+7+8 sì
7
96 : 2 = 48
48-30=18
18
. . . . no
11
92 : 2 = 46
46-30=16
16
1+3+5+7 sì
Inutile continuare perché avevamo notato che 16g era il più piccolo peso
di cui disponevamo.
29
La bilancia: un cubo è di troppo!
(Math-Ecole n.192, giugno 2000, pag.29 - n.11)
E se mettessi 5 pesi sul piatto di sinistra e 3 su quello di destra, senza modificare le
altre condizioni, potrei raggiungere l’equilibrio scartando un cubetto?
Esaminiamo tutti i casi possibili notando che il peso minimo di 3 cubetti è, in grammi,
1+3+5= 9.
SCHEMA
c.s.
p.p.
p.c.d.
3 c. ?
1
102 : 2 = 51
51-30=21
21
3 7 11
3
100 : 2 = 50
50-30=20
20
5 7 8
5
98 : 2 = 49
49-30 =19
19
1 8 10
7
96 : 2 = 48
48-30=18
18
3 5 10
11
92 : 2 = 46
46-30=16
16
3 5 8
13
90 : 2 = 45
45-30=15
15
3 5 7
15
88 : 2 = 44
44-30=14
14
1 5 8
30
L’anno di nascita di Topolino
Collection DIAGONALE - CE2- pag..74, ed. Nathan
Scopri l’anno di nascita di Topolino per mezzo del messaggio che c’è
nella busta.
• Mettiti sulla casella :
PARTENZA
• Vai di casella in
casella scegliendo uno
dei cammini segnati:
quello giusto!!!
Ricopia i quattro
numeri che incontrerai
sul tuo cammino per
mezzo delle
informazioni che
seguono:
31
L’anno di nascita di Topolino
Collection DIAGONALE - CE2- pag..74, ed. Nathan
888
1ª casella : il numero più piccolo
2ª casella : 92 centinaia, la cifra delle decine è 0
9 202
3ª casella : 2 migliaia, 6 centinaia, 5 unità e 1 decina
2 615
4ª casella : numero compreso tra 5 e 6 migliaia
5 384
5ª casella : la busta! Aprila ...
Leggi il messaggio misterioso.
Nome : TOPOLINO
Anno di nascita : A
• Fai la somma dei numeri rappresentati
dalle cifre delle centinaia dei quattro
numeri che hai scoperto.
Questo è il numero delle centinaia di A.
• La cifra delle decine di A è il numero
doppio di 1.
• La cifra delle unità di A è uguale alla
cifra delle centinaia di A.
A= . . . .
32
1 929
Etichette (cat. 3, 4, 5)
7o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999
Pasqualina confeziona uova di Pasqua nella fabbrica
Coccoricò.
Su ciascun uovo incolla un'etichetta rossa.
Quando ha confezionato 10 uova, le mette in una scatola
che chiude e sulla quale incolla un'etichetta gialla.
Quando ha riempito 10 scatole, le mette in una cassa che
chiude e sulla quale incolla un'etichetta verde.
Ieri Pasqualina ha confezionato 256 uova .
Quante etichette ha incollato in tutto?
Spiegate il vostro ragionamento
33
Etichette (cat. 3, 4, 5)
7o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999
Campo concettuale:
-aritmetica: numerazione, addizione, moltiplicazione, divisione
Analisi del compito:
-capire la regola del raggruppamento degli oggetti (che è la stessa
del nostro sistema di numerazione): ogni scatola contiene 10 uova,
ogni cassa contiene 10 scatole; ogni volta che si hanno 10 oggetti
dello stesso genere si raggruppano nel recipiente di grandezza
successiva;
-capire che il numero delle etichette è la somma dei numeri delle
uova, delle scatole e delle casse: 256 + 25 +2 = 283
- procedere mediante disegno degli oggetti e loro conteggio oppure
attraverso il calcolo: 256 : 10 = 25 (scatole), 25 : 10 = 2 (casse).
34
L’ASINO DI TOBIA
(Cat. 3)
15e RMT PROVA 1 (gennaio-febbraio 2007)
Tobia è andato in paese ed ha acquistato 6 sacchi di provviste. Li
vuole trasportare con il suo asino fino alla sua casa sulla cima del
monte.
Ecco i sacchi di provviste sui quali è indicato il loro peso in chili.
Tobia vuole sistemare tutti i sacchi nelle due ceste poste sul dorso
dell’asino in modo che le due ceste abbiano lo stesso peso.
Come può fare Tobia?
Descrivete tutti i modi in cui Tobia può sistemare i sacchi nelle
ceste e spiegate come li avete trovati.
35
L’ASINO DI TOBIA
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: operazioni; scomposizione di un numero come somma
Analisi del compito
- Comprendere l’enunciato al fine di poterlo matematizzare.
