Pertes de charge
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ECOULEMENT EN CHARGE
(Régime permanent)
BNIAICHE EL Amine
Octobre 2013
• Introduction
• Principes fondamentaux
• Dynamique des fluides parfaits
• Dynamique des fluides réels
• Diagramme des énergies
• Courbes caractéristiques du réseau de conduites
I- Introduction
Description du mouvement des particules fluides au sein d'un écoulement, en le
reliant aux différentes forces en présence. L'objectif est donc de mettre en place une
équation qui puisse rendre compte du lien entre toutes les grandeurs intervenant
dans l'écoulement: vitesse, pression, forces de volume et de frottement (viscosité).
Dans ce type d’écoulement , le fluide remplit complètement la canalisation, c’est le cas
notamment des réseaux d’irrigation sous pression et d’eau potable aussi bien que les circuits
des installations hydrauliques.
Approche méthodologique
On définira les écoulements en charge en faisant un rappel des principes de la
mécanique des fluides qui s’appliquent à ces écoulements.
On passera les moyens d’évaluer les pertes de charge dans les conduites et dans
divers composants tels que des coudes , des vannes, etc
Nous verrons comment établir la ligne de charge d’un circuit hydraulique ce qui
sera fort utile pour en calculer le comportement hydraulique.
Nous étudierons les cas des conduites en parallèle et en série
II- Principes fondamentaux
II.1- Forces de volume, Forces d’inertie, Forces de pression normales, Forces
de surface et tenseur des contraintes
II.1.1- Forces de volume
Il s'agit principalement du poids d’un volume dV de fluide
d F V dmg dVg
II.1.2- Forces d’inertie
Considérons la vitesse d’une particule v (t , x, y, z )
dv
v
v
v
v
dt
dx
dy
dz
t
x
y
z
La dérivée particulaire de v s’écrit:
dv
v
v dx v dy v dz
dt
t
x dt
y dt
z dt
v
v
v
v
vx
vy
vz
t
x
y
z
Les forces d’inertie peuvent s’écrire:
d Fi
v
t
dv
dV
dt
dV
Forces d' accélérati on pure
(variation dans le temps)
D’où:
dV
(v ) v
Forces d' accélérati on convective
(variation dans l' espace)
d Fi v dV dV v grad v
t
II.1.3- Forces de pression normales (forces normales aux surfaces)
Considérons, un élément de volume fluide de forme parallélépipédique et de
volume dV=dx dy dz
Si l’on note dFz la composante suivant Z de
la force de pression
dFz p( z )dxdy
p( z dz)
dxdy
p
p( z )
dz
z
p
p
dxdydz
dV
dFz
z
z
Par analogie, suivant les autres directions, on trouve :
p
p
dxdydz
dFx
x
x
dV
et
p
p
dxdydz
dV
dFy
y
y
p
p
p
d F d F x d F y d F z
ex
ey
e z dV
y
z
x
d F - p dV - grad p dV
II.1.4- Forces de surface et tenseur des contraintes
Les forces de frottement (viscosité) s'exerçant entre les particules fluides en
mouvement relatif associées aux forces de pression normales aux surfaces, forment
des contraintes comportant
une composante normale
(perpendiculaire à la
surface) et une composante tangentielle (parallèle à la surface).
Il existe des forces de surface normales
et tangentielles dans le cas suivant :
La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de deux couches
s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence
de vitesse des couches soit v, à leur surface S et inversement proportionnelle à z :
F S
v
z
Les forces de surfaces sont normales dans les cas suivants :
Résumé
: Contrainte normale à la surface
: Contrainte tangentielle à la surface
d F T n dS
Contrainte appliquée en un point d’une surface perpendiculaire à l’axe x.
T x xx e x yx e y zx e z
Par convention, le premier indice indique la
direction portant la composante alors que le
second indice se réfère à la normale à la surface
subissant la contrainte.
De manière analogue, si l'on considère les contraintes s'exerçant sur des surfaces
perpendiculaires aux axes y et z:
T y xy e x yy e y zy e z
T z xz e x yz e y zz e z
n nx e x n y e y nz e z
Contrainte s'exerçant sur une surface d'orientation quelconque
C’est une combinaison linéaire de T x ; T y ; T z
T n nx T x n y T y nz T z
T n n x ( xx e x yx e y zx e z )
n y ( xy e x yy e y zy e z )
n z ( xz e x yz e y zz e z )
Contraintes normales
n x xx n y xy n z xz e x
T n n x yx n y yy n z yz e y
n n n
ez
x
zx
y
zy
z
zz
xx
yx
zx
xy
yy
zy
xz n x
yz n y T . n
zz n z
Contraintes tangentielles Tenseur des contraintes
T
Ts
Tenseur sphérique
P
0
0
0
-P
0
0
0
P
1
0
0
P 0
1
0
0
0
1
Tenseur unité
T'
Tenseur déviateur de trace nulle
ou Tenseur des contrainte s de viscosité
xx P
yx
zx
xy
yy P
zy
yz
zz P
xz
II.2- Équation fondamentale de la dynamique
Choisissons un élément de volume parallélépipède
rectangle de dV dxdydz dont l'accélération vaut
dans un champ de pesanteur g g e z
dv
dt
L'application du PFD conduit donc à :
dv
d F V d F S dV
dt
Les forces de volumes (Fv):
- Les forces de pesanteur provenant de la gravité:
d F v dVg
Les forces de surfaces (Fs):
- Les forces de pression : agissant perpendiculairement à la surface d’un fluide.
-Les forces de frottement de viscosité : dues à la viscosité
L'ensemble des forces de surface s'exercent sur les 6 faces du parallélépipède et
donnent nécessairement 3 composantes :
d F S dF
Sx
e x dF
Sy
e y dF e z
Sz
Analysons la composante dFsy :
Chacune des 6 faces est soumise à une contrainte dont une des 3 composantes contribue à dFSy
dans la direction ēy
Par exemple, la face supérieure (située à z dz de normale
soumise à une contrainte
n e z
T z xz e x yz e y zz e z
En terme de force , la contribution correspond à:
dont la contribution selon
e y se résume à:
yz
yz
z dz
dxdz
z dz
est
dFSy
dydz
dxdz
dxdy
yx
(
x
d
x
)
yx
(
x
)
yy
(
y
d
y
)
yy
(
y
)
yz
(
z
d
z
)
yz
(
z
)
dF
( ) ( z) dxdy
Sx
xz z d z
xz
xx
dF
Sz
zy ( yd y) zy ( y)
( xd x)
dydz
xy ( yd y) xy ( y) dxdz
xx ( x)
dxdz
zz
(
z
d
z
)
zz ( y)
dxdy
zx ( xd x) zx ( x)
dzdy
Faisons un développement limité de premier ordre pour dFSy:
yx
yy
yz
Ainsi,
dFSy
( xd x)
( y dy )
( z d z)
yx
x
yy
yx
( x)
( y)
yz
( z)
dx dydz
yx
yy
y
yz
yy
y
x
z
dx
dy
dz
dxdydz
yz
z
dxdydz
yx
yy
yz
dV
dF
Sy
x
y
z
xy xz
xx
dV
Par analogie: dFSx
y
z
x
zy
zz
zx
dF
dV
Sz
x
y
z
Reprenons l’Equation fondamentale de la dynamique:
d F S d F V dV
dv
dt
d F S dF e x dF e y dF e z
Sx
Sy
Sz
Une simplification d'écriture de dFS conduit à formuler:
xx xy xz
x
y
z
yx yy yz
dFs
x
y
z
zy
zz
zx
x
y
z
xx
dV yx
zx
xy
yy
xy
xz
yz dV
zz
T dV
T
Il reste alors à reprendre l'équation rendant compte du PFD :
d F s d F V dV
dv
dt
T dV dV g dV
dv
dt
où, par simplification, le volume n'intervient plus. On obtient donc une équation locale :
T g
dv
dt
À ce stade, il convient de développer le tenseur des contraintes pour faire apparaître explicitement
les contraintes normales ainsi que les contraintes de viscosité. On utilise donc :
T p T'
pour obtenir l'équation fondamentale de la dynamique des fluides :
p T' g
dv
dt
Cas particulier:
Dans le cas particulier d'un fluide au repos (accélération nulle) pour lequel la viscosité est
négligeable T' 0 , soumis au champ de pesanteur on retrouve logiquement l'équation
fondamentale de l'hydrostatique:
p T' g
dv
dt
En posant: g g ez
(dp gdz ) 0
p
p g 0 ou
p
0;
x
p
0;
y
grad p g
p
g
z
gz Cste
L’équation fondamentale de la dynamique des fluides va donc
pouvoir servir de base générale pour établir des formulations
plus spécifiques liées à la nature même du fluide (parfait,
visqueux, newtonien...) ou aux différents types d'écoulement
(laminaire, turbulent, stationnaire...).
