Transcript 最小多项式

* 第九节
最小多项式
主要内容
定义
性质
矩阵可对角化的条件
一、定义
根据
，任给数域 P 上一
个 n 级矩阵 A，总可找到数域 P 上一个多项式 f (x)
使 f (A) = 0 . 如果多项式 f (x) 使 f (A) = 0 ，我们
就称 f (x) 以 A 为根. 当然，以 A 为根的多项式是
很多的，其中次数最低的首项系数为 1 的以 A 为
根的多项式称为 A 的最小多项式. 这一节讨论
如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化
的问题.
二、性质
引理 1 矩阵 A 的最小多项式是唯一的.
证明 设 g1(x) 和 g2(x) 都是 A 的最小多项式 ,
根据带余除法， g1(x) 可表示成
g1(x) = q(x)g2(x) + r(x) ,
其中 r(x) = 0 或 ( r(x) ) <  ( g2(x) ) ，
于是
g1(A) = q(A)g2(A) + r(A) = O.
因此， r(A) = O. 由最小多项式的定义， r(x) = 0 ,
即 g2(x) | g1(x) .
同样可证 g1(x) | g2(x).
因此 g1(x) 与 g2(x) 只能相差一个非零常数因子. 又
因 g1(x) 与 g2(x) 的首项系数都等于 1 ，所以
g1(x) = g2(x) .
证毕
应用同样的方法，可证下述引理
引理 2 设 g(x) 是矩阵 A 的最小多项式，那
么 f (x)以 A 为根的充分必要条件是 g(x) 整除 f (x).
由此可知，矩阵 A 的最小多项式是 A 的特征
多项式的一个因式.
例 1 数量矩阵 kE 的最小多项式为 x - k ，特
别地，单位矩阵的最小多项式为 x - 1 , 零矩阵的最
小多项式为 x .
另一方面，如果 A 的最小多项式是 1 次多项式
那么 A 一定是数量矩阵.
例2 设
1

A


1
1


,
1 
求 A 的最小多项式.
解
因为 A 的特征多项式为
| xE - A | = ( x - 1 )3 .
所以 A 的最小多项式为 ( x - 1 )3 的因式.
显然，
A - E  O 而( A - E )2 = O , 因此 A 的最小多项式为
( x - 1 )2 .
相似矩阵有相同的最小多项式.
事实上，如果矩阵 A 与 B 相似：B = T-1AT，
那么对任一多项式 f (x)， f (B)=T-1f (A)T . 因此，
f (B)= O
f (A)= O
这说明相似矩阵有相同的最小多项式.
注意： 最小多项式相同的矩阵不一定是相似
的. 下面的例子说明这个结论.
例3 设
1


A



1
1
1

1




,B 



2 

1
1
2



.

2 
A 与 B 的最小多项式都等于 ( x - 1 )2( x - 2 )，但是
它们的特征多项式不同，因此 A 和 B 不是相似的.
为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面
的引理.
引理 3 设 A 是一个准对角矩阵
 A1
A  


 ,
A2 
并设 A1 的最小多项式为 g1(x) ， A2 的最小多项式
为 g2(x) ，那么 A 的最小多项式为 g1(x) ， g2(x) 的
最小公倍式 [ g1(x) ， g2(x) ] .
证明
记 g(x) =[ g1(x) ， g2(x) ]，首先
 g ( A1 )
g ( A )  


  O .
g ( A2 ) 
因此， g(x) 能被 A 的最小多项式整除. 其次，如
果 h(A) = O，那么
 h ( A1 )
h ( A )  


  O .
h ( A2 ) 
所以 h(A1) = O , h(A2) = O , 因而 g1(x) | h(x) ,
g2(x) | h(x) . 并由此得 g(x) | h(x) . 这样就证明了
g(x) 是 A 的最小多项式.
证毕
这个结论可以推广到 A 为若干个矩阵组成的
准对角矩阵的情形. 即：如果
 A1


A



A2




,

A s 
Ai 的最小多项式为 gi(x)，i =1, 2, … , s， 那么 A 的
最小多项式为 [ g1(x) , g2(x) , … , gs(x) ] .
引理 4 k 级若尔当块
a

1
J 





1





a 
的最小多项式为 ( x - a )k .
证明
J 的特征多项式为 ( x - a )k ，而
0

1
J  aE  



( J  aE )
k 1
0



0

1



1



,

0 


0

0


 O,



0 
所以 J 的最小多项式为 ( x - a )k .
证毕
三、矩阵可对角化的条件
定理 18 数域 P 上 n 级矩阵 A 与对角矩阵相
似的充分必要条件为 A 的最小多项式是 P 上互素的
一次因式的乘积.
证明 根据引理 3 的推广的情形，条件的必要
性是显然的.
现在证明充分性.
根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们可
定义任意线性变换 A 的最小多项式，它等于其对
应矩阵 A 的最小多项式. 我们只要证明，若数域 P
上某线性空间 V 上的线性变换 A 的最小多项式 g(x)
是 P 上互素的一次因式的乘积：
l
g ( x) 
 (x  a ) ,
i
i 1
则 A 有一组特征向量做成 V 的基.
实际上，由于g( A )V = 0，用定理 15 中同样
步骤可证 V = V1 V2 …  Vl , 其中
Vi = {  |( A - ai E ) = 0 ,   V } .
把 V1 , V2 , … , Vl 各自的基合起来就是 V 的基. 而
每个向量都属于某个 Vi ，因而是 A 的特征向量.
证毕
推论 复数矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必
要条件是 A 的最小多项式没有重根.
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