Transcript Часть 7.
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
СТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОБЪЕКТОВ
Общие понятия
Идентификация – это процесс построения моделей объектов различной
природы. Теория идентификации имеет в своем арсенале достаточно
эффективные методы и алгоритмы, на базе которых разработаны и широко
используются программные комплексы.
Процесс идентификации складывается из двух взаимосвязанных этапов:
идентификации структуры моделей и идентификации параметров в моделях
выбранной структуры. При построении структуры модели (или набора
конкурирующих либо взаимодополняющих структур) используется априорная
информация об объекте. Для каждого класса объектов формируются банки
структур с сопутствующей информацией.
Модели делятся на статические и динамические. Первые из них описывают
объекты в стационарных режимах их работы. Динамические модели
описывают переходные процессы в объектах, например, возникающие при
переходе с одного стационарного режима работы объекта на другой.
Постановка задачи подстройки
параметров нелинейных моделей
u
*
Объект
(u, a)
Модель
(u, )
Считаем, что выход объекта состоит из полезного сигнала η(u, a) и
центрированной помехи ξ.
Сигнальная часть выхода представляет собой известную функцию от входа с
неизвестными параметрами a. В структуру функции η(u, a) . Все, что не
удается описать в объекте, относят к помехе.
Модель объекта берем в виде функции η(u, α). Основная задача теперь
сводится к расчету параметров α модели.
Алгоритмы расчета будем строить, используя
критерий наименьших
квадратов и близкие к нему критерии, например наименьших модулей
невязок. В зависимости от свойств помехи критерий наименьших квадратов
приобретает различные формы – от простейшей до самой общей.
Критерий наименьших квадратов
Считаем, что в каждый момент времени ti (момент измерения входа и
выхода объекта) помехи ξi, являются центрированными случайными
величинами с дисперсиями σi2. Если дисперсии различны, то измерения
называются неравноточными.
Тогда критерий наименьших квадратов имеет вид:
1 *
I 2 ( i i ) 2 min
,
i 1 i
n
i (ui , )
При равноточных измерениях весовые коэффициенты 1/σi2, характеризующие
информативность измерений, одинаковы. Тогда критерий имеет вид:
1 n *
I 2 (i i ) 2 min
i 1
Критерий наименьших квадратов
Если все помехи ξi коррелированны, т. е:
12 k12 k1n
1
K M { T }, , K 1 (cij )
2
k
k
n
n1 n 2 n
то критерий наименьших квадратов базируется на элементах cij матрицы,
обратной корреляционной:
n
n
I () (*i i )cij (*j j ) min
i 1 j 1
Это общая форма критерия. Она включает в себя (при соответствующих
упрощениях) все предыдущие формы. Запишем критерий в матричной форме.
1*
(u1 , ) 1
1
H * , H ()
,
*
(u , )
n
n
n
n
I () ( H * H ()) T K 1 ( H * H ()) min
Метод наименьших квадратов
при линейной параметризации модели
Модель объекта задана в виде линейной комбинации известных
(базисных) функций φ1(u),…, φm(u):
1
1 (u)
m
T
T
,
(
u
)
(u, ) j (u) j (u) (u),
j 1
(u )
m
m
T (u1 ) T (u1 )
1 (u1 ) 2 (u1 ) m (u1 )
H ( )
T
T
(u ) (u ) (u )
(
u
)
(
u
)
m
n
1 n 2 n
n
n
Параметры α находим по критерию наименьших квадратов:
I () ( H * ) T K 1 ( H * ) min
Метод наименьших квадратов
при линейной параметризации модели
Пример расчета параметров:
*
(
u
,
)
c
D
( u , )
(u , ) c D(u , )
*
1
(u , ) 1 2 (u u )
u1
u
u
Метод последовательной линеаризации
при подстройке параметров
на основе критерия наименьших квадратов
Построим
итерационную
процедуру
расчета
параметров
α
модели
в соответствии с критерием наименьших квадратов. Так как функционал квадратичный,
то первая стадия метода не реализуется и на каждой итерации используется только
линейная аппроксимация выхода модели по параметрам:
dH ( l ) l 1
H ( ) H ( )
l 1 l
d
dH (l ) l 1 T 1 *
dH (l ) l 1
l 1
*
l
l
I ( ) ( H H ( )
) K ( H H ( )
) min
d
d
l
l 1
Необходимое условие минимума приводит к системе линейных алгебраических
уравнений:
dH T 1 dH l 1 dH T 1 *
l
K
K ( H H ( ))
d
d
d
l 1 l l l 1 , l 0, 1, 2,
Робастные оценки параметров
Параметры модели (которые являются оценками параметров объекта),
полученные на основе критерия наименьших квадратов, сильно реагируют на
выбросы помех. Аномальные отклонения в измерениях очень редки, но
амплитуда их велика.
n
I1 () | *i | min
i 1
Так же существуют другие критерии вида:
n
I ( ) pi1( ei ) min ,
i 1
Примеры функции ψ(e):
a
ei *i (ui , )
б
(e)
0
e
(e)
0.8
0
e
в
(e)
0
e
Простейший адаптивный алгоритм
подстройки параметров
Линейная параметризация модели:
(u, ) T (u )
На каждой итерации, например n и n-1, параметры модели находим из условия
равенства выходов модели и объекта:
*n T (un ) n , *n 1 T (un 1 ) n 1
Каждому уравнению в пространстве параметров соответствует своя линия
2
n
|| n ||2 min
n
n 1
n 1
a
1
( *n T (un )n 1 )
n n 1
(un ) n 1 ( *n T (un ) n 1 )( T (un ))
T
(un )(un )
n
n a T
(un )
n
(un )(un )
n n 1 n 1 ( n n 1 ), n 1, 2, ... .
Простейший адаптивный алгоритм
подстройки параметров
Нелинейная модель: На каждом шаге линеаризуем модель и
приращения параметров отыскиваем из равенства выхода
модели и линеаризованной модели:
(u n , n 1 ) (u n , n 1 ) n
*
n
T
В итоге получаем алгоритм перестройки параметров
нелинейной модели:
(*n (un , n 1 ))
n n 1 T
(un , n 1 )
(un , n 1 )(un , n 1 )
ВОПРОСЫ ?