II.3- Mouvement et déformations d'une particule fluide
:
Au sein de l'écoulement, chaque particule fluide subit des changements de position,
d'orientation et de forme. L'analyse de ces changements peut s'appuyer sur la
comparaison des vitesses de deux points voisins appartenant à la même particule :
considérons un point M ( x, y, z) dont la vitesse est v M (u, v, w)
M' (x dx, y dy, z dz) dont la vitesse est v (u' , v' , w' )
et un point
M'
Posons d r MM '
v
M'
v
M d v
on peut alors écrire
v
( r d r )
v
d v
(r )
Par simple projection sur les axes d'un repère cartésien, un développement limité
au premier ordre permet d'expliciter chacune des trois composantes de la vitesse
en M’ avec notamment l'accroissement de vitesse par rapport à celle en M :
u
u
u
u
u
u
dx
dy
dz
u ' u
x
x
y
z
y
z
u'
u
dx
v
v
v
v
v
v
dy
v' v dx dy dz v' v
x
y
z
x
y
z
w
'
w
dz
w
w
w
w
w
w
w' w
dx
dy
dz
x
y
z d r
x
y
z
v (r d r ) v (r )
G
Donc:
v
(r d r )
v
dv
G . dr
(r )
v
(r )
G : Tenseur des déformatio ns
Toutes les informations concernant les déformations sont alors contenues dans
les éléments de ce tenseur. Il convient donc d'identifier chacun de ces éléments.
A- Termes d'élongation
Supposons que seuls les éléments diagonaux du tenseur G soient non nuls et
raisonnons, pour simplifier, à deux dimensions (écoulement plan perpendiculaire à
l'axe z). Une particule bidimensionnelle, rectangulaire, de surface dS dxdy
u
0
0
x
v
0
0
y
w
0
0
z
G
A' (udt, vdt )
;
C ' (udt, dy vdt
B' (dx udt
v
dydt)
y
;
u
dxdt, vdt )
x
D' (dx udt
u
v
dxdt, dy vdt
dydt)
x
y
La particule a globalement subi une translation, qu’elle reste de forme rectangulaire
mais présente une élongation (ou contraction) :
u
v
dxdt suivant l' axe x et
dydt suivant l' axe y
x
y
B- Termes de déformation angulaire et rotation
Supposons maintenant que seuls les éléments en dehors de la diagonale soient
non nuls dans le tenseur G des taux de déformation, et raisonnons encore une fois
à deux dimensions à partir d'une particule rectangulaire ABCD :
u
u
0
y
z
v
v
0
x
z
w
w
0
x
y
G
A' (udt, vdt )
C ' (udt
;
B' (dx udt, vdt
u
dydt, dy vdt )
y
;
v
dxdt)
x
D' (dx udt
u
v
dydt, dy vdt
dxdt)
y
x
Il apparaît clairement une modification des angles en plus de la translation globale déjà
observée. Cette déformation peut se formaliser au moyen de deux angles d et d.
Si d=d alors
Si d=-d alors
v u
le tenseur est symétrique : c’est une déformation angulaire pure
x y
v
u
x
y
le tenseur est asymétrique: c’est une rotation pure
angles opposés :
d d
Résumé de l'ensemble des
déplacements et déformations
caractérisés par le tenseur
G
qu'une particule fluide subit
simultanément au sein d'un
écoulement.
v
u
x
y
Elongations ou contractions
u
u
u
x
y
z
v
v
v
x
y
z
w
w
w
x
y
z
u
1 u v
1 u w
x
2 y x
2 z x
1 u v
v
1 v w
y
2 z y
2 y x
1 u w
1 v w
w
z y
2
z
x
2
z
G
Déformations
angulaires
symétriques
e
Tenseur
des déformatio ns pures
(élongatio ns ou contration s déformatio ns angulaires symétriques)
1 u v
1 u w
0
2 y x
2 z x
1 u v
1 v w
0
2 z y
2 y x
1 u w
1
v w
0
z y
2
z
x
2
Tenseur des rotations pures
( déformatio ns angulaires asymétriqu es)
Déformations
angulaires
asymétriques
=
Rotations pures
1 u v
1 u w
0
2 y x
2 z x
1 u v
1 v w
0
2 z y
2 y x
1 u w
1 v w
0
z y
2
z
x
2
0
- z
z
0
y
y
x
0
x
Tenseur des rotations pures
( déformatio ns angulaires asymétriqu es)
Composantes du vecteur tourbillon
On a donc ainsi complètement défini le mouvement et la déformation d'une particule
fluide, en termes de simple translation, élongation-contraction, déformation angulaire
et rotation, en développant l'expression de l'accroissement de vitesse d v
v (r d r ) v (r ) G . d r
v (r d r )
v
(r )
translatio n
dv
v
(r )
translatio n
e
.d r
rotations pures
déformatio ns pures
e
.d r
déformatio ns pures
dr
dr
rotations pures
II.4- Équation de continuité
L'équation de continuité est d'intérêt très général puisqu'elle traduit le principe de
conservation de la masse au sein d'un écoulement. L'établissement de cette
équation locale repose sur un bilan de masse de fluide au sein d'un élément de
volume pendant un temps élémentaire dt
On considère alors un élément de volume
parallélépipédique: dV= dxdydz de masse m= dxdydz
La variation de la masse pendant dt:
dm
m
dt
dtdV
t
t
Le bilan de masse pendant le temps dt sur les 3 directions
(différences entre les masses entrantes et les masses sortantes
sur les 6 faces du parallélépipède) donne:
sortante
masse
vy dy dxdzdt v dxdydzdt v dVdt
dm y v y dxdzdt
y
y
masse
entrante
vy dxdzdt
dy.dxdzdt
v
y
Par analogie, selon les deux autres directions (x et z)on trouve :
dm x
u
dVdt
x
dmz
w
dVdt
z
Par conséquent, la variation de masse due aux débits massiques à travers les 6 faces
se formule :
u
v
w
dm x dm y dm z
x
y
z
dVdt
v dVdt div v dVdt
Finalement la variation de masse du volume dV pendant le temps dt est :
dm
dVdt v dVdt div v dVdt
t
div v 0
t
Cas particuliers:
ou
Equation de continuité
• Si l'écoulement est stationnaire ou permanent (aucune variation dans le temps des
différentes grandeurs caractérisant l'écoulement et le fluide), alors on a :
0
t
div v 0
• Si le fluide est incompressible , alors sa masse volumique est une constante (ne
dépendant ni du temps, ni des coordonnées de l'espace) ; dans ce cas :
div v 0
II.5- Fluides newtoniens et équation de Navier-Stokes
.
Par définition, les fluides
« Newtoniens »
composantes du tenseur T '
sont ceux pour lesquels les
des contraintes de viscosité
e
dépendent
linéairement des composantes du tenseur des taux de déformation pure et non
de la rotation et de la translation de l’élément de fluide. C'est notamment le cas
pour la plupart des fluides usuels.
Le coefficient de proportionnalité n'est autre que la viscosité du fluide (viscosité
dynamique) . Ainsi, il est possible de revenir à une notation tensorielle formulant
simplement :
T ' 2 e
Reprenons désormais l'équation fondamentale de la dynamique pour la reconsidérer
dans l'hypothèse d'un fluide newtonien :
p T' g
ou:
dv
dt
avec T' 2 e
p 2 e g
dv
dt
Pour un fluide incompressible, on démontre que :
e
1
v
2
Le laplacien
L'équation fondamentale de la dynamique prend donc la forme simplifiée suivante :
dv
p v g
dt
Equation de Navier- Stokes
L'exploitation de cette formule (constituant l'équation fondamentale à partir de
laquelle la plupart des écoulements pourront être décrits) implique le développement
de l'expression du terme d'accélération. En effet, l'écoulement pouvant être non
stationnaire, le vecteur vitesse peut, en un point fixe varier dans le temps
(accélération instantanée). Par ailleurs, il faut que l'accélération puisse rendre
compte de l'évolution du vecteur vitesse lorsqu'une particule fluide se déplace d'un
point à un autre (accélération convective). Ces deux types d'accélération vont ainsi
pouvoir être pris en compte à travers la notion de dérivée particulaire du vecteur
dv
v
vitesse :
( v ) v
dt
t
Ainsi, l'équation de Navier-Stokes peut s'écrire explicitement de la manière suivante :
p v g
v
(v ) v
t
Ainsi, dans un repère cartésien tel que: g g e z , les 3 projections de cette formule
s’écrivent:
2v x 2v x 2v x
p
2 2 2
x
x
y
z
p
y
p
z
v x v x v x v y v x v z v x
x
t
y
z
2v y 2v y 2v y
v y
v y
v y
v y
2
vx
vy
vz
2
2
x
x
t
y
z
y
z
2v z 2vz 2vz
v z
v z
v z
v z
g
2 2
v x
vy
vz
2
x
t
x
y
z
y
z
La connaissance de conditions aux limites, portant sur la vitesse et la
pression, doit permettre de résoudre ce système d'équations et d'obtenir
le champ de vecteurs vitesse. Néanmoins, on comprend facilement qu'une
résolution analytique peut s'avérer difficile, voire même impossible. C'est
pourquoi le recours à des résolutions numériques est souvent nécessaire
pour appréhender des problématiques concrètes.
