Transcript 水中で落下する球体の運動

種類
質量
（g）
直径
（mm）
密度
（g/mm3）
 デジタルビデオカメラ
 木製の定規(1m)
鉄球
8.0
12.5
7.8
鉄球
32.6
20.0
7.8
鉄球
63.6
25.0
7.8
鉄球
198.3
36.5
7.8
 アクリル製の気柱、厚
紙(水色)
 鉄製スタンド
鉄球
225.3
38.1
7.8
マウス
49.6
25.3
5.9
ビー球
2.9
13.0
2.5
ビー球
19.7
24.8
2.5
 デジタルノギス（直径
を測る道具）
 電子上皿天秤（質量を
測る道具）
(1) 気柱に水を入れ、鉄製スタンドで
机上に垂直に固定する。また、その隣
に、木製の定規も同様に固定する。
(2) 球を、水を入れた気柱の中に水
中から落とし、その落下する様子をビ
デオカメラで撮影する。
(3) 撮影したビデオをコマ送りしな がら
再生し、時刻(1コマあたり1/30イ上の球
の位置を記録し、間ごとの速さを求める。
(4) 球の種類を変え、(2)(3)の方法で
測定を行う。
↑測定装置
種類
鉄球
鉄球
鉄球
鉄球
鉄球
マウス
ビー玉
ビー玉
質量（g）
8.0
32.6
63.6
198.3
225.3
49.6
2.9
19.7
直径（㎜）
12.5
20.0
25.0
36.5
38.1
25.3
13.0
24.8
密度（㎝3/g）
7.8
7.8
7.8
7.8
7.8
5.9
2.5
2.5
時刻
速さ
速さ
速さ
速さ
速さ
速さ
速さ
速さ
［×1/30］
［cm/s］
［cm/s］
［cm/s］
［cm/s］
［cm/s］
［cm/s］
［cm/s］
［cm/s］
1
60
30
90
30
60
60
60
60
2
90
60
90
150
60
90
90
60
3
90
150
120
180
60
120
120
60
4
120
150
120
90
120
90
90
90
5
120
120
120
90
120
120
120
90
6
120
150
150
150
150
150
150
60
7
150
150
150
120
120
120
120
60
8
120
150
120
150
120
120
120
60
9
150
180
180
150
180
150
150
60
時刻
区間ごとの速さ[㎝/s]
平均値
[×1/30s]
1回目
２回目
3回目
4回目
5回目
[㎝/s]
2
48
78
93
63
60
68.4
3
66
66
51
81
90
70.8
4
96
114
90
99
105
100.8
5
96
102
102
105
105
102
6
114
144
108
90
120
115.2
7
114
126
120
120
120
120
8
136
126
120
132
105
123.8
9
120
132
129
141
135
131.4
10
156
156
132
150
150
148.8
11
139
144
132
138
150
140.6
12
143
126
138
147
150
140.8
種類
8ｇ
鉄球
32.6ｇ
鉄球
49.6ｇ
マウス
63.6ｇ
鉄球
時刻
速さ
速さ
速さ
速さ
［×1/30］
［cm/s］
［cm/s］
［cm/s］
［cm/s］
2
68.4
66
63.0
65.25
3
70.8
86.4
87.0
78.6
4
100.8
103.8
96.0
103.2
5
102
117.6
117.0
115.8
6
115.2
127.2
117.6
131.4
7
120
132
124.2
133.8
8
123.8
149.4
129.0
149.4
9
131.4
145.8
136.2
157.8
10
148.8
147
133.8
148.8
11
140.6
159.75
142.8
165.6
12
140.8
165
146.4
171
速度について
v2･･･終端速度
v1･･･終端速度
v
=0
=
v
のとき
のとき
1
2
(速度)
以前の速度
（0＜v1＜v2）
f fがv
= kに比例すると
v または
1
f が増加し続けると
f =fk=vk v 2
1
f = mg となり
f がv 2に比例すると
v1 ＞0 なので
このとき速度は抵
f = k v2 なので
速度について
v2･･･終端速度
v1･･･終端速度
以前の速度
（0＜v1＜v2）
抗力 f に阻まれ、こ
f
mg
＜
れ以上増加できなく
なり、一定になる
（終端速度）
f = 0 である
１)抵抗力が速さに比例するとき → f ＝ k v
(k は比例定数)
f ＝kv
･･･①
①をma=mℊ － f
ma=mℊ － k v
とする
へ代入し
微分方程式を解いて
球の質量：m
重力加速度：ℊ
k
 t
mℊ
(
v=
1 e m )
k
速度：v
水による抵抗力を：f
のときの加速度：a
２)抵抗力が速さの２乗に比例するとき→ f ＝ k ‘v 2
f ＝ k ‘v 2
･･･②
②をma=mℊ － f
とする
(k ‘ は比例定数)
へ代入し
ma=mℊ － k ‘v 2
微分方程式を解いて
球の質量：m
重力加速度：ℊ
v=
mℊ
k´ (
2
1
1 e
2
k´ g
t
m
)
速度：v
水による抵抗力を：f
のときの加速度：a
50cm以降の地点の速度変化を測定し、
1/30sごとの速度のすべての値を平均する
例 表3質量32.6gの鉄球の測定値 から
33個の測定値
(168＋171＋168＋165＋174＋・・・＋180＋180)
33
≒171(cm/s)
グラフから抵抗力が速さの２乗に比例
するグラフのほうが、測定値がより
近い値を取る。
抵抗力は速さの２乗に比例する
↳ f ＝ k ‘v 2
質量49.6ｇのマウス
ボールの加速度
質量49.6ｇのマウス
ボールの終端速度
(150㎝/s)
＜
質量63.6ｇの鉄球の
加速度
＜
質量63.6ｇの鉄球の
終端速度
(171㎝/s)
速さは質量に影響され、質量が大きいほど
抵抗力は小さくなると考えられる。