Transcript H_atom11
3. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE 1 3.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete 2 A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje + Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske mozog („kering”). 3 A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete általános formában ˆ ( ) E H 4 A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete 2 2 2 e 2 2 e p 2m 2m p 4 o r e E Megj.: alsó indexben e és p elektronra és protonra utal, e elemi töltés (1,602x10-19 C), elektron töltése -e r az elektron protontól való távolsága, o vákuum permittivitás (8,854x10-12 Fm-1). 5 A hidrogénatom Schrödingeregyenlete megoldható! A megoldás trükkje: polár-koordináta rendszert alkalmazunk. 6 r : vezérsugár : hajlásszög : azimut 7 Polár-koordináták transzformációja Descartes-koordinátákba z r cos y r sin sin x r sin cos 8 A Schrödinger-egyenlet megoldása Sajátérték En e 4 2 8h ε 2 o me mp 1 me mp n 2 n: főkvantumszám 1, 2, 3... 9 A hidrogénatom energiaszintjei 10 A Schrödinger-egyenlet megoldása Sajátfüggvények („atompályák”) Három egész számot tartalmaznak n : főkvantum szám : m ellékkvantum szám 0,1,2 (n-1) m : m ágneses kv antum szám 0, 1, 2 … 11 A Schrödinger-egyenlet megoldása Degenerált állapotok A zonos az en ergia (sajátérték), de különféle függvén yek tartoznak hozzá. 12 A Schrödinger-egyenlet megoldása Degenerált állapotok A zonos az en ergia (sajátérték), de különféle függvén yek tartoznak hozzá. Ha n megegyezik, de és/vagy m nem, azok a H-atom degenerált állapotai 13 A hidrogénatom energiaszintjei 14 A sajátfüggvények alakja Ψ n, , m R n, (r) Ψ , m ( , ) radiális rész anguláris (szögtől függő) rész 15 A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei ao ρ h 2 m ee 2 r ao Ψ 321 Ψ 32 -1 1 81 π 1 81 π ao ao 3 2 2 ρ e 3 2 2 ρ e ρ 3 sin cos e i ρ 3 sin cos e i 16 Lineár-kombinációk (ábrázolhatóság miatt) 1 Ψ n, , m Ψ n, , m Ψ n, , m Ψ n, , m 2 i 2 Ha = 0, akkor s = 1, akkor p = 2, akkor d indexeket használnak! Mágneses kvantumszám helyett x, y, z-t írnak. 17 A hidrogénatom valós hullámfüggvényei Ψ 3d x z Ψ 321 Ψ 32 1 Ψ 3d y z i 2 Ψ 321 - Ψ 32 1 2 2 81 π ao 2 81 π 3 2 ao 2 ρ e 3 2 2 ρ 3 ρ e sin cos cos ρ 3 sin cos sin 18 A hidrogénatom Rn, radiális hullámfüggvényei 19 1s 2px 2pz 2py A hidrogénatom hullámfüggvényei z (90%-os tartózkodási valószínűség burkológörbéje) y 3dX 3 d yz 2 2 -y 3dz 3 d xz 2 x 3 d xy 20 3.2 A hidrogénatom színképe 21 Kiválasztási szabályok: az elektromágneses sugárzás elnyelésének/kibocsátásának feltételei (Levezethető kvantum-mechanika axiómából) 22 1. szabály Energia-megmaradás E h 23 Átmeneti momentum P ˆ ( ) ( ) d 2 1 1 és 2 állapotfüggvény ˆ dipólus-momentum operátor 1-es index: kiindulási állapotban 2-es index: végállapotban 24 Dipólus momentum d - + egy pozitív és egy negatív töltés q d q : a töltés d: a távolság; a negatív töltéstől a pozitív töltés irányába mutat 25 Több töltés esetén x q x i i i y q y i i i z q z i i i q : a töltés 26 Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok n bármennyi 1 m bármennyi 28 A hidrogénatom színképe E e 4 8h 2 2 0 me mp ( 1 me mp n 2 1 1 n 2 2 ) h diszkrét vonalak! 