Transcript Aljabar Linear Elementer I

Drs. Darmo

Definisi:
Susunan bilangan berbentuk persegi panjang
yang diatur dalam baris dan kolom.
Contoh:
 4 3
A   2 0
 1 7 
1 3
B

3
1



Bentuk umum suatu matriks:
 a11
a
A   21
 

am1
 a1n 
a22  a2 n 

 

am 2  amn   a11 
a 
 21 
 Elemen kolom ke-1 =
  
 
 a m1 

a12
Elemen baris ke-1 =
a11
a12  a1n 




aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j
Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo
m  n.
Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan
banyaknya kolom disebut matriks persegi.
Contoh:
1
3 2
A  4  6 7 
9 8  1

Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.

Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemenelemen yang seletak sama.

Jumlah Dua Matriks
Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama.
Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya
sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemenelemen yang seletak dijumlahkan:
Contoh:
2  1  3 4   1 3 
0 5    2  8   2  3

 
 



Hasil Kali Matriks dengan Skalar
Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang
ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemenelemennya dikalikan dengan k.
Hasil Kali 2 Matriks
Jika A adalah sebuah matriks m  r dan B adalah matriks r  n
maka hasil kali A  B adalah matriks mxn yang elemenelemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom
ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan
kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang
bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan
kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.
 4 1 4 3
1 2 4 
0  1 3 1 
 Contoh: A 
B

2 6 0




2 7 5 2
1 2 4 
2 6 0


23

 4 1 4 3
0  1 3 1   ... ... ... ...

 ... ... 26 ...

2 7 5 2 
34
(2  4) + (6  3) + (0  5) = 26
24
Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar
operasi-operasi berikut terdefinisi maka berlaku:
1. A+B = B+A
(H. Komutatif Penjumlahan)
2. A+(B+C) = (A+B)+C
(H. Asosiatif Penjumlahan)
3. k(A+B) = kA+kB
k skalar
4. (k+l)A = kA + lA
k dan l skalar
5. (kl)A = k(lA)
k dan l skalar
6. k(AB) = kA(B) = A(kB) k skalar
7. A(BC) = (AB)C
(H. Asosiatif Perkalian)
8. A(B+C) = AB + AC
(H. Distributif)
9. (A+B)C = AC + BC
(H. Distributif)
1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 45 dan misalkan
C, D, dan E berturut-turut adalah matriks-matriks: 52, 42,
dan 54. Tentukanlah yang mana diantara pernyataan berikut
terdefinisi dan berapakah ordo hasilnya.
a. BA
b. AC + D
2.
3.
c. AC + B
d. AB+B
e. E(A+B)
b  c  8 1
 a b

Hitunglah a, b, c dan d jika 


3
d

c
2
a

4
d
7
6

 

3  2 7  dan
6  2 4
Ditentukan:
A  6 5 4
B  0 1 3
0 4 9 
7 7 5
dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah:
4.
5.
dengan tidak
hitunglah:
menghitung
hasil
a. Baris ke-1 dari AB
b. Baris ke-3 dari AB
c. Kolom ke-2 dari AB
d. Kolom ke-1 dari BA
keseluruhan,
e. Baris ke-3 dari A2
f. Baris ke-2 kolom ke-3
dari B2
Misalkan Q adalah matriks nn yang elemen di dalam baris
ke-i, kolom ke-j adalah 1 jika i = j, dan 0 jika i ≠ j.
Perlihatkan bahwa aI = Ia = a untuk setiap matriks A nn .
Jika A dan B matriks-matriks persegi yang ordonya sama,
apakah (A+B)2=A2+2AB+B2. Mengapa?



Definisi:
Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao = I (matriks
Identitas) An =AA A A … A sebanyak n faktor.
Jika A suatu matriks mn maka transpose matriks A ditulis At
atau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i
diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1,2, …, m.
Contoh:
 4 2
A   5 1 
 3 0
 4  5 3
A 

2
1
0


t

Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat
berikut:
Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar
operasinya terdefinisi maka:
(At)t = A
2. (A+B)t = At + Bt
3. (kA)t = k(At)
4. (AB)t = Bt . At
 4 2
3 5
4  1
3 0
Contoh:
t
t
A
dan B  
A 
dan B  




  1 3
0 1
2 3 
5 1
1.
t
  4 2 3 5   12 22  12  3
t
 
( AB)   








1
3
0
1

3

2
22

2










t
4  1 3 0  7  1
AB 





2
3
5
1
21
3

 
 