- Rendersi conto che, se le due ceste devono avere lo stesso peso, il peso di
ciascuna di esse deve essere la metà di quello totale, cioè
(10+7+12+5+6+16): 2 = 28 in kg.
- Cercare di ottenere 28 utilizzando i numeri a disposizione, dopo avere
eventualmente notato che i due numeri dispari (7 e 5) devono quindi essere
insieme.
36
L’ASINO DI TOBIA
-Scoprire così che ci sono due modi di distribuire i sacchi nelle ceste,
corrispondenti alle seguenti uguaglianze numeriche:
16+7+5=10+6+12
12+16=10+7+5+6
-(Per trovare il secondo modo di distribuire i sacchi, bisogna liberarsi della
consegna immaginaria “3 sacchi in ciascuna cesta” e pensare che i sacchi
possano essere ripartiti in numero diverso (4 e 2) senza influire sul peso
delle ceste).
Oppure: procedere per tentativi cercando ogni volta di formare con i numeri
dati due addizioni che diano lo stesso risultato.
Risposta : le due possibilità 12+16=10+7+5+6 e 16+7+5=10+6+12 con
spiegazione
37
NUMERO DA INDOVINARE
15e RMT PROVA 1 (gennaio-febbraio 2007) 2007 3 2. (Cat. 3, 4)
Giacomo pensa un numero. I suoi compagni lo
devono indovinare. Per aiutarli egli dà loro le
seguenti informazioni :
– è un numero pari;
– il suo doppio è più piccolo di 100;
– è un numero più grande di 33;
– in questo numero compare una sola volta la cifra 4;
– se si scambiano fra loro le due cifre di questo
numero, si ottiene un numero più piccolo di 70 ma più
grande di 50.
Qual è il numero pensato da Giacomo?
Spiegate come avete fatto a trovarlo.
38
NUMERO DA INDOVINARE
15e RMT PROVA 1 (gennaio-febbraio 2007) 2007 3 2. (Cat. 3, 4)
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
• Aritmetica: numerazione, relazione d’ordine, cifra e numero, notazione posizionale,
doppio di un numero, numeri pari
Analisi del compito
• Comprendere le differenti condizioni del problema.
• Tradurre ciascuna condizione con una proprietà delle cifre del numero cercato.
•
Procedere in modo sistematico scartando i numeri che non soddisfano tali
condizioni.
• Dedurre, dalle prime tre condizioni, che i numeri possibili sono i numeri pari compresi
tra 34 e 49. Tra questi gli unici numeri compatibili anche con la quarta condizione
sono il 34, il 40, il 42, il 46 ed il 48.
• Scartare il 34, il 40, il 42, e il 48 perché non compatibili con la quinta condizione.
• Concludere che il numero pensato è 46.
• Oppure: la seconda e terza condizione mostrano che i numeri possibili sono compresi
tra 34 e 49; l’ultima condizione dà come cifra delle unità 5 o 6; la prima condizione
impone 6 come cifra delle unità: a questo punto i numeri possibili sono 36 o 46; la
quarta condizione porta al 46.
Risposta corretta : 46 con spiegazione o verifica esplicita della
coerenza con tutte le condizioni
39
Le bandiere
Vedi le bandiere di sei Stati
del mondo. Scrivi sotto ogni
bandiera lo Stato cui
appartiene.
40
Le bandiere
?
Contrassegna:
• ogni zona rossa con un numero decimale compreso tra
2,6 e 2,75
• ogni zona blu con un numero decimale compreso tra
0,01 e 0,1
• ogni zona gialla con un numero decimale compreso tra
3,80 e 3,81
• ogni zona bianca con un numero compreso tra
7,154 e 7,2
• la zona nera con il più piccolo numero che, approssimato ai
centesimi, è maggiore di 9.
• Il numero di ogni zona deve essere diverso dai numeri delle
altre zone anche se hanno lo stesso colore.
41
Le bandiere
Per controllare se hai lavorato bene
• ricopia le bandiere senza colorarle
• scrivi in ogni zona il numero che hai scelto
• copia la consegna relativa ai colori
e chiedi a un tuo compagno di colorare le
bandiere e di scrivere sotto ad ognuna lo
Stato cui appartiene
42
UNA STORIA DI PUFFI
Nel simpatico villaggio di Pufflandia, i Puffi abitano
in graziose casette a forma di fungo, ve ne sono di
grandi e di piccole.
In ognuna delle 3 case
grandi
vivono 8 Puffi, in
ognuna delle
14 case piccole vivono
4 Puffi.
Quanti abitanti vivono
a Pufflandia?
Scrivi e risolvi l'espressione che ti permette di rispondere alla
domanda: ..................
43
ORGANIZZAZIONE DELLA SALA DA PRANZO
Da qualche giorno i Puffi sono indaffaratissimi ad
organizzare una festa in onore del compleanno di Puffetta.