Une approche purement analytique peut toutefois permettre la
description d'écoulements spécifiques, pour lesquels un certain nombre
d'hypothèses simplificatrices peuvent être introduites. C'est le cas
notamment lorsqu'un écoulement est stationnaire, laminaire ou bien
lorsque le fluide peut être considéré parfait (viscosité négligeable).
III- Dynamique des fluides parfaits
III.1- Equation de Bernoulli
p v g
v
(v ) v
t
( )
0 d'un fluide parfait 0
t
incompressible Cste , l'équation de Navier-Stokes devient :
Envisageons l'écoulement permanent
p g v ( v)
Par ailleurs, si l'accélération de la pesanteur peut être considérée constante et
telle que : g g e z alors on peut formuler l'équivalence suivante :
x
gz
g - g e z
y
z
- ( gz)
Par conséquent on peut écrire :
(p gz) (v ) v
D’autre part ; d'un point de vue purement mathématique, le terme de droite
(l'accélération convective) peut être développé de la manière suivante :
(p gz) (v ) v
v x
v x
v x
vx
vy
vz
x
y
z
v y
v y
v y
vy
vz
vx
x
y
z
v z
v z
v z
v
v
v
y
z
x
x
y
z
(v ) v
x
1
2
2
2
. . vx v y vz
2 y
z
1
(v v)
2
v y v
v
v
v
x
x
z
v
y
z
z
x
y
x
v
v
y y v x
v z
v
v
z y
x x
z
y
v
v
y
v
v
x z v z
y
v x
y
x
z
z
( v) v
La nouvelle formulation de l'équation de Navier-Stokes s’écrit alors :
rot v
1
- ( p gz )
(v.v) (rot v) v
2
1
( p gz
v 2 ) (rot v) v
2
si l'écoulement est irrotationnel, alors :
( rot
v) v 0
0
d'où :
Résumé:
1 2
( p gz v ) 0
2
Indépendan te des
coordonnée s de l'espace
L'écoulement permanent et irrotationnel d'un fluide parfait est
caractérisé en tout point de l’écoulement par :
1
p gz
v 2 Cste
2
Equation de Bernoulli
Elle traduit le fait qu’elle reste constante le long d'une même ligne de courant.
On comprend facilement que l'accélération du fluide (augmentation de la
vitesse) conduit nécessairement à une diminution de la pression motrice (ou
bien de la pression statique si l'altitude est constante). Inversement, une
augmentation de la pression motrice est liée à la décélération du fluide.
De manière très générale, cette équation de Bernoulli traduit le principe de
conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant dans le cadre de
l'écoulement d'un fluide parfait.
Si on multiplie par un volume unitaire, chacun des termes de l'équation a la
dimension d'une énergie :
pV
Ene rgiepote ntie ll
e due
a uxforc e sde pre s s ion
mgz
Ene rgiepote ntie ll
e due
a uxforc e sde pe s a nte ur
1
mv 2
2
Cste Em
(Joules)
Ene r gie c iné tique
Energie mécanique
L'absence de frottement dû à une viscosité négligée (fluide parfait) conduit
logiquement au fait qu'il n'y a pas de dissipation d'énergie au cours de
l'écoulement.
Si on divise par g, chacun des termes de l'équation a la dimension d'une hauteur :
p
g
Ha ute urma nomé triq
ue
z
Ha ute urde
pos ition
v2
2g
Haute urdyna mique
Hauteur piézométri que
Charge totale
Cste H
(m)
Équation de Bernoulli
p1
v12
p2
v2 2
z1
z5
g
2g
g
2g
v1 et v2 : vitesses d’écoulement du fluide dans les sections S1 et S2 (en m/s)
p1 et p2 : pressions statiques (en Pa)
z1 et z2 : altitudes des sections S1 et S2 (en m)
Démonstration l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait par application du
principe du bilan d’énergie
-dvi : volume de fluide déplacé entre les instants t et t + dt de masse dmi.
-Si :section de la veine fluide,
- dli : hauteur du volume cylindrique de fluide admis ou expulsé (dvi = Si dli),
- Vi : vitesse des particules fluides,
- Gi : centres de gravité des volumes dvi d'altitude zi,
- pi : pression
Expressions des différentes formes d'énergie mécanique
Expression du principe de conservation de l'énergie
D'après l'équation de continuité:
On obtient alors :
Bilan d’énergie:
Représentation graphique de l’équation de BERNOULLI
III.2- Applications de l’équation de Bernoulli en écoulement parfait
- Tube de Pitot:
Dispositif qui permet une mesure de la vitesse
d'écoulement d'un fluide. L'objet présente une forme
profilée, est creux afin d'être rempli du fluide dans
lequel il est immergé, et doit être muni de deux prises
de pression (tubes manométriques).
Déterminons la vitesse d’écoulement ?
v2 N
pN
pM
g
g
2g
pM p N gh
vN
2 gh
- Tube Venturi:
Calculons le débit dans la conduite
composée d’un rétrécissement de section ?
p1
V12
p2
V22
z1
z2
g 2 g
g 2 g
2
2
p2 p1
V2 V1
z 2 z1
g
2g
z H
Sachantque : S1V1 S 2V2
2
2
2
S 2 V2 2
V2
V2
Donc:
z H
2 g S1 2 g
2g
V2
1
S
1 2
S1
2
S
1 2
S1
2
z H
2 g H z par conséquent: Q
S2
S
1 2
S1
2
2 g H z
Remarque : Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui
fait que Z1 = Z2 et donc : ΔZ = 0 et la formule précédente se simplifie :
Q
S2
S
1 2
S1
2
d 2 2
2 g H
4
d
1 2
d1
4
2 g H
Vidange d’un réservoir à niveau constant:
On considère un réservoir cylindrique de diamètre
intérieur D = 2 m rempli d’eau jusqu’à une hauteur H =
3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice de
diamètre d = 30 mm, permettant de faire évacuer l’eau
à l’air libre
Calculer:
1) la vitesse d’écoulement V2 en supposant que le diamètre d est négligeable devant D ?
2) En déduire le débit volumique en négligeant l’effet de contraction de la section de sortie ?
1) Vitesse d’écoulement V2:
D 2
4
V1
d 2
4
2
V2
d
V1
V2
D
p1
V12
p2
V22
z1
z2
g
2g
g
2g
p1 p 2 p atm
d ' où : V2
2) Débit volumique:
V2 2
2g
2 gH
d
1
D
4
d
D
4
z1
V2 2
z2
2g
2 gH 7,67 m / s
Q V2 S 7,67
0,03 2
4
5,42.10 3 m 3 / s
Temps de vidange dans un réservoir à niveau variable:
H
On considère un réservoir circulaire de diamètre D1= 6 m
muni à son fond d’un orifice de vidange circulaire de
diamètre D2= 0,6 m , ayant un coefficient de contraction
de l’écoulement m=0,6
Initialement, ce réservoir est rempli jusqu'a une hauteur
initiale H1= 6 m.