3 0 4  1 12  3
t t
B A 





5
1
2
3
22

2


 

t

Jadi (AB)t = Bt . At
t

Matriks nol
adalah matriks yang semua elemennya nol.
0 0 
Contoh:
0



0
Matriks satuan / Identitas
adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu,
sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I.
Contoh:
1 0 0 
0

0
1
0
0 
1 
Matriks diagonal
adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya
adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol.
Contoh:
0 
1 0
0

0
2
0
0 
 4 



Matriks segitiga atas
adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol,
sedangkan yang lain tidak semua nol.
Contoh:
1 3 5 
0

0
2
0
7 
1
Matriks segitiga bawah
adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol,
sedangkan yang lain tidak semua nol.
Contoh:
1 0 0 
3

5
2
8
0 
1
Matriks simetri
adalah matriks persegi yang berlaku A = At.
Contoh:
1
2

 3
2
4
5
3 
5 
 2 

Matriks Eselon
adalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika ada baris nol maka letaknya di bawah.
2. Jika suatu baris tak nol maka elemen tak nol pertama adalah satu.
Satu ini disebut satu utama / satu pemuka / leading entry.
3. Satu utama pada baris yang lebih awal terletak pada kolom yang lebih awal pula.
Contoh:
1 2 3 0
0 1 2 3
0 1 0 1 
A  0 0 1 1

B
 0 0 1 3
0 0 0 1


0
0
0
0


1.

Matriks Eselon Tereduksi
adalah matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka
elemen lainnya nol. 1 0 0 0
Contoh:
0
B
0

0
1
0
0
0
1
0
1
3

0

Misalkan pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai
berikut:
1. Saling menukar dua baris. (misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke-j).
2. Mengalikan sutu baris dengan bilangan real tak nol. (Misalnya mengalikan
baris ke-i dengan k, k ≠ 0).
3. Menambahkan suatu baris dengan kelipatan baris lain (Misalnya baris ke-i
ditambah k kali baris ke-j)
Setiap operasi di atas disebut: OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) dan
berturut-turut dinyatakan dengan:
1. Rij
2. Ri(k) atau k. Ri
3. Rij(k) atau Ri + k.Rj
Contoh:
5
2  1 3 1 3 5
1 3
1 3 5
1 0 2
1 3 5 R12 2  1 3 R21( 2) 0  7  7 R2 17  0 1 1 R12( 3) 0 1 1

 









Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan satu kali atau
beberap kali OBE, maka dikatakan A ekuivalen baris B di tulis
A B.
Jika matriks B diperoleh dari matriks A melalui suatu OBE
maka dari B dapat diperoleh kembali matriks A melalui OBE
sejenis.

Misalkan:
 A Rij B  B Rij A



 
AR BBR
 
AR BBR
 
i(k)
i(1/k)
A
ij(k)
ij(-k)
A
Jika A, B, dan C tiga matriks berordo sama maka
1.
2.
Jika A  B maka B  A (sifat simetri)
Jika A  B dan B  C maka A  C (sifat transitif)

Matriks elementer adalah matriks identitas yang dikenai satu
kali OBE.
1 0 0 
I 3  0 1 0
0 0 1

1 0 0
E23  0 0 1
0 1 0
Jika E suatu matriks elementer berordo mm, dan A suatu
matriks berordo mn maka EA hasilnya akan sama dengan
matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris
elementer yang sesuai.
3  2 3  2
Contoh:
Diketahui : A  0 4  R23 1 7 
1
7 
1 0 0
E23  0 0 1
0 1 0
1 0 0
EA  0 0 1
0 1 0
0
4 
3  2 3  2
0 4   1 7 

 

1 7  0 4 

Definisi:
matriks persegi A disebut invers B jika AB = BA = I.
A disebut invers B dan B disebut invers A.
invers A di tulis A-1.
Invers matriks elementer merupakan matriks elementer juga.
 (Iij)-1 = Iij
 (Ii(k))-1 = Ii(1/k)
 (Iij(k))-1 = Iij(-k)  Mengapa ???