Puffo Brontolone e puffo Vanitoso, che hanno l'incarico di
preparare il grande banchetto, parlottano fra loro:
Che fatica “puffare” tutti
questi tavoli! Almeno
fossero tutti uguali,
invece 9 sono da 3
posti, 7 da 6 posti e 5
da 8
Non preoccuparti con il mio ingegno
“pufferemo il minor numero di tavoli,
con tanti posti quanti sono gli abitanti
del villaggio. Inoltre farò in modo che in
nessuno dei tavoli occupati vi siano
posti vuoti
44
RICERCA DEI TAVOLI
Si consiglia di utilizzare una tabella per poter dominare la
situazione
I Puffi sono 80.
numero di numero di persone per Se consideriamo di riempire 5
tavoli da 8, cioè diamo il
tavoli
tavolo
posto a 40 Puffi, vediamo
1
2
3
8
16
24
6
12
18
3
6
9
4
32
24
12
5
6
40
30
36
15
18
42
21
24
27
7
8
9
facilmente che i 40 Puffi che
restano non possono essere
sistemati nei tavoli da 6 e da
3 senza che restino posti
vuoti.
Possiamo allora riempire 4
tavoli da 8. In questo modo
sistemiamo 32 Puffi.
I restanti 48 Puffi possono
essere distribuiti nelle tavole
da 6 e da 3 in vari modi; quello
che soddisfa il problema è:
Numero Puffi : 80
numero tavoli
occupati
9 + 4 = 13
45
INDOVINA CHI
Marco e Giovanni stanno giocando ad indovinare i numeri pensati.
Ora “tocca” a Marco indovinare il numero pensato da Giovanni in
base a questi indizi.
PRIMO INDIZIO
Lo puoi trovare numerando per 0,02 partendo da 1,92
fino a 2,10.
2,00
1,96
1,98
Può essere: 1,92 1,94
……
……
……
……
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
…….
……
……
…….
…….
SECONDO INDIZIO
La cifra dei decimi è 0
Può essere: 2,00
……. 2,02
…….
…….
2,04
…….
2,06
TERZO INDIZIO
Se lo dividi per 3 il resto della divisione è 0
Allora è: ……….
2,04
……..
2,08
46
NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE
• Se mi moltiplichi per 100 ottieni un numero
intero di 3 cifre.
• Se dividi la mia parte intera per 2 ottieni 4.
• La cifra dei centesimi è 1/3 di 9.
• La somma dei numeri rappresentati dalle mie
cifre è 15.
Che numero sono?
8,43
47
NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE
pag. 341
• Sono compreso tra 20 e 30
• La cifra delle unità è il doppio della cifra delle decine
• Se mi moltiplichi per 10 ottieni un numero intero
• Il numero rappresentato dalla cifra dei decimi
corrisponde ad 1/3 della parte intera.
Che numero sono?
24,8
48
NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE
• Se mi moltiplichi per 100 ottieni un numero intero di 5
cifre:
• Se dividi la mia parte intera per 10 ottieni ancora un
numero intero:
• Sono compreso tra 2 centinaia e 3 centinaia:
• La cifra dei centesimi è 1:
• Il numero che occupa il posto delle decine è il triplo del
numero che rappresenta i decimi:
• La somma dei numeri rappresentati dalle mie cifre è 15:
Che numero sono?
290,31
49
Una curiosa leggenda narra che un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo, un affluente del
fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il
pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio studiando quei segni,
scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni
riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò
uno dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e
dell’Universo.
I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in numeri
50
I cinesi attribuirono alle sue proprietà
matematiche un significato mistico, tanto da
farne il simbolo che in sè riuniva i principi
primi che formarono le cose, gli uomini e
l'universo e che tuttora sono in esso presenti.
Così i numeri pari vennero a simbolizzare il
principio femminile dello yin, mentre i dispari
quello maschile dello yang. Al centro vi è il
numero 5 che appartiene alle due diagonali,
alla colonna e alla riga centrali: esso
rappresenta la Terra. Tutto attorno sono
distribuiti i quattro elementi principali: i metalli
simbolizzati dal 4 e dal 9, il fuoco indicato dal
2 e dal 7, l'acqua dall'1 e dal 6 e il legno dal 3
e dal 8.
I quadrati magici probabilmente giunsero in
Occidente attraverso gli Arabi.
51
Il matematico Cornelio Agrippa
(1486-1535) si dedicò alla
costruzione dei quadrati magici
di ordine superiore a due,
infatti costruì quadrati magici di
ordine 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e a
essi attribuì un significato
astronomico: rappresentavano
i sette pianeti allora conosciuti
(Saturno, Giove, Marte, il Sole,
Venere, Mercurio e la Luna).
