BUNGA MAJEMUK

  Bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok pada akhir setiap periode compound atau periode perhitungan bunga untuk mendapatkan pokok yang baru (bunga berbunga).

Periode perhitungan bunga dapat dinyatakan dalam harian (j 365 ), mingguan (j 52 ), bulanan (j 12 ), triwulanan (j 4 ), semesteran (j 2 ) atau tahunan (j 1 ).

Contoh 3.1

Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung semesteran, dan bandingkan dengan bunga sederhana yang dihasilkan.

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 2

Periode

1 2 3 4

Pokok Pinjaman

1.000.000 1.050.000 1.102.500 1.157.625

Perhitungan Bunga Majemuk

1.000.000 1.050.000 1.102.500 1.157.625 x 0,05 = 50.000 x 0,05 = 52.500 x 0,05 = 55.125 x 0,05 = 57.881

Nilai Pada Akhir Periode

1.050.000 1.102.500 1.157.625 1.215.506,25 Total bunga majemuk selama 2 tahun adalah Rp 215.506,25; sedangkan bila menggunakan bunga sederhana, total bunganya adalah Rp 200.000 (Rp 1.000.000 x 10% x 2).

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 3

i S = P (1 + i) n dengan i  J m dengan P = Nilai pokok awal (principal) S = Nilai akhir n m m = Jumlah periode perhitungan bunga = Frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yaitu 2 utk semesteran, 4 untuk triwulanan, dst.

J m = Tingkat bunga nominal tahunan dengan periode perhitungan m kali per tahun = Tingkat bunga per periode perhitungan bunga Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 4

a.

b.

Berapakah nilai S dari P sebesar Rp 10.000.000 jika j 12 12% selama: 5 tahun 25 tahun = a .

P  Rp 10 .

000 .

000 n i   12 5 %  1 %  12 tahun  12 0  , 01 60 bulan S  P ( 1  i ) n  Rp 10 .

000 .

000 ( 1  0 , 01 ) 60  Rp 18 .

166 .

967 b .

P  Rp 10 .

000 .

000 i n  1 %  0 , 01  25 tahun  12  300 bulan S  P ( 1  i ) n  Rp 10 .

000 .

000 ( 1  0 , 01 ) 300  Rp 197 .

884 .

662 , 6 Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 5

  Bunga Nominal dinyatakan, dan  perhitungan bunga tingkat bunga tahunan yang tidak terpengaruh periode Bunga Efektif akan diperoleh  tingkat bunga tahunan j 1 yang ekuivalen, tingkat bunga sebenarnya atau yang j 1 = (1 + i) m atau 1 + j 1 – 1 = (1 + i) m Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 6

a .

j 1 j 1 j 1 Hitunglah tingkat bunga efektif j 1 dengan: a. j 2 b. j 12 c. j 365 = 10% = 12% = 13,25% b .

j 1 j 1    1 ( 1 , 01 yang ekuivalen 0 12 ) 12 , 12   12 1  1  0 , 1 2 2  1 j 1  Tingkat 0 , 126825 bunga  12 efektif , 68 365  % 12 , 68   Tingkat ( 1 , 05 ) 2 0 , 1025 bunga  1  10 , 25 % efektif  10 , 25 % c .

j 1 j 1 j 1     1 0 , 1325 365 ( 1 , 14165 0 , 14165 ) 365  14  1 , 17  1 % Tingkat bunga efektif  14 , 17 % % Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 7

Berapa tingkat bunga sederhana yang ekuivalen dengan j Jawab: 1+3r = (1+(0,09/2)) 1+3r = 1,3022601 r = 0,1007533 r = 10,08% 6 2 = 9%, jika uang disimpan selama 3 tahun?

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 8

P  S ( 1  i ) n  S ( 1  i )  n PV  FV ( 1  i ) n  FV ( 1  i )  n

Proses mencari P dari S atau PV dari FV disebut pendiskontoan (discounting) dan faktor (1+i) -n disebut faktor diskonto (discount factor).

Contoh 3.7

Dengan menggunakan j 12 = 12%, hitunglah nilai diskonto dari uang sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo: a. 10 tahun lagi b. 25 tahun lagi Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 9

a .

S  Rp 100 .

000 .

000 n  10  12  120 i  12 % 12  1 %  0 , 01 P  S ( 1  i ) n P P  Rp 100 .