Contoh:
1 0 0
E23  0 0 1
0 1 0
1 0
E23  E23  0 0
0 1
1
I12 ( 2 )  I12 ( 2 )  0
0
1 0 0 
I  0 1 0
0 0 1
0   1 0 0  1 0 0 
1 0 0 1  0 1 0
0 0 1 0 0 0 1
 2 0 1 2 0 1 0 0
1 0 0 1 0  0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1

Perhatikan sekarang A  2

3 dengan menggunakan

3
4


beberapa kali OBE akan kita ubah metriks tersebut menjadi matriks
eseleon baris tereduksi.
2 3 3 4
1 1
1 1
1 0
3 4 R12 2 3 R12( 1) 2 3 R21( 2) 0 1 R12( 1) 0 1

 







E12 ( 1) E21( 2) E12 ( 1) E12 A  I
E E
E
E  E
E
E
E A  E

1
12 ( 1)
21( 2 )
A  E
A  E
12 ( 1)
1
12 ( 1)
12 ( 1)
12
I
E21( 2) E12( 1) E12
12 ( 1)

1
E21( 2) E12 ( 1) E12 I
21( 2 )
12 ( 1)
12
12 ( 1)
E21( 2) E12( 1) E12  I
1

Contoh:
 2 3 1 0  3 4 0 1 
1 1  1 1 
R12 
R12 ( 1) 
R21( 2)




3 4 0 1 2 3 1 0
2 3 1 0
1 1  1 1 
1 0  4 3 
R12 ( 1) 



0
1
3

2
0
1
3

2




Banyaknya permutasi dari n elemen yang berlainan ialah n!, ditulis Pn =
n!
Contoh:
untuk n=3, misalnya {1, 2, 3} permutasinya P3 = 3! = 321 = 6; yaitu:
(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)
(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)
 Suatu inversi terjadi jika dalam suatu permutasi tercatat bilangan yang
lebih besar mendahului yang lebih kecil.
Contoh:

 1 2 3 4 5 6 inversinya 0, karena tidak ada bilangan yang lebih besar menadhului
yang lebih kecil.
 1 3 2 inversinya 1; yaitu 3 mendahului 2.
 6 5 4 3 2 1 inversinya 15 (selidiki sendiri!)


Permutasi genap  permutasi yang banyak inversinya genap.
Permutasi ganjil  permutasi yang banyak inversinya ganjil.
Permutasi
Banyaknya inversi
Klasifikasi
(1, 2, 3)
0
Genap
(1, 3, 2)
1
Ganjil
(2, 1, 3)
1
Ganjil
(2, 3, 1)
2
Genap
(3, 1, 2)
2
Genap
(3, 2, 1)
3
Ganjil

Perkalian elementer dari Ann ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak
sebaris dan tidak sekolom.
Contoh:
 a11 a12 a13 
A  a21
a31
a22
a32
a23 
a33 

Yaitu:

Perkalian elementer bertanda dari Ann adalah perkalian elementer dari A
dikalikan (-1) berpangkat jumlah inversinya.
Contoh: di atas

a11a22 a33
a12 a23a31
a11a23a32
a13a22 a31
a12 a21a33
a13a21a32
 a11a22 a33  a11a23a32  a12 a21a33
 a12 a23a31  a13a22 a31  a13a21a32


Determinan matriks Ann ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai
jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A.
Contoh:
 a11
A  a21
a31
 a11
A
a21
a12
a22
a32
a12 
a22 
a13 
a23 
a33 
A  a11a22 a33  a12 a23 a31  a13a21a32  a13 a22 a31
 a12 a21a33  a11a23 a32
A  a11a22  a12a21
 a11
A  a21
a31
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
A Dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
−
a11
a12
a13
a21
a22
a23 a21 a22
a31
a32
a33 a31 a32
−
+
−
a11 a12
+
a13
+
−
a11
a12
a13
a23 a21
a33 a31
a22
a32
a23 a21
a33 a31
−
−
+
a11
+
+


Determinan yang terjadi jika baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan disebut
MINOR unsur aij; ditulis Mij
Contoh:
3
1 2
A  4  7 6 
5 9  1
M 23 
1 2
 9  10  1
5 9

Kofaktor elemen aij ditulis Kij=(-1)(i+j)Mij

1 2
M 23 
 9  10  1 maka K23=(-1)2+3M23 = 1
5 9
Determinan matrik A dapat Juga dihitung
dengan :
i 1
A  (1)
i2

in


a M  (1) a M  .... (1) a M
(diuraikan atas baris ke i)
Atau
i1
i1
i2
i2
in
A  a1 j K 1 j  a2 j K 2 j  .... anj K nj
(diuraikan atas kolom ke j)
in
Contoh :
3
1 2
4  7 6 


5 9  1
3
1 2
4  7 6 


5 9  1
3
1 2
4  7 6 


5 9  1




Tuliskan sifat-sifat determinan beserta contohnya.
Jangan lupa tuliskan referensi yang Anda pakai.
Tugas ditulis tangan dengan rapi dalam kertas folio.
Dikumpulkan satu minggu setelah tugas ini diberikan.