52
Dal Rinascimento in poi c’è sempre stato
interesse per queste figure che, intagliate nel
legno o in altri materiali, servivano come amuleti
e sono tuttora in uso in alcune regioni
dell’Oriente. Nel '500 e nel '600 si pensava che
questi quadrati magici incisi su una piccola
lastra d’argento potessero servire come amuleti
contro la peste. L’alone di mistero e di magia
che circonda queste figure geometriche è in
parte comprensibile se si analizzano le loro
sorprendenti possibilità combinatorie.
53
Bisogna attendere il 1300 per avere una
prima vera analisi sui quadrati magici da
un punto di vista meramente matematico.
Analizzando il lavoro dell'arabo Al-Buni,
l'erudito bizantino greco
Manuel Moschopoulos (circa 1265 - 1316)
scrisse un trattato matematico a proposito dei
quadrati magici, andando oltre il misticismo dei
suoi predecessori. Si pensa che
Moschopoulos fu il primo occidentale ad
occuparsi dell'argomento.
Manuel Moschopoulos
Intorno alla metà del XV secolo, l'italiano Luca
Pacioli studiò queste strutture e raccolse
tantissimi esempi. Si cominciava così a dare
la giusta interpretazione della struttura
logico-matematica di queste griglie di
numeri.
Luca Pacioli
54
Nel 1599 Diego Palomino pubblicò a Madrid un'opera sui
quadrati magici, ma non indicò alcun procedimento
generale per costruirli.
Un elegante metodo per trovare quelli di ordine dispari fu pubblicato nel 1612 da C.
G. Bachet nei suoi Problèmes plaisant.
Un procedimento per la costruzione dei quadrati di ordine pari fu dato da B. Frenicle
De Bessy in un'opera pubblicata nel 1693
Le pubblicazioni sui quadrati magici divennero, poi, sempre più frequenti ed è così
che apparvero le Rècrèations di Ozanam, il Traitè des quarrès sublimes di Poignard
(Bruxelles, 1704) e varie memorie di L. Eulero.
Oggi, grazie anche a Martin Gardner che ne ha data ampia diffusione nei suoi articoli
su "Scientific American" prima e nel suo Enigmi e giochi matematici poi, i quadrati
magici sono diventati parte fondamentale di quella branca della Matematica che
va sotto il nome di Matematica Ricreativa.
55
Albrecht Dürer
Melancolia I
56
Ecco il particolare dell’incisione:
Addizionando tra loro i numeri di ogni colonna, ogni riga e ogni diagonale si ottiene sempre
Il medesimo risultato,
34.
57
Albrecht Durer, 1514,"Melancolia"
(da I QUADRATI MAGICI di Gianfranco Baleani Matematica Pristem)
Percorsi magici su "Melancolia"
58
Basilica della Sagrada Familia a Barcellona,
Si tratta del quadrato magico di Josep Maria Subirachs Sitjar.
Nel crittogramma di Subirachs non sono presenti i numeri 12 e 16 (mentre i
numeri 10 e 14 sono ripetuti due volte) e il risultato della somma dei numeri
di ciascuna riga, colonna e diagonale è 33, gli anni della vita di Gesú.
59
Un quadrato magico è un quadrato diviso in nxn caselle quadrate
Le caratteristiche di un quadrato magico sono le seguenti:
in ciascuna casella appare un numero naturale diverso da zero;
un dato numero non appare più di una volta;
se la somma dei numeri di una data riga è s, deve essere s la
somma dei numeri:
di ogni riga
di ogni colonna
di ogni diagonale del quadrato
Il numero s si dice “la chiave” del quadrato magico.
60
Nel quadrato magico
della fig.1 la chiave è 34
Fig. 1
13
2
3
16
34
8
11
10
5
34
12
7
6
9
34
1
14
15
4
34
34
34
34
34
34
61
Costruire quadrati magici
Un criterio generale per costruire quadrati magici di ordine nxn non è
facile da trovare.
Nell’esempio che segue ci riferiamo ad un quadrato magico di ordine 3x3
 la cui chiave è 24 (scelta a caso)
 e nel quale abbiamo sistemato, sempre a caso: 3 e 7
Fig. 2
3
7
Fig. 3
x
3
x
21-x
7
x-11
28-x
14
2x-25
62
Costruire quadrati magici
Fig. 3
3
x
21-x
7
x-11
28-x
14
2x-25
1^ colonna:
3^ casella 24 – (3 + 7) = 14
1^ riga:
3^ casella 24 – (3 + x) = 21 – x
diagonale:
2^ casella 24 – (14 + 21 - x) = x – 11
2^ riga:
3^ casella 24 – (7 + x - 11) = 28 – x
3^ colonna:
3^ casella 24 – (21 – x + 28 - x) = 2x - 25
Abbiamo dati sufficienti per impostare un’equazione da cui trovare x.
