Transcript Gerak Parabola

BAB. 5
Gerak Parabola
(Gerak Peluru)
4/13/2015
1
Pendahuluan.
Gerak parabola, gerak dengan jejak (lintasan)
berupa grafik parabola (konsep ideal).
Gerak parabola, gerak dalam bidang (dua dimensi), yaitu bidang yang dibuat oleh percepat

an (g ) dan kecepatan (v ) yang membuat sudut.
Contoh gerak parabola, gerak yang terjadi dalam medan gravitasi (g).
Syarat yang harus dipenuhi agar gerak menjadi
grafik parabola adalah:
1. kecepatan gerak (v) tidak terlalu besar.
4/13/2015
2
Lanjutan.
2. nilai percepatan gravitasi bumi (g) tetap.
Syarat g tetap, akan dipenuhi jika jangkauan
tidak terlalu jauh (tinggi) dari permukaan bumi.
3. kelengkungan bumi dan gesekan udara diabaikan (bumi dianggap bidang datar).
Analisis gerak parabola menggunakan koordinat
kartesian dua dimensi (x, y).
Sudut antara v dengan garis mendatar (sudut )
disebut sudut elevasi (sudut pelemparan).
4/13/2015
3
1. Gerak Parabola (Gerak Dalam Bidang Datar).
y
vo sin 
H
vo
vx
r

ro
g
vo cos 
g
vy
r
v
r
g
0
G
4/13/2015
x
4
Lanjutan.
Gerak parabola merupakan paduan (jumlahan)
glb (pada sumbu x) dan glbb (pada sumbu y).
x = vo cos  t 
t = x/vo cos   glb
y = vo sin  t - ½ g t2  glbb
Mengasilkan y = x tan  - ½ g x2/vo cos2  atau
y = f (x2), yang menyimpulkan bentuk grafik
(lintasan) parabola.
4/13/2015
5
Analisis Gerak Parabola.
Kecepatan gerak parabola setiap saat dipenuhi
dengan, dv = g dt (dalam hal ini besaran a = g)
Jika dihitung kecepatan partikel setiap saat (di
titik tertentu) akan diperoleh, v = vo + g t
Jika kecepatan gerak partikel dinyatakan dengan komponen vektor maka menjadi,
i vx + j vy = i vo cos  + j vo sin  - g t j
Posisi partikel setiap saat dipenuhi dengan,
r = ro + vo t + ½ g t2
4/13/2015
6
Lanjutan.
Jika posisi gerak partikel setiap saat dinyatakan
dengan komponen vektor maka persm menjadi,
i x + j y = yo j + i vo cos  t + j vo sin  t – ½ g t2 j
Persm posisi dan kecepatan jika dipisahkan maka
menjadi,
Gerak pada sumbu x,
Letak posisi partikel, x = vo cos  t
Besar kecepatan partikel, vx = vo cos 
4/13/2015
7
Lanjutan.
Gerak pada sumbu y,
Letak posisi partikel, y = yo + vo sin  t - ½ g t2.
Besar kecepatan partikel,
vy = vo sin  t - g t
Kecepatan partikel setiap saat,
4/13/2015
v  v v
2
x
2
y
8
Lanjutan.
y
vo sin 
H
vo
vx
r

ro
g
titik
tertinggi
vo cos 
g
vy
r
v
r
g
titik
terjauh
0
G
4/13/2015
x
9
Lanjutan.
Letak posisi-posisi ekstrim pada gerak parabola
Titik tertinggi (H) dijangkau, jika partikel sudah
tidak akan naik lagi, maka dipenuhi vy = 0.
vy = vo sin  - g tH = 0.
Dari persm tersebut, diperoleh waktu terbang
(tH) benda (partikel) untuk mencapai titik H (titik
tertinggi) yaitu:
4/13/2015
vo sin 
tH 
g
10
Lanjutan.
Koordinat H (xH, yH)
vo sin  v
x H  vo cos

sin 2 
g
2g
2
o
vo sin  1  vo sin  

y H  y o  vo sin 
 g 
g
2  g 
2
vo
2
 yo 
sin 
2g
2
Kecepatan partikel pada H adalah vo cos .
4/13/2015
11
Koordinat G (titik terjauh partikel jatuh).
Titik terjauh, dipenuhi jika partikel sampai di
tanah (maka dipenuhi yG = 0).
yG = g t2 - 2 vo t sin  - 2 yo = 0
Bentuk persm kuadrat dari t.
t G (1, 2 ) 
2 vo sin  
4 vo2 sin 2   8 g y o
2g
Ada dua nilai memenuhi, dan digunakan yang memenuhi syarat,
Koordinat partikel menjadi (vo cos  tG ; 0)
Kecepatan partikel,
4/13/2015
v  v v
2
x
2
y
12
Contoh.
Peluru ditembakkan dari suatu tempat ketinggian
100 m dari permukaan tanah. Peluru vo = 80 m s-1
dengan membuat  = 30o dengan bidang horisontal. Berapa ketinggian maksm yang dicapai peluru
tersebut ? Dimana dan dengan kecepatan berapa
peluru tersebut jatuh di tanah ? g = 10 m s-2.
Penyelesaian.
Lihat gambar gerak parabola di depan !.
Jika titik tertinggi H, maka koordinat H menjadi
4/13/2015
13
titik
tertinggi
y
vo sin 
vo
yH = 180 m
H
xG = 400 √3 m