000 .

000 ( 1  0 , 01 ) 120  Rp 30 .

299 .

477 , 97 b .

S  Rp 100 .

000 .

000 n  25  12  300 i  12 % 12  1 %  0 , 01 P  S ( 1  i ) n P P  Rp 100 .

000 .

000 ( 1  0 , 01 ) 300  Rp 5 .

053 .

448 , 75 Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 10

i     S P    n 1  1

Contoh 3.9

n  S log log ( 1 P  i ) Berapa tingkat bunga j 12 yang dapat membuat sejumlah uang menjadi tiga kali lipat dalam 12 tahun?

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 11

Kita asumsikan uang tersebut sebagai x.

n = 12 x 12 = 144 Maka: x (1+i) 144 = 3x (1+i) = (3) 1/144 i i = (3) 1/144 – 1 = 0,00765843 j 12 j 12 j 12 = 12 x i = 12 x 0,00765843 = 0,09190114 = 9,19% Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 12

P i S Berapa lama waktu yang diperlukan untuk membuat uang sebesar Rp 5.000.000 menjadi Rp 8.500.000

dengan j 12 = 12%?

Jawab:

= Rp 5.000.000

= Rp 8.500.000

= 12 % 12  1 %  0 , 01 Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 13

n  S log log ( 1 P  i ) n n n    Rp 8 .

500 .

000 log Rp log 5 .

000 .

000 ( 1  0 , 01 ) log 1 , 7 log 1 , 01 53 , 3277 bulan n atau  4 tahun 5 bulan 10 hari  4 tahun 6 bulan Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 14

 Hasil kali return tahunan dan jumlah tahun untuk membuat nilai awal menjadi dua kali lipat adalah selalu 72.

  P menjadi 2P jika dan hanya jika i * n= 72 P menjadi 2P i * n= 72 n = atau i = 72 i 72 n Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 15

 Jika diketahui tingkat bunga bersih deposito adalah 8%, maka diperlukan waktu 9 tahun untuk membuat nilai awal P menjadi 2P.

 Jika investor ingin portofolionya berlipat dua dalam 6 tahun, return tahunan yang diperolehnya adalah 12%.

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 16

 Digunakan untuk kasus-kasus yang memiliki tingkat pertumbuhan yang sangat cepat (continuous compounding), misalnya per detik.

S = P e r t atau FV = PV e r t

Contoh 3.11

Berapakah jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2010 apabila diketahui tahun 2004 Indonesia memiliki penduduk 220.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan penduduk per tahun 1,7%?

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 17

t P 2004 r P 2010 P 2010 P 2010 P 2010 = 220.000.000

= 1,7% = 6 = P 2004 e r t = 220.000.000 e (1,7%)(6) = 220.000.000 e (10,2%) = 243.624.364 jiwa Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 18

 Sebuah deposito sebesar Rp 10.000.000

dapat memberikan pendapatan bunga Rp 5.600.000 selama 36 bulan. Hitunglah tingkat bunga nominal tahunannya apabila : a. Perhitungan bunga tahunan b. Continuous compounding Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 19

a. S = Rp 15.600.000

P = Rp 10.000.000

t = 3 S =P (1 + i) n Rp 15.600.000 =Rp 10.000.000 (1 + i) 3 15,6 =(1 + i) 3 i = 0,159778 = 15,98% Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 20

b. S = Rp 15.600.000

P = Rp 10.000.000

t = 3 S = Pe rt Rp 15.600.000 = Rp 10.000.000 e rt ln 1,56 r = ln e rt = 0,148228607 = 14,82% Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 21

   

Menjadi miliarder itu mudah

Dengan uang hanya Rp1 juta hari ini, Anda dapat menjadi seorang miliarder. Hanya ada 2 syarat ringan yaitu sabar dan mampu mencari alternatif investasi yang memberikan return tahunan 20% secara terus-menerus setiap tahunnya.

Mengapa harus sabar? Karena Anda baru dapat mewujudkan impian itu dalam 38 tahun.

Periode yang diperlukan menjadi lebih pendek jika Anda memperoleh return tahunan yang lebih besar. Waktu untuk menjadi miliarder pun lebih cepat jika Anda memulainya dengan dana lebih besar dari Rp1 juta.

Hanya investasi saham, baik langsung maupun melalui reksa dana, yang dapat memberikan return tahunan 20%.

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 22