Tale equazione è data dall’altra diagonale:
3 + (x – 11) + (2x – 25) = 24
da cui si ha x = 19
63
Costruire quadrati magici
Nella fig.3, sostituendo ad x il numero 19, abbiamo il seguente quadrato magico.
Fig. 4
3
19
2
Abbiamo un numero negativo; ciò dice
che la chiave scelta era incompatibile
con i numeri assegnati.
Cosa fare?
7
14
8
-3
9
13
Basta addizionare ad ogni numero del
quadrato magico uno stesso numero in
modo da rendere positivo (e quindi
naturale) anche il numero -3.
Dobbiamo addizionare un numero
maggiore di 3
64
Costruire quadrati magici
Per esempio se addizioniamo 4 otteniamo il quadrato magico della Fig.5.
36
Fig.5
7
23
6
36
11
12
13
36
18
1
17
36
36
36
36
36
Questo quadrato non ha più chiave 24, ma ha chiave:
24 + (4 x 3) = 36
65
Costruire quadrati magici
Chiave 14
x
17
3
3
7
14
Fig. 6
Può darsi che il procedimento seguito ci
porti ad un valore frazionario di x
17
16
3
3
14
7
3
3
11
19
3
3
Cosa fare?
Basta moltiplicare tutti i numeri del
quadrato magico per 3 (o per un multiplo
di 3).
In tal modo otteniamo un quadrato magico
dove appaiono solo numeri interi.
66
Costruire quadrati magici
La chiave del quadrato di Fig.6 era 14, la nuova chiave è:
14 x 3 = 42
42
9
17
16
21
14
7
42
12
11
19
42
42
Fig.7
42
42
42
42
67
Costruire quadrati magici
Per lo più i numeri che formano un quadrato magico sono scritti in
progressione aritmetica (cioè formano una successione di numeri in
cui la differenza tra un termine e quello successivo è costante), ma ciò
non è necessario.
Per semplicità si usa spesso una particolare progressione aritmetica
costituita dalla serie ordinata dei numeri naturali a cominciare
dall’unità.
il problema allora è quello di disporre i primi nove, sedici, venticinque
ecc… numeri naturali nelle caselle di un quadrato 3x3, 4x4, 5x5,
… in modo che il quadrato sia magico.
68
I quadrati magici a scuola
Problema:
Nel quadrato a fianco disponi i numeri
da 1 a 9 in modo che la somma dei
numeri situati sulla stessa riga, sulla
stessa colonna o sulla stessa diagonale
del quadrato sia sempre 15.
il quadrato che ottieni si chiama
quadrato magico.
Tentativi casuali
Tentativi guidati
69
Scrivere tutte le terne di numeri naturali (non ripetuti) la
cui somma è 15.
9
9
8
8
8
7
7
6
1
2
1
2
3
2
3
4
5
4
6
5
4
6
5
5
70
Abbiamo fatto notare che:
c
b
a
Il numero che
occupa la
posizione a
appartiene a
Il numero che
occupa la posizione
b appartiene a
Il numero che
occupa la posizione
c appartiene a
3 terne
2 terne
4 terne
71
Osservando le terne scritte si nota che l’unico numero che appartiene a 4
terne è il 5.
Il 5 si trova al centro del quadrato
9
9
8
8
8
7
7
6
1
2
1
2
3
2
3
4
5
4
6
5
4
6
5
5
8
4
5
2
6
I numeri che appartengono a 3 terne sono: 4 – 2 – 8 – 6 e vanno scritti nei
quattro angoli (due a caso e gli altri devono soddisfare le terne scritte)
Es.: Se nella prima casella della prima riga scrivo 4, nella terza casella
del’ultima riga devo scrivere 6.
Se nella prima casella dell’ultima riga scrivo 8, nella terza casella della prima
riga devo scrivere 2.
72
Ipotesi
La disposizione dei nove
numeri per formare un
quadrato magico non è
unica.
73
Isometrie del quadrato (otto)
rotazioni
8
3
4
1
5
9
6
7
2
Posizione di partenza
4
9
2
3
5
7
8
1
6
1/4 di giro a destra
6
1
8
7
5
3
2
9
4
3/4 di giro a destra
2
7
6
9
5
1
4
3
8
2/4 di giro a destra
8
3
4
1
5
9
6
7
2
4/4 di giro (a destra
74
Isometrie del quadrato (otto)
Simmetrie assiali
a
d
c
8
3
4
1
5
9
6
7
2
b
Posizione di partenza
6
7
2
1
5
9
8
3
4
Asse a
2
9
4
Asse c
4
3
8
9
5
1
2
7
6
Asse b
7
5
3
6
1
8
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Asse d
75
La chiave del quadrato magico
Quando i numeri sono in progressione
aritmetica e il quadrato magico è di ordine tre,
la chiave del quadrato è sempre il triplo del
numero centrale.