ro
vo cos 
g
titik
terjauh
g
0
xH = 160√3 m
4/13/2015
G
x

14
Sambungan.
vo2
2
y H  yo 
sin 
2g
802
y H  100 
sin 2 30  180 m
2 (10)
vo2
802
xH 
sin 2  
sin 60o  160 3 m
2g
2 (10)
Koordinat titik tertinggi, H (160√3; 180) m
Peluru jatuh di titik G, maka
g t2 - 2 vo t sin  - 2 yo = 10 t2 – 80 t – 200 = 0
4/13/2015
15
t2 – 8 t – 20 = 0  (t – 10)(t + 2) = 0
Waktu terbang peluru adalah 10 detik.
xG = vo tG cos  = (80) (10) ½ √3 m
= 400 √3 m
Koordinat titik G atau peluru di bumi G (400√3; 0)
Kecepatan jatuh = ( vo cos )2 + (vo sin  - g tG)2
= (40√3)2 + (40 – 100)2
= 4800 + 3600 = 8400 m s-1
Kecepatan partikel menumbuk tanah 20 √21 m s-1
( vo).
4/13/2015
16
Arah kecepatan peluru jatuh di G, tan  = vx /vy.
tan (40√3)/(- 60) = - (2/3)√3,  = ……
Tetapi jika peluru ditembakkan dari permukaan
tanah (yo = 0), besar kecepatan dan arah sampai di tanah akan sama dengan saat awal peluru
ditembakkan, hanya arahnya yang berlawanan.
4/13/2015
17
Contoh.
Dua peluru memiliki jangkauan R membutuhkan
waktu t1 dan t2 untuk mencapai ketinggian masing-masing. Buktikan t1 t2 = 2 R/g !
Penyelesaian.
R = v cos  t.
t = (2 v sin )/g.
sin2  + cos2  = 1
R
g2 t2/4 v2 + R2/v2 t2 = 1  g2 t4 – 4 v2 t2 + 4 R2 = 0
x2 = t2  g2 x2 – 4 v2 x + 4 R2 = 0.
4/13/2015
18
c 4R 2
x1 x 2   2  t1t 2 
a
g
4R 2
g2
2R

g
4/13/2015
, terbukti
19
2. Gerak Vertikal (Jatuh Bebas)
Gerak vertikal ke atas dapat dianggap, sebagai
gerak parabola khusus [yaitu sudut elevasi benda  = 90o, (nilai cos 90o = 0 dan sin 90o = 1)].
Persm gerak peluru tegak lurus, identik gerak lurus vertikal (gerak dalam sb. y).
y j = yo j + vo j t + ½ g (- j) t2
Persm gerak ke atas (tegak lurus) menjadi,
y = yo + vo t - ½ g t2
Persm gerak ke bawah (tegak lurus dihempaskan)
menjadi, y = yo + vo t + ½ g t2
4/13/2015
20
Jika partikel (peluru) dilempar ke atas, maka
suatu saat partikel akan mencapai puncak.
Partikel akan mencapai puncak dipenuhi v = 0.
Jika v = 0, akan dipenuhi vo = g t.
vo2
Koordinat puncak menjadi, y = yo +
2g
Kecepatan partikel, pada suatu posisi setiap saat
dinyatakan sebagai,
v2 = vo2 ± 2 g y.
4/13/2015
21
Contoh.
Seorang melempar benda (secara tegak lurus)
dengan kecepatan awal 40 m s-1 dari ketinggian
45 m. Berapakah ketinggian yang dicapai benda
tersebut dan dengan kecepatan berapa benda
akan menumbuk tanah ? g = 10 ms-2.
Penyelesaian.
2
o
v
Benda mencapai titik tertinggi, y = yo +
2g
y = 45 m + (1600/20) m = 125 m.
4/13/2015
22
Kecepatan menumbuk tanah, v2 = vo2 + 2 g y.
v2 = (40)2 + 2 (- 10)(- 45) = 1600 + 900
= 2500 m2 s-2.
Besar kecepatan benda menumbuk
v = 50 m s-1, dengan arah ke bawah.
4/13/2015
tanah,
23
Contoh.
Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian h. Setelah t detik batu kedua dijatuhkan ke bawah
dengan diberi kecepatan v. Kedua benda mengenai permukaan tanah secara bersamaan. Persyaratan apa yang diperlukan agar hal tersebut
dapat terjadi ?
Penyelesaian.
Batu pertama, h = ½ g t1
2
2h
atau t1 
g
Batu kedua, h = v (t1 + t) + ½ g (t1 + t)2.
4/13/2015
24
 2h 
 2h 
2h  2v 
 t   g 
 t 
 g

