Transcript лек-8
Автокорреляция или сериальная корреляция (патология МНК) Опр. Автокорреляция - нарушение условия Гаусса-Маркова Cov(ui,uj)=0 • Последствия автокорреляции – оценки коэффициентов становятся неэффективными – стандартные ошибки коэффициентов оцениваются неправильно • Причина автокорреляции – постоянная направленность воздействия не включенных в уравнение переменных Обнаружение автокорреляции первого порядка • Авторегрессионная схема первого порядка u t r u t 1 e t , • Предположение: случайная величина et в каждом наблюдении не зависит от ее значений в предыдущих наблюдениях. • Проблема: как оценить r ? • Решение: будем оценивать регрессионную зависимость остатков еt от et-1. Тогда rˆ Cov ( e t , e t 1 ) Var ( e t 1 ) e e e t 1 t 2 t Критерий Дарбина-Уотсона Статистика критерия T d ( e t e t 1 ) 2 t2 T 2 et t 1 Теорема d 2 2r при T • Гипотеза H0: r 0 • Границы критического значения dкрит – dL - нижняя граница – dU - верхняя граница • Алгоритм проверки гипотезы H0: • а) при проверке на положительную автокорреляцию – если d<dL, то гипотеза H0 отклоняется; – если d>dU, то гипотеза H0 не отклоняется; – если dL<d<dU, то мы не можем ни отклонить ни принять гипотезу H0. • б) при проверке на отрицательную автокорреляцию – если d>4-dL, то гипотеза H0 отклоняется; – если d<4-dU, то гипотеза H0 не отклоняется; – если 4-dU<d<4-dL, то мы не можем ни отклонить ни принять гипотезу H0. Методы устранения автокорреляции • Пусть модель задаётся соотношениями (r считаем известным) yt xt u t , • тогда и u t r u t 1 e t . y t 1 x t 1 u t 1 . y t r y t 1 (1 r ) ( x t r x t 1 ) u t r u t 1 . • Обозначим ~ y t y t r y t 1 , ~ x t x t r x t 1 , q~t 1 r . ~ y t q~t ~ x t u t r u t 1 q~t ~ xt e t Поправка Прайса-Уинстена (ПУ) • Проблема для малых выборок: при переходе к новым переменным ~ теряется первое наблюдение, т.е. y,~ x , q~ число степеней свободы уменьшается на 1. • Решение: т.к. e2,e3,..., eT не зависят от u1, то не требуется преобразовывать первое наблюдение: мы полагаем ~ y1 1 r y1 , 2 q~1 • Проблема: неизвестно r. ~ x1 1 r q1 . 2 1 r x1 , 2 Метод Кокрана-Оркатта • 1) Оценивается регрессия y t x t u t с исходными непреобразованными переменными. • 2) Вычисляются остатки. • 3) Оценивается регрессионная зависимость et от et-1, коэффициент при et-1 представляет оценку r . • 4) Находим оценки и из преобразованного уравнения. • 5) Повторно вычисляем остатки возвращаемся к п. 3). • Момент остановки: абсолютная величина разности между оценками в последнем и предпоследнем циклах стала меньше заданной точности. Пример Двумя методами построена логарифмическая регрессия между расходами на питание y, личным доходом x и ценой p. Сравнительный анализ МНК, метода Кокрана-Оркатта (КО) и КокранаОркатта с поправкой Прайса-Уинстена (КО-ПУ) • 1) Выигрыш в эффективности при использовании метода КО или КО-ПУ значителен при наличии неярко выраженного тренда и высоком значении r. • 2) Если данные подвержены сильному тренду, то метод КО значительно менее эффективен, чем КО-ПУ. Если данные не подвержены тренду, КО и КО-ПУ работают одинаково. • Вывод: всегда использовать КО-ПУ