Quel est le temps nécessaire pour vidanger le réservoir ?
dV
dh
S1
dt
dt écoulem entpermanenetQe Qs
m S2 2 gh
Qentrant
Qsor tant
dt
t2
S1
m S2
t dt
t1
dh
2 gh
S1
m S2
0
dh
2S1
2 g H1 h m S2 2 g
h
H1
0
2S1 H1
m S2 2 g
2
2S1H1
Volume initial
D1 * H1
ou t
2
2
184 s 3 m n
2
débit initial
m S2 2 gH1
0,6 D2 2 gH1
Siphon de vidange :
On considère un siphon de diamètre= 2
cm. En négligeant les pertes de charge
dans le siphon, calculer les pressions
relatives aux points 2 et 3 et la vitesse au
point 2 ?
p2
V22
p4
V42
z2
z4
g 2 g
g 2 g
p2
p4
V42 V22
z4 z2
g
g
2g
0 0 0,5 m -0,5m
p3
V32
p2
V22
z2
z3
g 2 g
g 2 g
p3
V22 V32
p2
z 2 z3 0 0,5 m - 0,5 m -1m
g
g
2g
p1
V12
p2
V22
z1
z2
g 2 g
g 2 g
V2
p1 p2 V12
z1 z 2 0,5
2g
g
2g
2
V2
2 g 0,5 3,13 m / s
IV- Dynamique des fluides réels
IV.1- Généralités:
Dans toutes les situations où les forces de frottement jouent un rôle significatif, la
viscosité du fluide ne pourra plus être négligée. On passe alors de la notion de
« fluide parfait » à celle de « fluide réel ».
On devra alors introduire des hypothèses de travail qui permettront de résoudre
l’ équation de Navier-Stokes dans le cadre de régimes d'écoulement particuliers.
IV.2- Régimes d’écoulement:
On peut formaliser la différence entre ces deux régimes d'écoulement en terme de
champ de vecteurs vitesse. Ainsi, en un point M de l'écoulement, le vecteur vitesse
présente trois composantes qui :
•Dans un écoulement laminaire les composantes sont constantes et caractérisées par :
u M v ; wM 0 ; vM 0
v M uM e x v e x
•Dans un écoulement turbulent les composantes dépendent du temps :
vM (t) ; wM (t) uM (t)
En régime laminaire , on pourra généraliser l’équation de Bernoulli en introduisant la
notion de pertes de charge dues à la viscosité.
En régime turbulent , on devra utiliser des relations empiriques généralement
déterminés expérimentalement
Comment caractériser le régime d’un écoulement ?
C’est le résultat des travaux d’O. Reynolds
Il s’agissait d’une étude systématique du régime d’écoulement en fonction des
différents paramètres: Q, , géométrie de la conduite.etc
L'expérience montre qu'avec l'augmentation du débit, le filet coloré passe d'un
état régulier et rectiligne (le régime laminaire) à une forme chaotique et instable
(le régime turbulent), en passant par un état intermédiaire présentant des
oscillations (le régime transitoire)
Les travaux de Reynolds ont permis de montrer que la transition du régime
laminaire au régime turbulent n'est pas seulement conditionnée par le débit Q
mais dépend aussi de:
la vitesse moyenne de l’écoulement V;
le diamètre de la conduite D;
des propriétés intrinsèques du fluide (masse volumique et viscosité )
Nombre de Reynolds (Re)
Turbulence
intermittente
=2000
Re
VD
3000
IV.3- Pertes de charge:
Pour rendre compte de la dissipation d'énergie due aux frottements visqueux, ces
pertes de charges prendront place dans la formulation d'une équation de Bernoulli
généralisée.
C'est alors qu'il devient fondamental de faire la distinction entre écoulement
laminaire et turbulent puisque les hypothèses liées à l'aspect laminaire vont
permettre de formuler de manière analytique les pertes de charges, alors que le
caractère turbulent d'un écoulement n'autorisera la formulation de ces mêmes
pertes de charge qu'au travers de critères essentiellement empiriques
IV.3.1- Ecoulement laminaire et pertes de charge linéaires:
Le long d'une ligne de courant, l'écoulement permanent d'un fluide de viscosité
non négligeable obéit à l'équation suivante:
1
- ( p gz ) v
(v.v) (rot v) v
2
1
( p gz
v 2 ) v ( rot
v) v
2
0
1
(
p
g
z
v 2 ) v
D’où:
2
pt : pression t otale
v u( x, y, z )e x v( x, y, z )e y w( x, y, z )e z u ( x, y, z )e x
u v
v v 0 v v e x
w 0
La projection dans les 3 directions donne:
pt
v
x
pt
0
y
p
t
0
z
p ( x, y , z ) p ( x )
t
t
dp
t
v
dx
2
2
2
2
d pt
v v v
v 2v
u 2 2 2
2
2
x
y
z
y
z
d
x
fonction de y
fonction de x
0
et
Cste (x, y, z)
z
Conclusion: La charge varie linéairement avec la distance parcourue par le fluide
Puisque les frottements visqueux sont responsables d'une dissipation d'énergie, il
dp
s'ensuit logiquement que la charge décroît avec la progression de l'écoulement t Cste 0
dx
1
v 2
2
posons Pt p gz
Pt1 Pt 2 Pt
dPt
dx
Charge totale
x
il est commode de généraliser l'équation de Bernoulli en y faisant apparaître les
pertes de charges linéaires de la manière suivante :
pt1 pt 2
pt
p1 gz1
pe r te sliné air e s
1 2
1
v1 p 2 gz 2 v2 2 pt
2
2
(Pa)
ou
H1 H 2
h
pe r te sliné air e s
p1
v12 p 2
v2 2
z1
z2
h
g
2 g g
2g
Il reste alors à caractériser :
dPt
dx
(m)
- Écoulement de Poiseuille
L'objectif est ici de caractériser les pertes de charge linéaires en considérant un
écoulement spécifique. Considérons alors l'écoulement laminaire d'un fluide de
viscosité et de masse volumique , dans une conduite cylindrique de rayon R posée
horizontalement défini dan un repère cylindrique dont l'axe de révolution est celui de
la conduite et correspond à la direction de l'écoulement laminaire.
Profil des vitesses:
V v ex
vr v 0
dp t
v
dx
1 v
1 2v
2 v 1 v
v
r
2
r
2
2
r r r r
r r r
x
0
0
la vitesse n'évolue pas le long de l'axe de la conduite; le vecteur vitesse est purement
axial et ne dépend que de r
dp t
1 r
r
Cste A
dx
r r r
Il et donc possible d’en déduire le profil de vitesse par simple intégration:
dp t
1 r
r
Cste A
dx
r r r
1 v
A
r
r r
r
d
dr
dv
Ar 2
r
B
dr
2
A
dv
r
r
dr
dv
Ar
B
dr
2
r
Ar 2
v (r )
B ln r C
4
B, C constantes à détefrminer à l'aide des conditions limites
Au contact de la paroi r = R, le fluide est immobile:
AR 2
v ( R) 0
B ln R C 0
4
Sur l’axe de la conduite r = 0, la vitesse est de valeur finie: B 0
AR 2
D’où: B 0 et C
4
alors:
v( r ) -
A 2
R r2
4
profil de vitesse parabolique
Pour avoir v(r) > 0 quelque soit r < R,
il faut que A < 0
Calcul du débit volumique:
dqV v (r) dS
R
si dS 2rdr Q V
R
v( r ) 2rdr 2
A
4
0
R
2
r 2 rdr
0
A R4
A 4
-2
R
4 4
8
dp
Sachant que: A t
dx
D
et R
2
alors : Q V
dpt
128 dx
4
D
vm
QV
S
1
pt pt1 pt 2
dpt
dp
dx t
dx
dx
2
1
dp
dp
dx t ( x1 x2 ) t
dx
dx
L
Cste
2
La perte de charge est proportionnelle à la distance parcourue: « perte de charge
linéaire »
Remplaçons
Alors:
dp t
dx
QV
dans:
QV
dpt 4
D
128 dx
p t 4
D
128 L
pt 4
QV
D vm S
128 L
32 Lv m
S
pt 128 Lv m
4
D
D2
Formule de Poiseuille
L
- Coefficient de perte de charge en écoulement laminaire
Il est d'usage d'exprimer une perte de charge en fonction de la pression cinétique
de l'écoulement dans la conduite. La pression cinétique est générée par le
mouvement (elle correspond à l'énergie cinétique par unité de volume) et
1
s'exprime :
m 2
2
On peut formuler la perte de charge sur une longueur comme:
p t
32Lv m
D
2
32Lv
2
m
.
2
D2
v
m
64 L
D2vm
Résumé: Pour un régime laminaire :
p t
vm 2 L
2D
ou
1
vm 2
2
64 L 64 L
vm D D Re D
64
Re
vm2 L
h
2 gD
Equation de Darcy-Weisbach
IV.3.2- Ecoulement turbulent et pertes de charge :
Lorsqu'un écoulement en conduite est turbulent, le profil de vitesse n'est plus parabolique comme
c'est le cas en régime laminaire.