Si verifica su molti esempi diversi fino a
dedurre che “è molto probabile” che ciò
accada sempre.
76
La chiave del quadrato magico
Approfondimento per la scuola sec. di primo grado
Se i numeri sono in progressione aritmetica la somma dei termini
equidistanti dagli estremi è costante.
Es.: nella progressione
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Si ha: 1 + 9 = 2 + 8 =3 + 7 = 4 + 6 =10
Rispetto al 5, che è il numero centrale, si ha la seguente struttura:
5
5-1
5-2
5-3
5-4
5+1
5+2
5+3
5+4
77
Approfondimento per la scuola sec. di primo grado
5
5-1
5+1
5-2
5+2
5-3
5+3
5-4
5+4
Le terne diventano
4 + 5 + 6 = (5 – 1) + 5 + (5 + 1) = 5 x 3 = 15
3 + 5 + 7 = (5 – 2) + 5 + (5 + 2) = 5 x 3 = 15
2 + 5 + 8 = (5 – 3) + 5 + (5 + 3) = 5 x 3 = 15
ecc.
78
Approfondimento per la scuola sec. di primo grado
In generale, se a è il numero della casella centrale, fissato a piacere, si
costruiscono i numeri della progressione aggiungendo e togliendo ad a i
multipli di uno stesso numero n, scelto in modo che le sottrazioni siano tutte
possibili.
I nove numeri della progressione sono allora:
a – 4n, a – 3n, a – 2n, a – n, a + n, a +2n, a +3n, a +4n
Ecco un possibile quadrato la cui chiave è 3a
a-3n a+4n
a-n
a+2n
a-2n
a+n
a
a-4n a+3n
79
Un po’ di esercizi
Dahttp://utenti.quipo.it/base5/scuola/addites.htm
Completate i seguenti quadrati magici.
9
19
5
15
17
14
15
11
16
80
METODO NUMERICO PER TROVARE LE 8 POSSSIBILITÀ
2
5
8
2
4
2
5
6
6
5
8
4
8
81
8
5
2
8
4
8
5
6
6
5
2
4
2
82
2
5
8
4
2
6
5
8
2
5
6
8
4
83
8
5
2
4
8
6
5
2
8
5
6
2
4
84
La piramide di mattoni
Attività per prima e seconda
9
5
no
4
85
La piramide di mattoni
Problema: se si scambiano fra loro i due mattoni in basso, il
numero che figura nel mattone in alto cambia?
5
4
4
5
Scrivere un numero in forma additiva in modi diversi
La mia mini-piramide ha in cima un mattone in cui è rappresentato il
numero 12. Sai dirmi quali numeri possono figurare nei mattoni sui quali
esso appoggia?
Posso usare tutti
gli amici del 12?
12
86
Dopo l’addizione
Attraverso opportune situazioni problematiche ci si può avvicinare alla sottrazione.
Giacomo ha costruito la sua piramide. A Rita piaceva e l'ha copiata, ma
una macchia è caduta sul foglio. Sai dirmi cosa c'era scritto sotto la
macchia?
28
28
15
13
Ad alunni di quarta e quinta, con i
quali si sia già incontrato l’uso della
lettera al posto di un numero
sconosciuto, si propone una
rappresentazione diversa da quella
della macchia:
28
n
15
87
Seconda fase
Conoscendo i numeri rappresentati nei mattoni del primo piano,
completa la piramide.
10
19
5
39
15
10
24
5
19
88
Si propongono dei problemi nella cui soluzione è necessario
ricorrere anche alla sottrazione.
22
3
6
22
9
3
13
6
7
89
42
20
8
42
22
8
20
14
6
90
15
11
no
È un problema con infinite soluzioni.
In che ordine
“conviene” completare
i mattoni?
26
15
11
91
Piramidi a tre piani.
Il problema può aprire il passaggio all’algebra.
Si inizia conducendo la classe a capire che il problema sarebbe
risolvibile se si conoscesse il numero nel mattone centrale della
base.
36
13
Da far completare da
loro
15
Alcuni alunni rimangono bloccati
ritenendo impossibile trovare
una soluzione; la maggior parte
però comincia a procedere per
tentativi ponendo un numero nel
mattone centrale della base e
trovando i numeri del secondo
piano, la cui somma dovrebbe
essere uguale a 36.
Solo la piramide da
risolvere
92
Piramidi a tre piani.
