Transcript 机电一体化系统数学模型

第三章
机电一体化系统数学模型
本章的学习内容：
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
基本概念
机械传动系统的数学模型
电气传动系统的数学模型
机械、电气系统数学模型的转换
机电一体化系统的数学模型
3.1 数学模型的基本概念
一、常见时域函数的拉氏变换
1、单位阶跃函数
拉氏变换为
2、指数函数
拉氏变换为
 0, t  0
u  1( t )  
1, t  0
L [1( t )] 
1
s
u e
L[ e
 t
 t
]
1
s 
3、正弦余弦函数

L [sin  t ] 
L [cos  t ] 
4、幂函数
L[t ] 
n
s 
2
s
s 
n!
s
n 1
2
2
2
二、拉氏变换的主要运算定理
1、线性定理
f ( t )  f1 ( t )  f 2 ( t )
F ( s )  F1 ( s )  F2 ( s )
2、比例定理
f ( t )  K f1 ( t )
L [ f ( t )]  K F1 ( s )
3、微分定理
n
L[
d f (t )
dt
n
n
]  s F (s) 
n

i 1
s
ni
f
( i  1)
(0)
4、积分定理
L[ 

f ( t )( dt ) ] 
n
F (s)
s
n
5、位移定理
L[ e
 t
f ( t )]  F ( s   )
n

i 1
1
s
n  i 1
[

n
f ( t )( dt ) ] t  0
三、数学模型
n
a0
d c (t )
dt
n
 a1
d
n 1
dt
m
 b0
d r (t )
dt
m
 b1
a 0 s C ( s )  a1 s
n
G (s) 
C (s)
R (s)
d
n 1
n 1
m 1
dt
    a n 1
r (t )
m 1
dc ( t )
dt
    b m 1
 a n c (t )
dr ( t )
dt
 b m r (t )
C ( s )     a n C ( s )  b 0 s R ( s )  b1 s
m
b0 s  b1 s
m

c (t )
m 1
 b2 s
n 1
 a2s
a 0 s  a1 s
n
m2
    bm
n 1
    an
m 1
R (s )     bm R ( s)
传递函数
四、方框图及其运算
G (s) 
C (s)
R (s)
G (s) 
C (s)
R (s)

E1 (s )
R (s)

E 2 (s)
R (s)
 G1 ( s ) G 2 ( s )
 G1 ( s )  G 2 ( s )
GB (s) 
C (s)
R (s)
G (s)

1
G (s)H (s)
3.2 机械传动系统的数学模型
理论基础：达朗贝尔原理
例1：求解动力头的位移随切削力的变化关系。
m x  C x  Kx  f (t )
X (s)
F (s)
1

ms
2
 Cs  K
例如：对于如图所示的车辆振动系统，求X1、X2随F变化的
关系。
2
m1
d x1
dt
2
2
 C (
dx 1
dt

dx 2
dt
)  K 1 ( x1  x 2 )
d x2
dx
dx 1
m2
 F (t )  C ( 2 
)  K 1 ( x 2  x1 )  K 2 x 2
2
dt
dt
dt
X 1 (s)

F (s)
G1 ( s )G 2 ( s )
2
1  m1 s G1 ( s )G 2 ( s )
Cs  K 1

m1 m 2 s
X 2 (s)
F (s)

4
 ( m 1  m 2 ) Cs
3
 ( m1 K 1  m1 K 2  m 2 K 1 ) s
2
 CK 2 s  K 1 K 2
G1 (s)
1  G 1 ( s )G 2 ( s ) m 1 s
2
m 1 s  Cs  K 1
2

m 1 m 2 s  ( m 1  m 2 ) Cs
4
3
 ( m 1 K 1  m 1 K 2  m 2 K 1 ) s  CK 2 s  K 1 K 2
2
例如：对于如图所示的扭摆，求摆锤的扭转力矩与扭转角
之间的关系。
J   C   K   T (t )
 (s)
T (s)

1
Js  Cs  K
2
3.3 电气传动系统的数学模型
理论基础：基尔霍夫的电压、电流定理。
例如：对于如图所示的RC无源电网络，其输入/输出关系可以表示
为
u i  u 0  Ri
u0 
1
C

t
idt
0
U i (s)  U 0 (s)  RI (s)
U 0 (s)
U 0 (s)  I (s) / Cs
U i (s)

1
RCS  1
U 0 ( s )  I ( s ) / Cs
U i ( s )  U 0 ( s )  RI ( s )
U 0 (s)
U i (s)

1
RCs  1
电枢控制式直流电动机的数学模型
 0 (s)
E i (s)

1/ K e
 Ra J


s
s  1 
 KT Ke


Km
s ( T m s  1)
磁场控制式直流电动机的数学模型：
 0 (s)
Ei (s)

KT / R f c
s  Js / c  1

Km
s (T m s  1)
两相伺服电动机的数学模型：
 0 (s)
E i (s)

K e /( c  K n )
s  Js /( c  K n )  1 

Km
s ( T m s  1)
3.4机械、电气系统数学模型的转换
一、机电系统的相似性
2
m
d x
dt
2
b
dx
dt
 kx  f ( t )
C
dV
dt

1
R
V 
1
L
 Vdt  i ( t )
L
di
dt
 R i 
1
C
 idt
 V (t )
例如，下图所示的机械系统转换成电系统为
3.5 机电一体化系统模型
例如，对于如图所示的数控伺服系统
电机部部分：
s m ( s ) 
k L   m ( s ) 2

kI m ( s ) 

Z
(
s
)
L

i  i
L

J ms  fm
机械传动系统：
G (s) 
X L (s)
kL
L

 m (s)
2 i J s 2  f s  k
L
L
L
数控伺服系统的方框图为：
k 1 k a k 1 k 3
XL
G B (s) 

2
Pp
s  ( k 2  k 1 k f ) s  k 1 k a k 1 k 3 k p