Les pertes de charge linéaires sont essentiellement dues aux frottements visqueux entre les
particules fluides situées près des parois de la conduite. Il en résulte que les propriétés de la paroi
jouent un rôle important et que notamment sa rugosité devient un paramètre non négligeable.
64
Re 2000
Re
Re 2000 f (Re,
D
)
: Rugosité absolue de la conduite (mm)
D
: Rugosité relative
Dans ce cadre, la détermination des pertes de charge linéaires ne peut pas s'obtenir à
partir d'une formulation analytique ; on a donc recours à des abaques construits sur la
base de mesures expérimentales ou des lois empiriques: concernant l'écoulement en
conduite cylindrique, on utilise classiquement le « diagramme de Moody »
k
Diagramme de MOODY
k
D
Rugosité relative
k
D
Zone de turbulence rugueuse
Régime laminaire
Régime turbulent
2
Re
- Expression générale de la perte de charge linéaire:
Darcy – Weisbach ( 1857 ) :
hl
2
L V
D 2g
hl
1 V2
j
L
D 2g
- L = Diamètre de la section d’écoulement ( m )
- L = Longueur de la conduite ( m )
- V = Vitesse moyenne d’écoulement ( m/s )
- = Coefficient de frottement ( sans unité )
j: Pertes de charge unitaires (m/m)
Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de et dépendent du régime d’écoulement :
Perte de charge en régime laminaire :
64
Re
Formule de Poiseuille
Perte de charge en régime turbulent:
Parmi les formules de calcul du coefficient λ on trouve:
Formule de Blasius
2000 Re 10 5 sans rugosité
Formule de Colebrook – White :
0,316
Re1 /4
2,51
2 log
3,71D
Re
1
Diagramme de Moody :
Les travaux de Nikuradse sur les pertes de charge dans les conduites ont permis
d’élaborer un graphique permettant de déterminer le coefficient λ en fonction de Re
pour les différents types d’écoulement et des rugosités relatives k/D :
- Autres expressions de la perte de charge linéaire:
- Formule de Scoby:
j 0,716* ks * Q
3
j 2,5087 * 10 k s
1,9
*D
V 1,9
D1,1
k s : Coefficient de Scoby
Q : Débit d'écoulement en l/h
4,9
D : Diamètre intérieur de la conduite en mm
j 40,75* ks * Q 1,9 * D 4,9
Q: Débit d'écoulement en m3/s
D: Diamètre intérieur de la conduite en m
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m
Nature du tuyau
Alliage Aluminium
Plastique
Acier revêtu
Ks
0,4
0,37
0,42
Coefficient ks de Scoby
- Formule de Hazen-Williams:
j 6,818
1,852
Q
j 1,135109
C
CHW 1,852 D1,167
1
D
1,852
Q
j 10,675
C
V 1,852
4 ,872
1
D
4 ,872
CHW : Coefficient de Hazen Williams
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m
Nature du tuyau
Q: Débit d'écoulement en m3/h ;
PVC
C: Coefficient de rugosité dépendant de la nature de la conduite
PE
D: Diamètre intérieur de la conduite en mm ;
Q : Débit d'écoulement en m3/s
D : Diamètre intérieur de la conduite en m
C
150
145
Acier revêtu
130-150
Fonte revêtue
135-150
Aluminium
120
Fonte encrassée
80-120
Coefficient C de Hazen Williams
- Formule Blasius:
j 0,478 D 4,75 Q 1,75
j 0,452 D 4,75 Q 1,75
Cas de canalisations en polyéthylène (PE)
Cas de canalisations en polychlorure de vinyle (PVC)
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m; D : diamètre intérieure (mm); Q: débit de la rampe (l/h)
ABAQUE POUR TUYAUX EN POLYETHYLENE BASSE DENSITE
Diamètre nominal (mm)
Débit (mètre cube/ h)
ABAQUE POUR TUYAUX EN PVC
Débit (mètre cube/h)
- Formule de Chézy :
La formule de Chézy est inspirée de celle de Darcy-weisbach :
En introduisant la notion de ‘’ Rayon hydraulique ‘’ R égal au rapport entre la
surface A et le périmètre d’écoulement P
S
D 2
D
Rh
D 4 Rh
P
4D
4
L V2
LV 2
LV 2
hl
D 2g
4 Rh 2 g
8gRh
posons :
hl
j
L
j : pente hydrauliqu e
V2
V2
j
j
8g
8 gR h
Rh
posons
d 'où :
j
V
2
C 2 Rh
8g
C2
C : Coefficient de Chézy
- Formule de Manning- Strickler (expérimentale):
En cherchant expérimentalementla valeurde C Manning a trouvé que :
C
1 1/ 6
Rh
n
posons k
n : coefficient de rugosité
1
n
k : Coefficient de Manning Strickler
V2
j 2 4/3
K Rh
Nature des parois
n
1/n
0.0133
75,19
Canal en terre, enherbé
0.02
50
Rivière de plaine, large, végétation;
peu dense
0.033
30,3
0.1-0.066
10-15,15
0.05 -0.033
20-30,30
< 0.1
< 10
Béton lisse
Rivière à berges étroites très
végétalisées
Lit majeur en prairie
Lit majeur en forêt
•Formule générale de pertes de charge linéaires unitaires:
Qm
m
n
j k
k
Q
D
Dn
•Pertes de charge linéaires totales:
hl =J = j * L
IV.3.3- Pertes de charge singulières:
Le raisonnement que nous utiliserons fait appel à un théorème d'intérêt très
général pour traiter un grand nombre de problèmes en mécanique des fluides : il
s'agit du théorème d'Euler. Nous proposons donc, en préambule et sous la forme
d'un complément, d'exposer ce théorème.
0
t
Dans le cas particulier d'un écoulement permanent:
d
dt
vdV
Vs
( )v ndS F s F V
Sc
il y a conservation du débit massique entre l'entrée et la sortie, de sorte que:
Q
m
v S
1 1
Fs FV
1
Sc
v S
2
2
( ) v n dS
2
S1
( 1 ) v 1 n 1 dS
- v1
S2
( 2 ) v 2 n 2 dS
v2
( l ) v l n l dS
0
Sl
v1 1 S1
v2 2 S 2
0
F s F V v v S v v S 2
1 1 1 1
2 2 2
F s F V Q (v
m
2
v )
1
pertes de charge d’un élargissement brusque
La perte de charge engendrée par
cette
singularité
peut
alors
s'évaluer de façon analytique en
faisant appel au théorème d'Euler
Théorème d’EULER
FV 0
F s F V Q (v 2 v 1 )
m
Fs Q (v v ) par projection sur l' axe x
m
2
1
Fs p1 S 1
poussée
en amont
p1 ( S 2 S 1 ) p1 p2 S 2
p2 S 2
contre poussée
en aval
forces de pression
sur S -S
2 1
( p1 p 2 )S 2 Qm (v 2 v1 ) v 2 S 2 (v 2 v1 )
d ' où : p1 p 2 v 2 (v 2 v1 )
p1 p 2 v 2 (v 2 v1 )
1
1
v1 2 p 2 v 2 2
2
2
1
1
2
p1 v1 p 2 v 2 2
2
2
p1
1
1
v1 2 v 2 2 v1 v 2
2
2
1
(v1 v 2 ) 2
2
2
S
S1
1
1
1
1
2
2 1
2
2
p1 v1 p 2 v 2 (v1 v 2 ) v1 v1
v1 1 1
S
2
2
2
S 2
2
2
2
p
2
S
1
1
p
v 1 2 1
2
S
2
1
p k v1 2
2
(Pa)
2
S
1
po so ns k 1
S
2
ou
h k
v1 2
2g
(m)
Généralisation de l’équation de Bernoulli
p1 V12
z1
g 2 g
H
machine
hydrauliqu e
(Pompe/Tur bine)
p2 V22
z2
g 2 g
Vj2
LiVi 2
i
kj
2 gDi
2g
i
j
somme des pertes
de ch arg e linéaires
somme des pertes
de charge singulière s
V- Diagramme des énergies
Principe
La ligne d’énergie est utilisée pour connaître la répartition des énergies
potentielle, de pression , cinétique ainsi que les gains et pertes d’énergie le long
d’un circuit hydraulique.
L’énergie totale est définie par l’équation de Bernoulli:
p
2
H
z
H
g
2g
H : perte d' énergie () ou gain d' énergie (-) apporté par une machine
On trace le long du circuit , à chaque point de trajet l’altitude z, la pression
p/g, l’énergie de vitesse v2/2g et le niveau de pertes accumulé.
Il faut calculer les pertes de charge et les débits pour pouvoir évaluer les
pressions ainsi que les énergies cinétiques.
Exemples
H
h
A
p
HB
z
A
g
pB
g
A
Q
H
h
H
A
B
A
g
p
B2
B
g
z
2 gD
g(H
z
2g
2L
A
8
p
A
2g
zB
H A H B h
2
A
B
H
L
B
8Q 2 L
2 gD 5
)
D5
2
A
2g
2
B
2g
H A H B h
L 2
8 L1
k
2
5
5
g D1
D2
D2 4
Q
g(H
A
H
B
)
L 2
L 1
k
8
5
5
D
D
D 4
2
2
1
Q 2
H
A
h
H
B
p
z
A
g
p
z
B
g
A
B
2
A
2g
2
B
2g
H A H B h
k1
k 2 2
8 L1 L 2 L3
2 5 5 5 4 4 Q
g D1
D2
D1
D2
D1
Q
H
h
H
g(H
A
H
B
)
L
k
k
L1 L 3
2
1
2
8
D 5
D 5
D 4
D 4
1
2
2
1
A
B
p
A
g
p
B
g
z
z
A
B
2
A
2g
2
B
2g
H A H B h
Q
8 L1
k 2
Q
2 g D 5
D 4
g(H
A
H
B
L
k
8
5
D4
D
)
H
h
H
HA
A
B
p
z
A
g
p
B
z
g
0
A
B
2
A
2g
2
B
2g
vB 2
zB
2g
HA
g(H
Q D 2
H
h
h
8
L 2
zB 2
1
Q
D
gD 4
H
A
B
p
B
L
8
1 D
A
g
p
z
A
B
g
z
z
A
B
)
2
A
2g
2
B
2g
H A H B h
HA HB
L 2
k 1 k 2
Q
D
gD
Q D 2
8
2
4
g(H
A
H
B
)
L
8
D k1 k 2
Risques éventuels du tracé d’un réseau:
Considérons une conduite reliant deux réservoirs. La ligne piézométrique correspondant
aux pression relatives est représentée approximativement par la droite AA’ (On a négligé
la vitesse cinétique, donc ligne piézométrique=ligne de charge).
La ligne piézométrique
BB’ correspond aux pressions absolues (Pa/v = 10.33m).
Si la conduite toute entière est
située au dessous de AA’, la
pression dépasse la pression
atmosphérique. Cette hypothèse
correspond
normale.
à
une
situation
Si la conduite passe au-dessus de la
ligne piézométrique AA’, la partie du
tronçon au dessus de AA’ est en
dépression. En général, on doit éviter
les zones en dépression
Si la conduite s’élève au-dessus de la
ligne horizontale qui passe par A, il
n’y aura écoulement que si toute la
conduite a été remplie d’eau au
préalable (effets de siphonnage).
Si la conduite dépasse la cote B, il est
impossible d’amorcer l’écoulement.
VI- Caractéristiques du réseau de conduites
Dans un réseau d'adduction ou de distribution, nous pouvons rencontrer des
conduites placées en série et/ou des conduites placées en parallèle dans des
configurations simples , ramifiées ou maillées
. Conduites en série:
Les conduites en série sont traversées par le même débit. La perte de charge
totale étant la somme des pertes de charge linéaires et singulières
.Conduites en parallèle :
Les conduites en parallèles ont la même perte de charge. Le débit total traversant
toutes les conduites est la somme des débits
. Réseau ramifié:
La caractéristique d'un réseau ramifié est que l'eau circule, dans toute la canalisation,
dans un seul sens (des conduites principales vers les conduites secondaires, vers les
conduites tertiaires,..). De ce fait, chaque point du réseau n'est alimenté en eau que
d'un seul côté.
. Réseau maillé :
Le réseau maillé dérive du réseau ramifié par connexion des extrémités des conduites
(généralement jusqu'au niveau des conduites tertiaires), permettant une alimentation
de retour. Ainsi, chaque point du réseau peut être alimenté en eau de deux ou plusieurs
côtés.
Réseau ramifié
Réseau maillé
Conduites simples:
Une conduite simple est une conduite à diamètre constant sans bifurcations. Le
liquide se déplace dans la conduite parce que son énergie potentielle au début de la
conduite est supérieure à celle qu’il possède au bout. Cette différence de niveaux de
l’énergie potentielle peut être créée soit par grâce à la différence de niveaux du
liquide (différence des cotes) ou au travail fourni par une pompe.
p1
V12
p2
V22
z1
z2
g
2g
g
2g
h
pertes de charge
linéaires et singulière s
V22 V12
V22 V12
p1
p2
h z2 z1
h
z2 z1
2g 2g
2g 2g
g g
8i Li
8k j 2
LiVi
Q RQ 2
h i
kj
2
5
4
2
2
gD
2
g
gD
gD
i
j
i
j
i
2
somme des pertes
de ch arg e linéaires
Vj
2
somme des pertes
de charge singulières
R : résistance de la conduite
Ainsi,
2
V22
p1
p2
V
z 2 z1
1
h
g
g
g
2 g RQ 2
2
z
Hauteur exigée
He x
Régime laminaire:
CQ 2
v 2l
64 v 2l
64l v 128l
h l
Q
2
4
2 gd
Re 2 gd
2 gd
gd
En négligeantcQ2 et les pertes de charge singulières, on aura :
Hex z R Q
Caractéristique d' une droite
z
Hex
A
Q
Régime laminaire
Caractéristique d’une conduite
lV 2
8lQ2
hl
2 5
2 gd
gd
Régime turbulent:
En négligeantcQ2 et les pertes de charge singulières, on aura :
H ex z
8lQ2
gd
2
5
z R Q 2
Caractéristique d' une parabole
z
Hex
A
Q
Régime turbulent
Caractéristique d’une conduite
La plupart des écoulements se situent, en pratique, en régime turbulent rugueux,
où l'expression du coefficient de perte de charge devient indépendante du
nombre de Reynolds mais dépendante de la nature du matériau (rugosité)
Conduites mixtes et conduites multiples:
Une conduite mixte est une conduite constituée de diamètres et longueurs
différents. Le débit qui passe à travers chaque tronçon sera le même et la perte de
charge totale sera la somme des pertes dans chaque tronçon.
Q1 Q1 Q2 Qi Qn Q
h h h h ..h
1
2
i
n
VM2
pN
VN2
pM
z M z N
h
g
g
2
g
2
g
1
R2 Q2
Ri Q2
RnQ2
Hex
H ex z M z N Ri Q
n
M-N
2
3
1
H1
H2
Ri
H1
H2
Ri : résistance de la conduite i
1
2
i
M
h
h1 h2 hi ..hn ( R1 R2 Ri ...Rn ) Q 2
R1 Q2
2
2
M
3
Q
N
3 tronçons
N
Une conduite multiple est une conduite en parallèle constituée de plusieurs tuyaux
différents.
Q Q1 Q2 Qi ..Qn
h h h h ..h
1
2
i
n
1
1
1
1
Q Q
.. Qn
..
h
1 Q
2 Q
i
R1
R2
Ri
Rn
h
h
h
h
R1
R2
Ri
Rn
1
Ri
1
: Conductance de la conduite i ;
: Conductance de la conduite équivalent e
Ri
Ri
1
Exemple : 2 conduites identiques en parallèle R1=R2; équation de Darcy
1
R
1
R1
1
R2
2
R1
R
R1
4
R1
8l1
2 gD15
8l
R 2 5
gD
R1
D D1.41 / 5 1,3D1
donc R
4
Q1
3 conduites en parallèle
Q
M
Q Q Q Q
2
3
1
p M pn
h
h
h
1
2
3
g
2
2
h
R
Q
;
h
R
Q
;
1
1
2
2
1
2
Q2
Q3
h3 R3Q 2 3
N
Q
Applications:
Conduite en charge sans prélèvement (sans service en route )
Soit à calculer une conduite débitant 55 l/s issue d’un réservoir et qui se raccorde sur le
réseau distribution. La conduite n’effectue aucun service en route. La pression imposée
au sol est de 30 m d’eau minimum . La longueur de la conduite est 2500 m. Quel
diamètre doit-on donner à cette conduite ?
On donne:
D=250mm
D=300 mm
R
j=0,0048 m/m
j= 0,0020 m/m
110 m
v=1,12 m/s
v=0,78 m/s
75m
D:250 mm pression au sol=110-(0,0048*2500)-75=23 m
D:300 mm pression au sol=110-(0,0020*2500)-75=30 m
A
q
0
R
Q
J
A
H
Q1 Q2
01
R1
1
02
R2
Q1+Q2 Q
1+2
2
A
H
En A la pression à l’intérieur de chacune des conduites doit être identique. En ce
point passeront dans les conduites 1 et 2, des débits Q1 et Q2
Cas général:
Conduites en parallèle: somme des abscisses
Conduites en série: somme des ordonnées
Q1
O1
R1
Q1+Q2
Q
3
O2
1
Q2
1+2
R2
2
2
1
1+2+3
3
A
H
Ajouter à la caractéristique (1+2), la caractéristique de la conduite en série 3 par
addition des ordonnées. On obtient (1+2+3)
- Résolution analytique en cas de réservoirs multiples:
CPEi, CPEj , CPEk
Placer un piézomètre imaginaire au niveau du nœud A;
CPEA (supposée)
Suivre les étapes de solution de l’organigramme
ΔH i CPEi CPEA
ΔH j CPE j CPEA
ΔH k CPEk CPEA
Ji
ΔHi
Li
Jj
ΔH j
Lj
CPE3
Jk
ΔH k
Lk
CPEA
CPE2
1,852
1
K i
0 , 63
0
,
849
C
R
A
WH
H
i
CPE1
R2
1,852
1
K j
0 , 63
0,849 CWH RH A j
R1
0,54
Jj
Qj
Kj
0,54
J
Qk k
Kk
0,54
A
Non
1,852
1
K k
0 , 63
0
,
849
C
R
A
WH
H
k
J
Qi i
Ki
R3
nk
Qn 0
n i
Oui
CPEA ; Qi ; Q j ; Qk
- Formule de Hazen-Williams:
j( m / m )
Q( m3 / s )
10,675
C
HW
1,852
* D 4,872
0 , 54 C HW
Q j
10
,
67
j 0,54 0,094* C HW
j 0,54 K 0,54
1,852
CPe1
1,852
1
D( m )
4 ,872
CPeO
R1
0 , 54
*D
CPe2
R2
CPe3
4 ,872 0 , 54
R3
O
si -10-3 Q1 (Q2 Q3 ) 103 on retient:
sinon on supposede nouveau:
Exemple:
Déterminons les débits dans les conduites de l’installation hydraulique ci-contre ?
146,7
133,8
R1
R2
104
R3
O
Solution:
Etablir un tableau de calcul des débits.
Vérifier l’équation de la continuité en adoptant une précision appropriée (±10-3)
CPe
R1 146,7
R2 133,8
R3 104
CPeO
supposée
136,15
h
(m)
L
j
(m) (m/m)
j0,54
CHW D
K
K0,54
Qi
(m3/s)
(m)
10,55 400 0,026 0,14 120 0,4 7,69 3,008
2,35 300 0,008 0,073 120 0,3 1,89 1,412
32,15 500 0,064 0,227 120 0,3 1,89 1,412
Q1-(Q2+Q3)
0,422
0,103
0,321
-0,001
146,7
Vérification:
CPeO
-10-3≤ Q1- (Q2 + Q3)≤10-3
Q1- (Q2 + Q3) = 0,422-(0,103+0,321)
133,8
R1
104
R2
= -0,001
R3
O
Exercice 2
On considère un système de trois réservoirs interconnectés dont les niveaux
supposés constants.
On néglige les pertes de charge singulière à l’exception de la perte de charge
induite par la vanne.
1) La vanne es fermée. Calculer le débit correspondant ?
2) La vanne V est partiellement ouverte. Pour une certaine ouverture de la
vanne le débit Q2 (entre T et B) est nul. En déduire:
Les débits Q1 et Q3
Le coefficient K correspondant
R1
A
H1=18 m
T
B
vanne
R2
H2=6 m
R3
C
Conduite en charge avec prélèvement uniformément réparti et débit de transit (service en route )
Le débit en route (Qr) est un débit qui entre à l’amont du tronçon et ne sort pas à
l’aval: il est consommé par les abonnés tout le long du tronçon. Ce débit en route,
supposé uniformément réparti sur toute la longueur du tronçon avec lequel on doit
calculer la perte de charge et par suite fixer le diamètre du tronçon de conduite peut
être calculé par l’une des deux méthodes suivantes:
L
x
Rés
Jx
Cherchons la perte de charge dans un
tronçon de conduite de longueur l, en
J
A
admettant qu’il doit d’une part distribuer
un débit uniforme Qr sur son parcours et
d’autres part, assurer un débit Qt à son
extrémité.
I
Qr
B
Qt
Conduite débitant Qr/L uniformément
Q .x
Sur AI le débit vaut r
L
en I, il reste : Q(x) Qr
x
Rés
L
Jx
Qr .x
x
Qt Qr 1 Qt
L
L
A
I
Qr
Perte de charge dJ correspondant à la longueur dx :
2
B
R
R
x
2
dJ Q( x) dx Qr 1 Qt dx
L
L
L
si x 0 J 0 ; si x L J (L) J
J
Qt
2
2
Q
J R Qt Qt Qr r RQc 2
3
Qc: débit fictif supposé constant sur tout le tronçon et qui donnerait une perte de
charge équivalente à celle donnée par la formule précédente dans une conduite de
même résistance
Qr 2
Qc Qt Qt Qr
3
2
2
2
Qr
Qr 2
Q
Qt
Qt Qt Qr
Qt r
2
3
3
2
Qt 0,50Qr
Q
c
Qt 0,55Qr
Qt 0,57Qr
Cas particulier :
si Q t 0
2
Qr 2
Qr 2
J R Qt Qt Qr
R
3
3
Conduite en charge avec prélèvement uniformément réparti sans débit de transit (service en route )
h J j L F
QN
F: Coefficient de réduction de la perte de charge
L
i+1 Qi
i
N
3
2
1
e
e
q
q
q
i: nombre de tronçons;
e: écartement entre 2 sorties
L: longueur de la rampe q: débit d’un asperseur
Qi i * q
i -1
m
Q
ji k i n
D
L N *e
D: diamètre de la rampe
m
Qi
J i ji e k
ek
Dn
qm
J Ji k e n
D
1
N
q
N
i
m
1
Qm
J k
Dn
N ke
N Nm
N m
i
L 1 m 1
N
Nq m
D
n
N
q i m
i
Dn
e
m
1
jL F
Il existe des tables donnant F en fonction de N, et de m , donc selon la formule de perte de charge utilisée utilisée
Coefficients de réduction F à utiliser
suivant le nombre de sorties N et la
formule de pertes de charge utilisée
N
F
m
i
1
N 1 m
Nombre
de sorties
HazenWilliams
Scoby
DarcyWeisbach
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
1
0,639
0,534
0,486
0,457
0,435
0,425
0,415
0,409
0,402
0,397
0,394
0,391
0,387
0,384
0,382
0,380
0,379
0,377
0,376
0,374
0,372
0,370
0,369
0,368
0,365
0,364
1
0,634
0,528
0,480
0,451
0,453
0,419
0,410
0,402
0,396
0,392
0,388
0,384
0,381
0,379
0,377
0,375
0,373
0,372
0,370
0,368
0,366
0,364
0,363
0,362
0,359
0,357
1
0,625
0,518
0,469
0,440
0,421
0,408
0,398
0,391
0,385
0,380
0,376
0,373
0,370
0,367
0,365
0,363
0,361
0,360
0,359
0,357
0,355
0,353
0,351
0,350
0,347
0,345
Conduites ramifiées :
Une conduite ramifiée est un ensemble de plusieurs tuyaux de dimensions
différentes possédant un point commun où ces tuyaux se séparent les uns des
autres.
p1
Q1
Q2
1
M
Q
p2
2
Z1
Z2
O’
O
M
3
Z3
Q3
Q1 Q2 Qi Qn Q
p3
2
2
p1
p1
v 1 v M
pM
z
h
z
C1Q12 R1 Q12 H p1 R1 Q12
1
1
1
g
g 2 g
2g
g
H p1
pM
p2
p
v22 v2M
z2
h2 z 2 2 C 2Q2 2 R 2 Q2 2 H p2 R 2 Q2 2
g
2g
2g
g
g
H p2
pM
p3
p
v 23 v 2 M
z3
h3 z3 3 C3Q3 2 k 3Q3 2 H p3 R 3 Q3 2
g 2 g
2g
g
g
H p3
On trace les caractéristiques de chacun des
tuyaux ; ensuite comme les conduites en
parallèle on additionne les abscisses (Q)
pour une même valeur des ordonnés
(Hex=pM/g).
La caractéristique résultante de la conduite
ramifiée permet de déterminer la valeur
des débits d’après la pression pM et vice
versa
Conduites maillées :
Méthode de calcul de Hardy - Cross
2 principes: principes d’équilibre des nœuds et des pertes de charges en chaque maille
90 l/s
Méthode
1 ère loi: loi des nœuds
Qen trée Qso rtie
2 ème loi: loi des mailles
Nœud A
10 l/s
se fixer dans chaque maille une répartition supposée des
débits ainsi qu’un sens supposé d’écoulement tout en respectant
30 l/s
90-(50+30+10)=0
102 m
J1
100,7 m
A
Q1
B
on définit un sens de parcours positif arbitraire
(sens des aiguilles d’une montre)
50 l/s
J4
D
100
Q4
+
Q2
J2
Q3
C
J3
100,5 m
J=J1+J2+J3-J4=0
la 1 ère loi. Un diamètre tout au moins provisoire, des
canalisations (avec des vitesses entres 0,6 et 1,2 m/s) peut être
choisi et l'on calcul les pertes de charges correspondantes.
Le résultat de calcul se traduit alors par la connaissance des pressions à chaque nœud et des
débits dans chaque branche et ceci pour le choix des diamètres définis initialement.
Si ces valeurs de pression et de débit sont incompatibles avec les valeurs à assurer, on corrige
les diamètres des tronçons incriminés et on recommence le calcul.
Principe de Calcul d’une maille
Q1
J1
Qe
+
Q2
Qs
J2
on se fixe arbitrairement la répartition de Qe entre les 2 branches
Qen trée Qe Qso rtie Q1 Q2 Qs
choisissant les deux diamètres permettant d’écouler les débits Q1 et Q2
on calcule des pertes de charges correspondantes (attention aux signes des
pertes charge compte tenu du sens de parcours):
h J J1 J 2 R1Q12 R2Q2 2 0
La répartition de Qe en Q1 et Q2 n’étant pas correcte, on corrige en ajoutant
algébriquement une correction Q1
En conséquence:
h J J1 J 2 R1 Q1 Q1 2 R2 Q2 Q1 2 0
en négligeantles termesen Q12 , 2Q1 ( R1Q1 R2 Q2 ) R1Q12 R2Q2 2
R1Q12 R2 Q2 2
Q1
2( R1Q1 R2 Q2 )
Sachant que : R 1
Q1
J1 J 2
J1 J 2
2
Q1 Q2
J1
Q1
2
et R 2
J 1 J 2
J2
Q2
2
, alors
J1 J 2
2
Q1 Q2
si J1 J 2 0, Q1 est insuffisan t et il faut l'augmenter Q1 0
si J1 J 2 0, Q1 est trop important et il faut le diminuer Q1 0
Pour n tronçons, on généralise:
Q1
J i
2
Ji
Qi
Si pour de nouveaux débits, la 2 ème loi n’est toujours pas satisfaite, corriger les
débits d’une nouvelle valeur Q2 calculée de la façon précédente. Ainsi on se
rapprochera de zéro pour la somme algébrique des pertes de charge du contour.
Principe de Calcul de 2 mailles
La conduite commune sera affectée par les deux corrections des débits calculées
pour les deux mailles, affectées de leurs signes respectifs.
A
B
I +
D
q
E
II +
C
F
Examinons la conduite BC traversée par le débit q
dans la maille I le débit q est >0 la correction est alors +q(I)
dans la maille II le débit q<0 la correction est -q (II)
Ainsi pour la conduite BC: q= + q(I) - q(II)
On arrête les itérations lorsque pour toutes les mailles:
q 0,5 l/s et J 0,2 m voir 0,5 m
à l'aide d' un programme de calcul,on peut allerplus loin dans la précision
Maille M.adjac. N°tronçon
l
(m)
DN
mm
q
(l/s)
1 ère itération
v
j
J
J/q
(m/s) (m/m) (m)
2 ème itération
q
v
j
J
J/q
(l/s) (m/s) (m/m) (m)
q
(l/s)
q
(l/s)
I
J
J
i
Q
i
J
i
Q1
J i
2
Ji
Qi
J
J
i
Q
Q1
J i
2
i
Ji
Qi
II
J
Q
i
Q1
J i
J
2 i
Qi
J
J
Q
i
i
Q1
J i
2
Ji
Qi
Si la solution obtenue ne vérifie pas les conditions imposées (vitesses admises et /ou pressions
suffisantes), on doit modifier le choix des diamètres de certains tronçons et refaire le calcul dès le début
Résumé pour le calcul d’un réseau maillé avec la méthode de Hardy-Cross:
On se donne à priori les débits de la 1 ère approximation en chaque branche de manière à
satisfaire la condition d’équilibre des nœuds.
Pour chaque maille on calcule q.
On corrige qi.
Répéter les mêmes opérations jusqu’à obtention de l’erreur voulue.
Exemple de calcul d’un réseau maillé
Rugosité des tronçons k=10-4
30 l/s
R
B
L=600 m
D250
On cherche à calculer:
110 l/s
• la répartition du débit dans les différentes
branches du réseau ?
• le débit résiduel au point D ?
A
D250
L=650 m
L=500 m
D200
L=600 m
D300
D
D200
C
L=650 m
15 l/s
Solution:
Choisissons une première répartition arbitraire des débits dans les différents
tronçons qui vérifie la 1 ère loi des débits aux noeuds: Qen trée Qso rtie
R
30 l/s
B
45 l/s
D250
D250
110 l/s
40 l/s
+
A
25 l/s
D200
+
D
65 l/s
D300
25 l/s
C
15 l/s
D200
65 l/s
Les itérations du réseau par la méthode de Hardy-Cross sont consignés dans les tableaux:
1 ère itération
l
DN
q
v
j
J
J/q
Maille M.adjac. N°tronçon
(m) mm (l/s) (m/s) (m/m) (m)
AB
600 250
45
0,91 0,003
2
0,045
II
BC
500 200
25
0,79 0,003 -1,67
0,067
AC
600 300
65
0,91 0,003 -1,62
0,025
I
-1 0,136
J
BD
BC
CD
650
500
650
250
200
200
40
25
25
Q
0,044
0,067
0,087
1,2
0,197
J
v
(m/s)
0,99
0,6
0,86
Q
i
J
0,77
0,6
0,86
0,00243
0,00199
0,00389
J
Ji
Qi
0,048
0,053
0,024
0,124
J
i
q
(l/s)
0,31
-0,43
-0,31
i
1,58
1,09
-2,53
0,042
0,053
0,093
-0,12
-0,43
0,12
0,05
0,188
J
<0,2 m
J
Q
i
i
2
Q1
J i
2
Ji
Qi
<0,5 l/s
i
Q1
J i
1,49
0,83
-2,71
0,04
0,048
0,096
1,06
1,75
-1,06
-0,39
0,185
49,3
18,5
60,7
J i
Ji
Qi
Q
J
-0,69
i
0,31
Q1
-0,69
1,75
0,69
Ji
Qi
Q final (l/s)
J/q
-0,08
37,91
18,88
27,09
J i
2
3 ème itération
j
J
(m/m)
(m)
0,00392
2,35
0,00199
-1
0,00239
-1,43
0,75 0,0023
0,54 0,0017
0,89 0,0042
q
(l/s)
0,12
J
Ji
Qi
-3,15 36,85
-7,87 17,13
3,15 28,15
Q1
i
0,17
J i
2
i
J
q
v
(l/s) (m/s)
4,72 49,72 1,01
-7,87 17,13 0,54
-4,72 60,28 0,85
4,72
Q1
i
0,81 0,003 1,74
0,79 0,003 1,67
0,79 0,003 -2,17
II
q
(l/s)
49,03
18,88
60,97
J
q
(l/s)
2 ème itération
j
J
J/q
(m/m) (m)
0,004
2,4
0,048
0,0017 -0,83
0,048
0,0023
-1,4
0,023
37,8
18,5
27,2
Q
J
i
Q
i
2
Q1
J i
2
Ji
Qi
La répartition finale des débits dans les différents tronçons est la suivante:
R
30 l/s
B
49,3 l/s
D250
D250
110 l/s
37,8 l/s
+
A
18,5 l/s
D200
+
D
60,7 l/s
D300
27,2 l/s
65 l/s
D200
C
15 l/s
On peut vérifier que la continuité aux nœuds est toujours satisfaite. Les vitesses
finales dans tous les tronçons sont acceptables (0,6 à 1,2 m/s)