Se lo si rappresenta quindi con una lettera (ad esempio ‘a’), i numeri
nei due mattoni del secondo piano si possono indicare in questo modo:
36
13+a 15+a
13
a
15
La relazione di uguaglianza che
lega 36 con 13 + a e con 15 + a
porta all’equazione:
13 + a + 15 + a = 36
la cui soluzione consente di
completare la piramide:
13 + a + 15 + a = 36
28 + 2a = 36
2a = 36 – 28
2a = 8
a = 8:2
a=4
93
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo,
Erickson)
In uno schema a forma di piramide si deve inserire un numero in ogni mattone
rispettando le seguenti regole:
•nessun mattone deve essere contrassegnato con il numero zero;
•i numeri sui mattoni della base della piramide devono essere diversi;
•ogni mattone che non forma la base della piramide deve essere contrassegnato
con la somma dei numeri indicati sui due mattoni sui quali è posato.
Completa le seguenti piramidi rispettando le regole.
A
5
2
4
1
3
•Come hai proceduto a
completare la piramide? …
…………………………………..
•Hai trovato difficoltà ad
effettuare il completamento? ….
Perché? ………………….
Per il completamento della piramide A sono assegnate più informazioni rispetto
a quelle minime, in modo da dare agli alunni la possibilità di un autocontrollo
nella comprensione e nella messa in opera della regole di compilazione delle 94
piramidi.
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
(da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo,
Erickson)
Completa le seguenti piramidi rispettando le regole.
B
9
6
11
•Come hai proceduto a
completare la piramide? …
…………………………………..
•Hai trovato difficoltà ad
effettuare il completamento? ….
Perché? ………………….
5
Nella piramide B si chiede di applicare un passaggio inverso: nota la
somma del valore di due mattoni e uno di tali valori, si deve ricavare l’altro
per differenza
95
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Ecco alcune delle piramidi che chiedono un po’ più di abilità.
Completa le seguenti piramidi rispettando le regole.
A
50
10
13
•Come hai proceduto a
completare la piramide? …
…………………………………..
•Hai trovato difficoltà ad
effettuare il completamento? ….
Perché? ………………….
7
Da fare al corso
96
Abbastanza semplice risulta il
completamento della metà di
sinistra della piramide A della
scheda 29b.
La modalità di completamento si
può differenziare per la parte a
destra della piramide, in quanto può
capitare che alcuni alunni
procedano per tentativi dai mattoni
della base fino a quello al vertice. È
sicuramente più economico, invece,
effettuare il completamento nel
verso opposto, ossia dal vertice alla
base; si ha:
50
23
10
7
13
3
10
50
27
23
10
7
13
3
14
10
4
97
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Completa le seguenti piramidi rispettando le regole.
80
B
23
11
21
•Come hai proceduto a
completare la piramide? …
…………………………………..
•Hai trovato difficoltà ad
effettuare il completamento? ….
Perché? ………………….
Da fare al corso
Per la piramide B è necessario osservare che il numero 80 al vertice è la
somma di 23, 21 e del doppio del numero segnato nel mattone racchiuso
tra i precedenti. Tale numero è, dunque, ottenibile con passaggi aritmetici
sintetizzabili nell’espressione
[80 – (23 + 21)] : 2 = 18
Il completamento della piramide è poi immediato.
98
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Completiamo la piramide inserendo il numero 18
80
41
23
11
39
18
12
21
6
15
99
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Ecco alcune piramidi di mattoni che vengono affrontate solo dai soci
più esperti del circolo “Enigmistica matematica”.
A
8
12
11
•Rispettando la regola, trova tutti i possibili
completamenti diversi, riproducendo la
piramide sul quaderno tutte le volte che ti è
necessario.
Da fare al corso
•Hai potuto completare la piramide in tanti modi diversi quanti ne avevi
previsti? ……………. Perché?
•Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con
l’insegnante.
100
Il problema sotteso dal completamento della piramide A consiste nel
determinare almeno uno dei numeri che contrassegnano i mattoni della
base della piramide.
Visti i numeri segnati sui mattoni della seconda fila, si devono trovare le
coppie di numeri, diversi da 0, amici di 8 nell’addizione, quelle di 12 e quelle
di 11.
A
Da quale numero
iniziamo?
8
12
11
101
Si può decidere di utilizzare tutte le coppie di numeri amici di 8, che sono le
meno numerose, per tentare di compilare la piramide: le coppie da provare
sono solo (1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1), dato che (0, 8), (4, 4) e
(8, 0) non rispettano le regole, e danno luogo alle piramidi che seguono
8
1
12
7
8
11
5
(1, 7) dà una
soluzione
6
2
12
6
11
6
5
(2, 6) non dà una soluzione
perché nella base ci sono
due numeri uguali
102
8
12
3
5
8
11
7
4
(3, 5) dà una soluzione
8
6
12
2
5
3
9
8
1
(6, 2) dà una soluzione
11
2
(5, 3) dà una soluzione
11
10
12
7
12
1
11
11
0
(7, 1) non dà una soluzione
perché un mattone è
contrassegnato con 0
103
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Ecco alcune piramidi di mattoni che vengono affrontate solo dai soci
più esperti del circolo “Enigmistica matematica”.