Jika A adalah sebarang matriks n × n maka matriks kofaktor A adalah
matriks yang berbentuk
 K11
K
K ( A)   21
 

 K n1

K12
K 22

Kn2
 K1n 
 K 2 n 
 

 K nn 
Transpose matriks kofaktor A disebut matriks adjoin A dan dinyatakan
dengan adj(A)
 K11
K
adj( A)   12
 

 K1n
K 21  K n1 
K 22  K n 2 

 

K 2 n  K nn 

Contoh:
3 2  1
A  1 6
3 
2  4 0 
K11 
6
3
4 0
K32  
 12
3 1
1
3
 10
Carilah K(A) = …? dan adj(A) = …?
K 21 
2
1
4
0
 12
K ( A)   4
 K 31
4
K 23  
K13 
K 22 16 
 10 K 33 
K12
3
2
2 4
 16


Invers matriks A dihitung menggunakan matriks adjoint adalah sebagai
berikut.
1 2 3
Contoh:
A  2 5 3 A1  ...?
1 0 8
Menggunakan Operasi Baris Elementer:
1 2 3 1 0 0 
1 2
1 0 9 5  2 0 R13(9)
3 1 0 0
R
R

 21( 2) 
 12 ( 2) 

2
5
3
0
1
0
0
1

3

2
1
0
0
1

3

2
1
0

R

R

 R23( 3)
1 0 8 0 0 1 31( 1) 0  2 5  1 0 1 32 (3) 0 0  1  5 2 1 R3( 1)
1 0 0  40 16 9 


0 1 0 13  5  3
0 0 1 5
 2  1
Jadi
 40 16 9 
A 1   13  5  3
 5
 2  1

Menggunakan matriks adjoint
1 2 3
 40  13  5
 40  16  9
A  2 5 3 Jadi K ( A)   16 5
2  dan adj( A)   13 5
3 
  9
1 0 8
  5
3
1 
2
1 
1 2 31 2
A  2 5 3 2 5  40  6  0  15  0  32  1
1 0 81 0
 40  16  9  40 16 9 
1
1 
   13  5  3
A1  adj( A) 

13
5
3
 

A
1 
  5
2
1   5
 2  1
Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPL
Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK

SPL 2 persamaan 2 variabel:

Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya
adalah titik potong kedua garis ini.
kedua garis sejajar
kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan
SPL
BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai
penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang
lebih sederhana.
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan
dengan konstanta tak nol.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua
persamaan sebarang.
2. Menukar posisi dua baris
sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
persamaan ke persamaan
lainnya.
3. Menambahkan kelipatan suatu
baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris
DIKETAHUI
…………(i)
…………(ii)
…………(iii)
kalikan pers (i)
dengan (-2), kemudian tambahkan ke
pers (ii).
kalikan baris (i)
dengan (-2), lalu
tambahkan ke
baris (ii).
kalikan pers (i)
dengan (-3), kemudian tambahkan ke
pers (iii).
kalikan baris (i)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke
baris (iii).
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
kalikan pers (ii)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke pers
(iii).
kalikan brs (ii)
dengan (-3),
lalu tambahkan
ke brs (iii).
kalikan pers (iii)
dengan (-2).
kalikan brs (iii)
dengan (-2).
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke brs
(i).
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan pers (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke pers (i)
dan kalikan pers (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke pers (ii)
kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke brs
(i).
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke brs (i)
dan kalikan brs (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat
kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi
matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan
METODA ELIMINASI GAUSS.
KERJAKAN EXERCISE SET 1.1
Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:
1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading
1 baris berikut.
4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut
bentuk echelon-baris.
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah
matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi.
CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:
-2B1 + B2B2
5B2+B3  B3
B4 B4+4B2 1 3 - 2 0 2
0 0
0 0 - 1 - 2 0 - 3 - 1


0 0 0 0 0 0 0 


0
0
4
8
0
18
6


B3 ⇄ B4
B3 B3/3
-3B3+B2B2
2B2+B1B1
Akhirnya diperoleh:
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh
penyelesaian:
dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak
berhingga banyak penyelesaian.
Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh
LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka pekerjaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada
metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:
Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian
menggunakan substitusi mundur.
CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut: