Transcript 正态分布

第四章 正态分布
主讲教师：王丽艳 徐栋
第一节 正态分布
一、正态分布与正态曲线
120名18岁女孩身高的频数分布直方图：
１、正态分布（常态分布）：中间多，两侧逐渐减少
的基本对称的频数分布。随机变量服
从正态分布，记为
X ~ N ( , )
2
2
即随机变量服从参数是μ和 σ 的正态
分布。
2、正态曲线：中央高，两侧逐渐下降，两端无限延伸
与横轴相靠而不相交，左右完全对称的
钟形曲线。
二、正态分布的性质
1、曲线是单峰，位于 x 轴上方，且在 x   处有最大值。
2、曲线以直线 x   为对称轴，对称地向两边下降，
以 x 轴为渐近线。
3、曲线与横轴之间的面积是1。
4、 和  是正态分布的两个参数。
 决定曲线的位置，称为位置参数；
 决定曲线的形状，称为形状参数。
当  较小时，曲线“高”且“瘦”；
当  较大时，曲线“矮”且“胖”。
第二节 标准正态分布
一、标准正态分布
对于任一均数为  ，标准差为  的随机变量 x 的
正态分布，都可以作一个变量代换，使其成为  =0，
 =1 的标准正态分布，记为 U ~ N ( 0 ,1) , 表示随机变
量U服从参数为0和1的标准正态分布。
u 
x

U 
X  X
S
二、标准正态密度函数的图象
三、标准正态分布表
（一）表的构造
1、标准正态分布的横轴变量 u ,即表中左上角所对
应的行与列。
2、φ值表示标准正态曲线下由－∞到某个 u 值所
围成的面积。
（二）正态分布表的使用
1、已知变量 u 值查出对应的面积。(u
φ)
2、已知面积去找出相对应的变量 u 值。(φ u)
(三)计算方法
1、已知求对应的面积（概率）
（1）求某个值以左的面积
P(u＜0.25)
P(u＜-0.84)
（2）求某个值以右的面积
P(u＞2.58)
P(u＞-1.93)
（3）求两个值所围成的面积
P(1.25＜u＜2.34)
P (-2.4＜u＜-1.3)
P(-1＜u＜2)
P(u＜0.25)= Φ(0.25)=0.5987
P(u＜-0.84)=Φ(-0.84)=0.2005
P(u＞2.58)=1-Φ(2.58)=1-0.9951=0.0049
P(u＞-1.93)=1-Φ(-1.93)=1-0.0268=0.9732
P(1.25＜u＜2.34)=Φ(2.34)-Φ(1.25)
=0.9904-0.8944=0.096
P(-2.4＜u＜-1.3)=Φ(-1.3)-Φ(-2.4)
=0.0968-0.0082=0.0886
P(-1＜u＜2)=Φ(2)-Φ(-1)
=0.9773-0.1587=0.8186
2、已知面积（概率）求对应的值
例: 已知变量服从正态分布， p ( u  a 1 )  0 . 8907
p ( u  a 2 )  0 . 0918
求 a1,  ? 、 a 2  ?
解：直接反查正态分布表可知，与概率0.8907相对应的
u值为1.23，与概率0.0918相对应的值u为- 1.33，
即
a 1 =1.23，
a 2 = -1.33。
第三节 正态分布在体育中的应用
一、估计达到某标准的人数(x
u
φ)
例：设某年级学生跳远测验的样本统计量x=5.00m,
S=0.40m。根据这个样本定出标准为5.60m以上为5
分， 5.40m以上为4分， 4.60m以上为及格。求各
等级人数百分比各是多少？(田赛)
估计达到某标准人数的步骤：
1、 将某标准的 x 转换为 u 值。
2、制作正态分布草图，以确定估计范围。
3、查表找到估计范围的面积。
4、计算估计范围的人数。
练习：在某市区初三女生中随机抽测立定跳
远的成绩：x=158.6 cm, S=18.3 cm.若该地区初
三女生共有850人,试估计成绩分别超过150 cm、
185 cm、 200 cm的人数百分比及人数。
例：某校初二女生100人，50m跑成绩的x=9.3s ，
S=0.59s 。现规定小于或等于8.8s 为优秀， 9.2 s为
良好， 9.6 s为及格，问该年级女生达到各标准的
人数百分比及人数各为多少？(径赛)
练习：某年龄组180人100跑 x=15.24s ，S =0.53s。
若优秀定为14 s,良好为14.68 s,及格定为 16s ，试分
别求成绩达到优秀、良好、及格和不及格的人数及
百分比。
例：某大型网球运动中心，每天接待的人数服从
正态分布，x～N(800,1502)，试求：
（1）每天接待人数在650～1000人之间的概率；
（2）每天接待人数超过1100人的概率；
（3）每天接待人数不足350人的概率。
练习：
现有10000名成年男子，假定身高服从正态分
布其均数μ=175cm，标准差σ=15cm。
(1)试估计其中有多少人身高在177厘米以下;
（2）试估计其中有多少人身高至少是183厘米。
二、制定考核标准(φ
u
x)
例:测得某年级男生铅球成绩x=7.20m， S=0.39m。
若规定按现有水平让10％达到优秀 ,60％达到
良好（不含优秀），5％不及格。问各标准是
多少？(田赛)
制定考核标准的步骤：
1、制定正态曲线的分布草图。
2、计算出从-∞到各u值所围成的面积。
3、查表求各等级的u值。
4、求各等级标准的x值。
练习：随机抽取某年级部分学生测试跳高 x=1.40,
S=0.10 . 若规定15％达到优秀，25％达到
良好，7％不及格。试确定各等级的成绩。
例：某年级学生100米跑的 x=14.7s，S=0.7 s 。
按现有水平要求10％达到优秀，30％达
到良好，8％不及格，其余为及格。求各
等级的成绩标准各是多少？（径赛）
练习：测得某校初三女生800米跑成绩的
x=236.36s ( 即 3min56.36 s ),
S = 20.08s, 规定优秀、良好、及格
人数的百分比分别是15%、30%、
45%，问各标准各为多少？
三、审核可疑数据（确定正常值范围）
数据的审核方法还有很多，如以事物出现的概率为依
据，依据正态分布规律可知，实测值在[ x  3 S , x  3 S ]范围
内的数目占所有实测值的99.73%，即1000个数据中平均只
有2个多（不到3个）数据在上述范围之外。因此，随机抽
样时要抽到上述范围之外数据是可能性极小的小概率事
件，可视为可疑数据。
例：随机抽测某地500名初三女生同学的体重(服从正态分布）
x=48.2kg S=5.14kg. 该地区初三女生的体重实测值分别是
x1=65 kg , x2=53kg , x3=32.5kg .试审核这三个数据是否可疑。
解：
 63 . 62  kg 
x  3 S  49 . 2  3  5 . 14  
 32 . 78  kg 
所以，检验区间为[32.78，63.62]。x1、x2为可疑数据，
x3 在区间内，不是可疑数据。
复习思考题
返 回
 取不同值时的曲线
返 回
 取不同值时的曲线
返 回