B
Secondo te, qual è la coppia ( , ) di
numeri più piccoli che posso scrivere al
posto dei punti? ………… Perché? ………
6
17
7
Da fare al corso
•Riproduci la piramide sul quaderno e completala in almeno cinque modi
diversi.
•Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con
l’insegnante.
104
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
B
6
17
7
•La piramide B ammette infiniti completamenti, dato che è soddisfatta da
tutte le coppie di numeri amici di 7 nella sottrazione: il primo termine della
coppia dà il numero da mettere nella seconda fila, il secondo numero
quello mancante nella prima fila; l’unica condizione è che questo
secondo numero sia diverso da 6, da 7 e da 17.
105
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
I soci del circolo “Enigmistica matematica” non si accontentano di completare le
piramidi: vogliono capire quali regole matematiche si nascondono nei mattoni. Si
sono posti un primo problema:
se si cambia l’ordine in cui sono scritti i numeri sui mattoni della base di una
piramide, cambia il numero sul mattone al vertice?
I soci hanno fissato come piramide di partenza quella data nel disegno e ora
sono tutti all’opera per costruire tutte le piramidi che si ottengono da questa
cambiano il posto dei numeri nella prima riga.
4
3
2
1
106
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Numero nel
Il problema connesso alla prima
piramide consiste nel cogliere
come cambia il numero al
vertice, modificando la
disposizione dei numeri alla
base. È possibile che gli alunni
ipotizzino che il numero al
vertice non cambia anche se i
numeri alla base vengono scritti
in ordine diverso, perché vale la
proprietà commutativa
dell’addizione. È, però, facile
verificare che tale ipotesi non è
vera. Per dare una risposta
esaustiva si devono analizzare
tanti casi quante sono le
permutazioni dei quattro numeri
alla base, ossia 24, nella
tabella che segue sono indicate
tutte le possibili quaterne e per
ciascuna la somma al vertice
Somma al
vertice
1° m.
2° m.
3° m.
4° m.
4
3
2
1
20
4
3
1
2
18
4
1
2
3
16
4
1
3
2
18
4
2
1
3
16
4
2
3
1
20
3
1
2
4
16
3
1
4
2
20
3
2
1
4
16
3
2
4
1
22
3
4
1
2
20
3
4
2
1
22
2
1
3
4
18
2
1
4
3
20
2
3
1
4
18
2
3
4
1
24
2
4
1
3
20
2
4
3
1
24
107
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Dopo avere costruito tutte le piramidi ottenibili cambiando la
posizione dei numeri di base, i soci del circolo hanno formato i
gruppi di quelle che hanno lo stesso numero nel vertice. Ora stanno
studiando i diversi gruppi di piramidi per ricavare, se c’è, una regola
aritmetica che permette di ricavare il numero nel vertice, a partire da
quelli alla base e senza completare tutti i mattoni delle righe centrali.
Procedi anche tu come hanno fatto i soci del circolo “Enigmistica
matematica”.
* Scrivi la regola che hai individuato.
Per verificare la validità della tua regola, prova a stabilire quanto vale in
ciascuna delle seguenti piramidi il mattone segnato con un punto
45
5
8
73
3
12
9
10
108
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
Confrontando tra loro le piramidi che hanno al vertice lo stesso numero, si può
ipotizzare che la somma dipenda non tanto dalla posizione dei singoli numeri alla
base, quanto dalle coppie di numeri che occupano i mattoni estremi o quelli centrali.
Per esplicitare la regola che lega i numeri alla base con quello al vertice si può
procedere manipolativamente. Si contrassegna ogni mattone alla base con un
cubetto di un colore diverso dagli altri. Se, per esempio si usano mattoncini verdi
(v), rossi (r), neri (n) e blu (b) si ottiene:
Nel vertice si trovano
1 mattoncino verde
3 mattoncini rossi
3 mattoncini neri
1 mattoncino blu.
v r r nr nnb
v r r n
v r
v
r nnb
nb
r n
r
n
b
109
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
La regola può essere formalizzata algebricamente:
a+3b+3c+d
a+2b+c
a+b
a
b+2c+d
c+d
b+c
b
c
d
110
ENIGMISTICA MATEMATICA: PIRAMIDI DI MATTONI
In base alla regola individuata è possibile completare le piramidi
assegnate:
il numero mancante nella prima riga della piramide a sinistra è:
45 – [5 + (3  8) + (3  3)] = 45 – 38 = 7
il numero mancante nella prima riga della piramide a destra è:
73 – [12 + (3  9) + 10] : 3 = 8.
45
5
8
73
3
12
9
10
111