29 Az atomos hidrogén spektruma 30 A hidrogénatom energiaszintjei 31 A hidrogénatom megengedett átmenetei 32 A hidrogénatom vonalszériái L y m an n széria n1 = 1 n2 = 2, 3, 4… U V tarto m án y B alm erszéria n1 = 2 n2 = 3, 4… V IS tarto m án y P asch en széria n1 = 3 n2 = 4… IR tarto m án y 33 3.3-3.4 A hidrogénatom elektronjának impulzusmomentuma, mágneses momentuma (Előadás alapján) 34 Mikrorészecskék kvantált fizikai mennyiségei • • • • • E energia L impulzus-momentum absz. értéke Lz impulzus-momentum z-irányú vetülete M mágneses momentum abszolút értéke Mz mágneses momentum z-irányú vetülete 35 A klasszikus mechanikában körmozgást végző testre L r p m r v r r : sugár irányú vek p : impulzus v tor m: tömeg v : sebesség 36 A klasszikus mechanikában körmozgást végző töltésre M IA n I : a köráram erőssége A : a körbejárt felület n : a felületre merőleges egységvektor 37 Próbáljuk meg összefüggésbe hozni az impulzus-momentummal! 38 I M IA n e T A r 2 2 er M n T 39 Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon 2r π L m e r v m er n T 40 2 er M n T M 2r π L m e r v m er n T L e 2m e A két vektor párhuzamos, hosszuk arányos! 41 H-atomra kvantum-mechanikai levezetéssel L ( 1) L m mellék-kvantumszám z m: mágneses kvantumszám 42 H-atomra kvantum-mechanikai levezetéssel M ( 1) e 2m e μB ( 1) μ B e 2m Bohr-magneton e μ B 9,724 10 24 JTesla 1 43 H-atomra kvantum-mechanikai levezetéssel M m z e 2m e mμ B m : mágneses kvantumszám 44 Mágneses térben levő részecske potenciális energiája Klasszikus fizika: V mág z M B M B Kvantummechanika ˆ V mág m B B B : mágneses indukció 45 Zeeman-effektus 46 3.5 Az elektronspin 47 Stern-Gerlach-kísérlet 48 Ezüst-atom sugár kísérlet (hidrogénatommal a kísérlet nehezebb, de az eredmény hasonló.) Alapáll.: n =1; és m csak 0 lehet! M m B 0 z nem térül el Eredmény: két irányba eltérül!! 49 Értelmezés Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik. Ez az impulzusmomentum a spin. Jele: S abszolút értéke: S z-irányú vetülete: Sz 50 Az elektron spinje S s ( s 1) s 1 2 s : spinre utaló mellék-kvantumszám S s z s 1 2 s spin-kvantumszám (spinre utaló mágneses kvantumszám) 51 Spinből származó mágneses momentum M g e s ( s 1) μ B S M g es μ B S z abszolút érték z irányú komponens ge : Lande-faktor hidrogénatomban ge=2,0023 52 A spinból származó mágneses momentum magyarázza a Stern-Gerlach kísérletet! 53 Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984) Relativisztikus kvantummechanika 54 Relativitáselmélet •Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a fénysebességgel. •Az elektron sebessége is összemérhető a fénysebességgel. •Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a relativitáselmélettel. 55 A hidrogénatom Diracegyenletének megoldása Újabb kvantumszám: j s belső kvantumszám : az elektronpálya impulzusmomentumát jell. kvantumszám s : a spin impulzusmomentumát jell. kvantumszám ha 0 s pálya 1 p pálya 2 d pálya j 1 2 1 3 j ; 2 2 3 5 j ; 2 2 E függ n-től nagyon és j-től picit 56 Spin-pálya felhasadás 1 p pálya 2 d pálya 1 3 j ; 2 2 3 5 j ; 2 2 Ha 0-től eltér a mellék-kvantumszám, a belső kvantumszám szerint az energiaszintek kétfelé hasadnak. 57 A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei Ψ n, , m r, , σ s „spin-koordináta” 58 59