 g

 2h 
 2h
2 h  2 v 
 t   g   2 t
 g

 g
2

2h
2
 t 
g

 2h 
0  2 v 
 t   t 8 gh  g t 2
 g

8h
8h
t v
 g t2  2vt
g
g
Persm di atas dikuadratkan dan dikalikan g menjadi,
4/13/2015
25
8 h (g2 t2 + v2 - 2 v t) = g t2 (g2 t2 + 4 v2 – 4 v g t)
8 h (g t - v)2 = g t2 (g t - 2 v)2
gt
Dipenuhi h 
8
4/13/2015
2
2
 2v  gt 

 benda akan jatuh bersamaan
 v  gt 
26
Contoh.
Beberapa buah benda dilepas dari ketinggian yang
sama bergerak menuju tanah dengan jalan yang
berbeda-beda tanpa geseran (lihat gambar). Buktikan kecepatan benda sampai di tanah sama !
Penyelesaian.
B
A
h
4/13/2015
g sin 
s1
g
g sin β
s2
g

β
27
lanjutan.
Benda A menempuh jarak s1 dengan memiliki percepatan g sin  dan B, s2 dengan percepatan g sin
β. Persm gerak benda A, mencapai tanah dengan
waktu t1, s1 = ½ g sin  t12.
Dalam hal ini t1 akan,
t1 
2 s1
g sin
 2 s1
v1  g sin  t1  g sin  
 g sin
4/13/2015
 2 g s1 sin   2 g h




28
lanjutan.
Persm gerak benda B mencapai tanah dengan
waktu t2, lintasan ditempuh s2 = ½ g sin  t2.
Dalam hal ini t2 akan sama dengan,
t2 
2 s2
g sin
 2 s2
v 2  g sin  t 2  g sin  
 g sin




 2 g s 2 sin   2 g h
4/13/2015
29
lanjutan.
Kecepatan benda sampai di tanah hanya tergantung pada ketinggian benda (h) dan tidak tergan
tung pada jalan atau lintasan.
Perhatikan v1 = v2, terbukti !.
4/13/2015
30
3. Gerak Parabola Dalam Bidang Miring
Gerak parabola dalam bidang miring merupakan
gerak parabola dengan sumbu x tidak menunjukkan garis horizontal tetapi miring.
Analisis gerakan tersebut identik dengan gerak
parabola horizontal [sumbu datar (sb x)] dengan
dilakukan transformasi.
Sudut β merupakan sudut bidang miring.
Bidang miring dijadikan sebagai sumbu x yang
baru dan dibuat sumbu y baru (sb. y baru  sb. x
baru).
4/13/2015
31
y
vo sin 
vo
vo cos 

0
x
Persm gerak parabola,
β
g sin β
x = vo t cos  – ½ g t2 sin β
g cos β
g
y = vo t sin  – ½ g t2 cos β
Analisis gerakan, untuk seterusnya sama dengan
gerak peluru dalam bidang datar.
4/13/2015
32
Contoh.
Sebuah bola elastis dijatuhkan di atas bidang miring dengan tinggi h. Bola tersebut terpantul dan
jatuh pada bidang miring dalam titik yang berbeda dan seterusnya (bola terpantul dan jatuh
pada bidang miring dalam posisi yang berbedabeda), (lihat gambar). Jika jarak antara posisi
pertama (1) bola jatuh dan posisi kedua (2), d12
dan jarak jatuh antara titik kedua (2) dan ketiga
(3) adalah d23.
d 12
Tentukan perbandingan jarak
!
d 23
4/13/2015
33
Vo=√2gh
θ
1
θ
g sin θ
θ
g
d12
2
d23
θ
3
gambar gerakan bola.
4/13/2015
34
Kecepatan benda pada posisi (1) vo = √2gh.
Persm gerak pada sb. y menjadi,
y = vo t cos θ – ½ g t2 cos θ .
Mencapai bidang miring kembali y = 0 sehingga
diperlukan waktu t = (2 vo)/g.
Jarak tempuh bola jatuh d12 akan menjadi,
d12 = vo t sin θ + ½ g t2 sin θ
d12
4/13/2015
2 vo
 2 vo
1
 vo
sin   2 g 
g
 g
vo2
 4 sin   8 h sin 
g
2

 sin 

35
v2
d 23 berlaku nilai d 23  4 sin 
g
Besar nilai v adalah benda jatuh pada ketinggian,
h + 8 h sin2 θ atau h (1 + 8 sin2 θ)
Sehingga kecepatan pada posisi (2) menjadi,
v  2 g h (1  8 sin  )
2
d 23 menjadi8 h (1 8 sin  ) sin 
2
d12
1
,nilai tetap.
Perbandingan

d 23 1  8 sin 2 
4/13/2015
36
4/13/2015
37
4/13/2015
38