Transcript Eulerscher Polyedersatz im Raum

Eulerscher Polyedersatz
am Beispiel
des
Dodekaeders
Für eine Fläche gilt:
5–5+1=1
E–K+F=1
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
Für 2 Flächen gilt:
8–9+2=1
E–K+F=1
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
Für 3 Flächen gilt:
11 – 13 + 3 = 1
E–K+F=1
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
Für 4 Flächen gilt:
14 – 17 + 4 = 1
E–K+F=1
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
Für 5 Flächen gilt:
17 – 21 + 5 = 1
E–K+F=1
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
+4
Analyse:
Für 6 Flächen gilt:
+3
+4
+1
20 – 25 + 6 = 1
E–K+F=1
unverändert
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
von der Ebene
in den Raum
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
Es gilt:
19 – 24 + 6 = 1
E–K+F=1
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
Es gilt:
18 – 23 + 6 = 1
E–K+F=1
RF 11/12
Eulerscher Polyedersatz
0
Analyse:
Es gilt:
-1
-1
+0
17 – 22 + 6 = 1
E–K+F=1
unverändert
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
0
Analyse:
Es gilt:
-2
-2
+0
15 – 20 + 6 = 1
E–K+F=1
unverändert
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
15 – 20 + 6 = 1
15 – 20 + 6 = 1
20 – 30 + 12 = 2
E–K+F=1
?
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
In der Ebene gilt: E – K + F = 1
In einem Körper gilt: E – K + F = 2
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
im Raum
E–K+F=2
Hier nun ein mathematisch
anderer Zugang:
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
im Raum
Überlegen Sie:
Ecken = 23
dieser
Körper
hat
Kanten = 34
Flächen = 12
23 – 34 + 12 = 1
Es gilt folglich:
E–K+F=1
der Eulersche Polyedersatz in der Ebene
RF
11/12
Eulerscher Polyedersatz
im Raum
Beschreiben Sie, wie sich Ecken,
Kanten und Flächen verändern, wenn
man den „Deckel“ schließt.
Ecken = 20
Kanten = 30
Flächen = 12
23 – 34 + 12 = 1
RF 11/12
20 – 30 + 12 = 2
Eulerscher Polyedersatz
im Raum
E–K+F=2
RF
11/12